四川省内江市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学（理）试题（含答案）

内江市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考
数学试题（理科）
考试时间：120分钟；满分150分；
一、单选题（共60分）
1．复数的虚部是（ ）
A．5 B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
4．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分条件
C．命题“若,则“的逆否命题为：“若,则”
D．对于命题,使得,则：,均有
5．设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间内，是增函数
B．在内，是减函数
C．在内，是增函数
D．在时，取到极小值
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
9．将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．6种 B．24种 C．36种 D．48种
10．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共20分）
13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
14．已知F1，F2为椭圆的左 右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.
15．由1，7，9三个数字组合成一个四位数（其中数字9是重复的），这个四位数有如下信息：①与四位数1799有且只有两个位置的数字是相同的；②与四位数7991有且只有一个位置的数字是相同的，则满足信息的四位数是__________．
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是_______.
三、解答题（共70分）
17．（10分）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
18．（12分）某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出100人进行统计，其中对教师教学水平满意的学生人数为总数的60%，对教师管理水平满意的学生人数为总数的75%，对教师教学水平和教师管理水平都满意的有40人．
(1)完成对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为对教师教学水平满意与教师管理水平满意有关；
对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计
对教师教学水平满意
对教师教学水平不满意
合计
(2)若将频率视为概率，随机从学校中抽取3人参与此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平都满意的人数为随机变量X；求X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）已知函数的图象过，在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知定点，，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作两条直线，且，与点的轨迹交于 两点，与点的轨迹交于 两点，探究：是否存在常数，使恒成立.
22．（12分）已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若满足，证明：.
参考答案：
1．B
2．D
3．A
4．A
5．D
6．C
7．A
8．D
9．C
10．B
11．B
12．C
13．1
【详解】展开式的通项为，令解得，∴．
∴．
故答案为：1
14．
【详解】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，
所以，
解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，
故答案为：
15．1979
【详解】由信息（1）列举出满足条件的所有可能的四位数，共有五种，分别是：1997，1979，
9791，9719，7199．
若这个数是1997，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；
若这个数是1979，则满足信息（2）；
若这个数是9791，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；
若这个数是9719，则与7991四个个位置的数字均不同，与信息（2）矛盾；
若这个数是7199，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾．
综上可得这个四位数只能是1979．
16．
【详解】由可得，，令，，
故在上单增，.令且，，当时，单增，
当或，单减.
又等价于，
当时，恒成立，；
当时，可得，即，；
当时，可得 ，又时，，.
综上，，故a的最大值是.
故答案为：.
17．椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．
【详解】设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
可得，
将点代入双曲线方程可得，，
解得，，
即有所求双曲线的方程为：．
18．(1)表格见解析，有；
(2)分布列见解析，.
(1)
解：由题意可得关于对教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表：
对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计
对教师教学水平满意 40 20 60
对教师教学水平不满意 35 5 40
合计 75 25 100
，
所以有97.5%的把握认为教师教学水平满意与教师管理水平满意有关；
(2)
解：对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为，且随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
其中；；；；
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则．
19．（1），（2）
【详解】解：（1）由，得，
因为在处的切线方程为，
所以，，
所以，
因为函数的图像过，
所以，所以解得，
所以，
（2）令，则
，令，即，得或，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以的最小值为
要不等式在区间上恒成立，只要在区间上恒成立，
所以只要，所以，
所以实数的取值范围为
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）取中点，连接、，
，为的中点，则， ，
平面，平面平面，平面平面，
平面，
平面，，
又，四边形是平行四边形，，
是等边三角形，，
平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）得平面，又平面，，
又，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．(1)
(2)存在，
(1)
圆的圆心为，半径为4，
∵线段的垂直平分线与线段交于点，∴，
因为在圆的内部，又，
∴
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，半焦距，
∴，短半轴长
∴点的轨迹方程为
(2)
假设存在常数λ，使恒成立，则，
①当l1，l2中一条斜率不存在时，可知|AB|，|CD|其中一个长为2a=4，另一个为，
此时，
②当l1，l2的斜率存在且不为0时，不妨设l1：x=ty+1（t≠0），，
，
联立得
∴，，
∴，
用代替上式中的t可得，，
∴，
综上所述，存在常数使得恒成立.
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）函数的定义域为，.
①当时，则当时，恒成立
在上单调递减，无单调递增区间；
②当时，则由得
当时，；
当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），.
满足，
，
即
欲证，
即证，
即证，又，，即证
亦证
即
即证
设，即证.
设.
在上恒成立，
在上单调递减，
.
.
即成立