2023-2024学年河南省信阳高级中学高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省信阳高级中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线：，：，若与平行，则( )
A. 或 B. C. D. 或或
2.已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
3.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每克的红茶产量单位：克分别为，，且，，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A. 的数据较更集中
B.
C. 甲种茶青每克的红茶产量超过的概率大于
D.
4.有辆车停放个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有种停放方法．
A. B. C. D.
5.展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若数列是公比为的等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，则可以为( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，双曲线上两点，关于坐标原点对称，点为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的面积为
C. 若，则的内切圆半径为
D. 以为直径的圆与圆相切
11.已知数列满足，，则( )
A. 是递减数列 B. ，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.设，且，若能被整除，则______．
13.已知随机事件，，，，，则 ______．
14.如图，在中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正六棱锥的底面边长为，高为，现从该棱锥的个顶点中随机取个点构成三角形，设随机变量表示所得的三角形的面积．
求概率的值；
求的分布列，并求其数学期望．
16.本小题分
在三棱台中，底面，底面是边长为的等边三角形，且，为的中点．
证明：平面平面．
平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
17.本小题分
已知数列，满足，，为常数，若为等差数列，且．
求的值及的通项公式；
求的前项和．
18.本小题分
已知椭圆常数，点，，为坐标原点．
求椭圆离心率的取值范围；
若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若存在正数，使成立，求的取值范围；
若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立．
参考答案
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15.解：从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个，
．
由题意，的可能取值为，，，，，
其中，的三角形如，这类三角形共有个，
其中，的三角形有两类，如个，个，共个，
其中的三角形如，这类三角形共有个，
其中的三角形如，这类三角形共有个，
其中的三角形如，这类三角形共有个，
，，
，，
，
随机变量的概率分布列为：


．
16.解：证明：因为底面是边长为的等边三角形，为的中点，故DC；
又底面，底面，故A，又，，平面，
故CD平面，又平面，故平面平面；
由已知可知，且为的中点，则，，
即四边形为平行四边形，故AA，由底面，
得底面，因为，平面，所以，，
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
结合可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，
而，，
故，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
假设平面与平面的夹角能为，
则，即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为．
17.解：由题意知，，，
因为，，
所以，，，，，
设等差数列的公差为，
则，，，
解得，，，，
所以；
由知，，，，
所以
．
所以的前项和．
18.解：由椭圆方程为，
则离心率，
又，
所以；
由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得，
设，，，
则；
法一：由已知可得，即，
平方可得，
又，在椭圆上，
所以，，
所以，
化简可得，
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
当直线斜率不存在时，，，
则，
又在椭圆上，
则，所以，，
此时；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则，
，，，
则，即，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值．
19.解：对求导得．
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，
故当时，，当时，，从而在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由的结论，知在上单调递增，在上单调递减，
从而此时对任意的都有，条件不满足．
综上，的取值范围是．
证明：令，
则，
因为，所以在区间上单调递减，
，
令，，则，
所以当时，，单调递减，
时，，单调递增，所以当时，，
又，所以，所以恒成立，
又因为，所以．
同理可得，由时等号成立．
又，所以，所以恒成立，
又，，，所以，
所以区间上存在唯一的实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立．
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