四川省内江市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学（文）试题（含答案）

内江市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考
数学试题（文科）
考试时间：120分钟；满分150分；
一、单选题（共60分）
1．复数的虚部是（ ）
A．5 B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下面几种推理过程中属于类比推理的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则
B．科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在
C．由，，，，，…，得出结论：一个偶数（大4）可以写成两个质数的和
D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式
4.已知，则等于（）
A. -4 B. 2 C. 1 D. -2
5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
x(单位：℃) 17 14 10
y(单位：kW·h) 24 34 38 a
由表中数据得线性回归方程：＝－2x＋60，则a的值为（）
B．C． D．
6. “”是“方程表示双曲线”的（）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）
B．C．D．
8. 有三张卡片，分别写有和、和、和，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙卡片后说:“我与乙的卡片上的相同的数字不是”;乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是”;丙说:“我的卡片上的数字之和不是”，则下列说法中正确的是（）
A. 甲的卡片上的数字是和B. 甲的卡片上的数字是和
C. 乙的卡片上的数字是和D. 丙的卡片上的数字是和
9.已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
10．已知为R上的可导函数，且满足，对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
11．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
12.若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（共20分）
13.过抛物线的焦点且斜率为1直线交抛物线于、两点，则=______．
14.若命题“ x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是___________.
15.已知F1，F2为椭圆的左 右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是_______.
三、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）
（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
（本题满分12分）
已知函数，且函数在和处都取得极值．
（1）求实数与的值；
（2）对任意，方程存在三个实数根，求实数的取值范围．
19.（本题满分12分）
已知函数的图象过，在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
20．（本题满分12分）
“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的.
（1）填写列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关
男生 女生 合计
2020年直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若按照分层抽样的方法从所有男生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求恰有2人在直播平台购物的概率
参考附表：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
参考公式：，.
21．（本题满分12分）
已知抛物线 的准线与y轴的交点为 .
（1）求 的方程，若经点的直线与C有且只有一个公共点时，求直线的方程.
（2）若过点 的直线 与抛物线 交于 两点.求证： 为定值.
22．（本题满分12分）
已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若满足，证明：.
22．（本题满分12分）
已知函数
（1）求的单调区间；
（2）当b=1时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1．B
2．D
3．A
4．A
5．D
6．C
7．A
8．D
9．C
10．B
11．B
12．C
13．1
【详解】展开式的通项为，令解得，∴．
∴．
故答案为：1
14．
【详解】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，
所以，
解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，
故答案为：
15．1979
【详解】由信息（1）列举出满足条件的所有可能的四位数，共有五种，分别是：1997，1979，
9791，9719，7199．
若这个数是1997，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；
若这个数是1979，则满足信息（2）；
若这个数是9791，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；
若这个数是9719，则与7991四个个位置的数字均不同，与信息（2）矛盾；
若这个数是7199，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾．
综上可得这个四位数只能是1979．
16．
【详解】由可得，，令，，
故在上单增，.令且，，当时，单增，
当或，单减.
又等价于，
当时，恒成立，；
当时，可得，即，；
当时，可得 ，又时，，.
综上，，故a的最大值是.
故答案为：.
17．椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．
【详解】设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
可得，
将点代入双曲线方程可得，，
解得，，
即有所求双曲线的方程为：．
18．(1)表格见解析，有；
(2)分布列见解析，.
(1)
解：由题意可得关于对教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表：
对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计
对教师教学水平满意 40 20 60
对教师教学水平不满意 35 5 40
合计 75 25 100
，
所以有97.5%的把握认为教师教学水平满意与教师管理水平满意有关；
(2)
解：对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为，且随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
其中；；；；
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则．
19．（1），（2）
【详解】解：（1）由，得，
因为在处的切线方程为，
所以，，
所以，
因为函数的图像过，
所以，所以解得，
所以，
（2）令，则
，令，即，得或，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以的最小值为
要不等式在区间上恒成立，只要在区间上恒成立，
所以只要，所以，
所以实数的取值范围为
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）取中点，连接、，
，为的中点，则， ，
平面，平面平面，平面平面，
平面，
平面，，
又，四边形是平行四边形，，
是等边三角形，，
平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）得平面，又平面，，
又，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．(1)
(2)存在，
(1)
圆的圆心为，半径为4，
∵线段的垂直平分线与线段交于点，∴，
因为在圆的内部，又，
∴
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，半焦距，
∴，短半轴长
∴点的轨迹方程为
(2)
假设存在常数λ，使恒成立，则，
①当l1，l2中一条斜率不存在时，可知|AB|，|CD|其中一个长为2a=4，另一个为，
此时，
②当l1，l2的斜率存在且不为0时，不妨设l1：x=ty+1（t≠0），，
，
联立得
∴，，
∴，
用代替上式中的t可得，，
∴，
综上所述，存在常数使得恒成立.
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）函数的定义域为，.
①当时，则当时，恒成立
在上单调递减，无单调递增区间；
②当时，则由得
当时，；
当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），.
满足，
，
即
欲证，
即证，
即证，又，，即证
亦证
即
即证
设，即证.
设.
在上恒成立，
在上单调递减，
.
.
即成立
答案第1页，共2页