秘密★启用前 姓名 准考证号
2024 年邵阳市高二联考试题卷
数 学
本试卷共 4 页, 19 个小题。 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 将条形码横贴在答题卡
上 “贴条形码区”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。 考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。
一、 选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A={x∈Z -2
A. (-2, 0 ] B. [-2, 4 ) C. {-1, 0} D. {-2, -1, 0}
2. 已知复数 z = 8i2024 +6i ( i 为虚数单位), 则 z =
A. 8 B. 9 C. 10 D. 100
3. 若 sin α+ 3 cos α= 1, 则 cos (α- π =6 )
A. 3
B. 1
C. - 1 D. - 3
2 2 2 2
4. 已知 m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是
A. 若 m⊥α, α⊥β, 则 m∥β B. 若 m∥α, n∥α, 则 m∥n
C. 若 m⊥α, m∥n, n⊥β, 则 α∥β D. 若 m α, n α, m∥β, n∥β, 则 α∥β
5. 某大桥的一侧依次安装有 13 盏路灯, 因环保节能的需求, 计划关掉其中的 5 盏. 如果
两端的路灯不能关, 且相邻的路灯不能同时关, 则不同关灯方式的种数是
A. 21 B. 35 C. 70 D. 126
6. 已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 am+ap =2a4 (n, m, p∈N ),
1 + 4则 + 的最小值为m 1 p
A. 3 B. 1 C. 5 D. 2
4 4
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7. 已知奇函数 f(x)及其导函数 f ′(x) f(x)的定义域均为 R,当 x<0 时,f ′(x) + >0. 若 a = f(1),
x
b= -πf( -π),c= ef(e),则 a,b,c 的大小关系正确的是
A. b8. 已知 O 为坐标原点, A( -2,0),a= (1,1),O→P=O→A+ta, O→Q = 1,则 P→Q 的最小值为
A. 1 B. 2 -1 C. 2 +1 D. 2
二、 多选题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合
题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的有
A. (1+2x) 7 的展开式的第 4 项的系数是 280
B. 对于随机变量 X, 若 E(X)= 2,则 E(2X-2)= 2
C. 已知随机变量 X~N(1,σ2),若 P(X>0)= 0. 6,则 P(0D. 一组数据 8, 9, 9, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21 的第 60 百分位数为 14. 5
2 2
10. x y已知椭圆 E: 2 + 2 = 1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 左、 右顶点分别为 A, B,a b
P 是 E 上异于 A, B 的一个动点. 若 3 AF1 = BF1 , 则下列说法正确的有
A. 1椭圆 E 的离心率为
2
B. 若 PF1⊥F1F2, 则 cos∠PF
3
2F1 = 5
C. 3直线 PA 的斜率与直线 PB 的斜率之积等于-
4
D. → →符合条件 PF1·PF2 = 0 的点 P 有且仅有 2 个
11. 已知 A, B 两点的坐标分别为( -1,0),(1,0),直线 AM, BM 相交于点 M(x,y), 且直线
AM 的斜率与直线 BM 的斜率之和是 2, 则下列说法正确的有
A. 点 M 的轨迹关于 y 轴对称
B. 点 M 的轨迹关于原点对称
C. 若 x>0 且 x≠1, 则 yD. 若 x>0 且 x≠1, 则 y>ln x 恒成立
三、 填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 有甲、 乙两个工厂生产同一型号的产品, 甲厂生产的次品率为 2%, 乙
厂生产的次品率为 3%, 生产出来的产品混放在一起. 已知甲、 乙两个
工厂生产的产品数分别占总数的 40%, 60%, 从中任取一件产品, 则
取得的产品为次品的概率为 .
13. 已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图(一)所
示.若在△BCD 中,CD= 3, f ( B ) = 3,则△BCD 面积的最大值为 .2 图 (一)
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14. 祖暅在数学上做出了突出贡献, 他提出了体积计算原理: “幂势既同, 则积不容异” . 这
就是 “祖暅原理”, 用现代语言可以描述为: 夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被
平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等, 那么这两个
x2 y2
几何体的体积相等. 由曲线 - = 1 , y= ± 3 x, y= ±3 共同围成的图形绕 y 轴旋转一周
8 6 2
所得几何体的体积为 V, 则 V= .
四、 解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(a+c) sin A-bsin B= (a+b+c) sin C.
(1) 求 A;
(2) 若 a= 14, E 是边 BC 的中点, 且 AE⊥AB, 求 AE.
16. (15 分) 如图(二)所示,AB 是☉O 的直径,点 C 是☉O 上异于 A,B 的动点,PC⊥平面 ABC,
E, F 分别为 PA, PC 的中点.
(1) 求证: EF ⊥平面 PBC;
(2) 若 PC= 2, AB= 2 2 , 6二面角 B-PA-C 的正弦值为 , 求 BC.
3
图 (二)
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17. (15 分) 已知动点 M(x, y)到直线 x = -3 的距离比它到定点(2, 0)的距离多 1, 记 M 的
轨迹为 Γ.
(1) 求 Γ 的方程;
(2) 若过点 D(4,4)的直线 l 与 Γ 相交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求直线 l 的方程.
18. (17 分) 1已知函数 f(x)= 4-2x- x ,g(x)= (a
2 -a)x+ 1 -ln x,其中 a>0.
e x
(1) 求函数 f(x)在 x= 0 处的切线方程;
(2) 讨论函数 g(x)的单调性;
(3) 当 a= 1 时, 令函数 h(x)= f(x) -xg(x),证明:h(x) >0.
19. (17 分) 我们把公差不为 0 的等差数列 {an} ( n ∈ N ) 称为 “ 一阶等差数列”, 若
数列{an+1 -an}是 “一阶等差数列”, 则称数列 {an} 是 “ 二阶等差数列” . 定义: 若
数列{an+1 -an}是 “k 阶等差数列”, 则称数列{an}为 “k+1 阶等差数列” .
例如: 1, 3, 7, 13, 21, 31…
后项与前项的差值: 2, 4, 6, 8, 10, …
这些差值构成的数列是公差为 2 的等差数列,则称数列 1,3,7,13,21,31…为“二阶等差数列”.
(1) 若数列{an}的通项公式为 an = n2, 试判断数列{an} 是否为 “二阶等差数列”, 并说
明理由;
(2) 若数列{an} 为 “二阶等差数列”, 且 a1 = 1, 对应的 “一阶等差数列” 首项为 1,
公差为 3, 求 an;
(3) 若“三阶等差数列”{an}的前 4 项依次为 1, 4, 10, 20, 其前 n 项和为 Sn,求 Sn .
2024 年邵阳市高二联考 (数学) 第 4 页 (共 4 页)
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2024 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准
数 学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 C C B C A B D B
7. D 【解析】根据题意,设 g(x)= xf(x),
若 y= f(x)为奇函数,则 g(-x)= (-x) f(-x)= xf(x)= g(x),则函数 g(x)为偶函数.
g′(x)= (x) ′f(x)+xf ′(x)= f(x)+xf ′(x) .
x<0 , f ′(x)+f(x)又当 时 >0,∴ g′(x)<0,则函数 g(x)在(-∞ ,0)上为减函数,x
故 g(x)在(0,+∞ )上为增函数.
则 a= f(1)= g(1),b= -πf(-π)= g(-π)= g(π),c= ef(e)= g(e),且 1则有 a8. B 【解析】设 P(x,y),O→P=O→A+ta=(-2,0)+t(1,1)= (-2+t,t),点 P 的轨迹方程为 x-y+2 =
0. →又由 OQ = 1,点 Q 的轨迹方程为:x2 +y2 = 1, PQ 为圆上一点到直线上一点的距离,
P→Q 2min = -1 = 2 -1. 选 B.
2
二、多选题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)
题 号 9 10 11
答 案 ABD AC BC
11. BC 【解析】因为直线 AM,BM 的斜率存在,所以 x≠±1.
k +k = 2, y + y = 2, 1因为 AM BM 即 + - 整理可得 y
= x- .
x 1 x 1 x
1
所以点 M(x,y)在函数 y= x- (x≠±1)上.
x
如图,选 BC.
三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 0. 026 ( 13或 13. 3 3 14. 48π500 ) 4
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13. 【解析】∵ T = π - π = 2π,∴ ω= 2. 又 sin (2× π +φ = 1,0<φ<π,∴ φ= π .4 3 12 4ω 12 ) 3
Asin π = 3 ,∴ A= 2. ∵ f ( B π 3 π又 ) = 3 ,∴ sin (B+ ) = ,又∵ 0设角 B,C,D 的对边为 b,c,d,则 b2 = c2 +d2 -cd≥2cd-cd
∴ cd≤3,当且仅当 c=d= 3 时等号成立.
∴ S△BCD =
1 cdsin B≤3 3 ,∴ △BCD 3 3面积最大值为 .
2 4 4
2 2
14. 令 y=h, x y 3 4 4分别代入 - = 1 和 y= ± x 中解得:x21 = 8+ h2,x2 22 = h . 记点(x1,h),(x2,h)绕8 6 2 3 3
y 4 4轴旋转一周得到的圆的半径分别为 R,r. ∴ R2 = 8+ h2,r2 = h2,此圆环的面积 S = πR2 -
3 3
πr2 = 8π,恒为定值. 根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为 2 2 ,高为 6 的圆柱的体
积相等,所以 V= 8π×6 = 48π.
四、解答题(本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分)解:(1)∵ (a+c) sin A-bsin B= (a+b+c) sin C,
由正弦定理得 a2 +ac-b2 =ac+bc+c2, ……………………………………………………… 2 分
∴ a2 = b2 +c2 +bc.
∴ cos A= - 1 ,又 02
∴ A= 2π. …………………………………………………………………………………… 6 分
3
(2)∵ S△ABE =S△ACE,
∴ 1 ·c·AE= 1 ·b·AEsin30°, ………………………………………………………… 8 分
2 2
∴ b= 2c.
∴ 142 = 4c2 +c2 -4c2cos 2π由余弦定理得 , ………………………………………………… 10 分
3
∴ c= 2 7 ,由勾股定理得 AE= 49-28 = 21 . ………………………………………… 13 分
16. (15 分)解:(1)由 PC⊥平面 ABC,知 PC⊥AC.
由 AB 是☉O 的直径,知 AC⊥BC. ………………………………………………………… 2 分
∵ AC∩BC=C,
∴ AC⊥平面 PBC. …………………………………………………………………………… 4 分
由 E,F 分别是 PA,PC 的中点,知 EF∥AC.
∴ EF⊥平面 PBC. …………………………………………………………………………… 6 分
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(2)以 C 为原点,CA,CB,CP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,2),
设 A(a,0,0),B(0,b,0),且 a2 +b2 = 8(a>0,b>0) .
易知平面 PAC 的一个法向量 m= (0,1,0) . ………………… 8 分
设平面 PAB 的一个法向量 n= (x,y,z),则
{n·P→A= 0, {ax-2z= 0,则 ∴n·P→B= 0, bx-2z= 0.
取 z=ab,得 x= 2b,y= 2a,则 n= (2b,2a,ab), …………………………………………… 10 分
∵ 二面角 B-PA-C 6 3的正弦值为 ,则其余弦值为 ,
3 3
∴ cos〈m,n〉 = m·n = 2a = 3 , ……………………………………… 12 分
m n 4b2 +4a2 +a2b2 3
又 a2 +b2 = 8,(a>0,b>0),解得 a= 2,b= 2.
故 BC= 2. …………………………………………………………………………………… 15 分
17. (15 分)解:(1)由动点 M(x,y)到直线 x= -3 的距离比它到定点(2,0)的距离多 1,
知动点 M(x,y)到直线 x= -2 的距离等于它到定点(2,0)的距离,
故动点 M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x= -2 为准线的抛物线,
故 Γ 的方程为:y2 = 8x. …………………………………………………………………… 6 分
(2)由题意,可设直线 l:x= t(y-4) +4,
代入 y2 = 8x,消去 x 得:y2 -8ty+32t-32 = 0.
显然有 Δ>0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 y1 +y2 = 8t,y1y2 = 32t-32. ………………………………………………………………… 9 分
→ → y 21 y22 y y
由 OA⊥OB,知 OA·OB= x1x2 +y1y2 = · +y y = y y
1 2 = 0. ………………… 11 分
8 8 1 2 1 2 ( +164 )
得 y1y2 = 0 或 y1y2 = -64,
解得 t= ±1. ………………………………………………………………………………… 13 分
当 t= 1 时,直线 l:x-y= 0 不合题意;
当 t= -1 时,直线 l:x+y-8 = 0 符合题意;
综上,所求直线 l 的方程为:x+y-8 = 0. …………………………………………………… 15 分
18. (17 分)解:(1) f(0)= 4-2×0- 10 = 3, ……………………………………………………… 1 分e
f ′(x)= -2+ 1x ,∴ f ′(0)= -2+1 = -1. ……………………………………………………… 2 分e
∴ 切线方程为:y-3 = -1·(x-0),即 y= -x+3. …………………………………………… 3 分
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(2)由题意得函数 g(x)的定义域为(0,+∞ ) .
2 2
g′(x)= a2 - - 1 - 1 = (a
-a)x -x-a 1
x2 x x2
= (ax+1)[(a-1)x-1]2 , ……………………………………………………………… 4 分x
①当 0②当 a>1 时,x∈ (0, 1 ) 1- 时,g′(x) <0,∴ g(x)在 (0, - ) 上单调递减.a 1 a 1
x∈ ( 1- ,+∞ ) 时,g′(x) >0,∴ g(x) ( 1在 ,+ 上单调递增. ………………………… 8 分a 1 a-1 ∞ )
综上,当 0当 a>1 时,g(x) (0, 1 ) 1在 - 上单调递减,在 ( - ,+∞ ) 上单调递增. …………………… 9 分a 1 a 1
(3)证明:当 a= 1 时,h(x)= 4-2x- 1
ex
-x ( 1 -ln x = xln x- 1 -2x+3,x ) ex
∴ h′(x)= ln x+ 1
ex
-1. ……………………………………………………………………… 10 分
x
令 c(x)= h′(x), 1 1则 c′(x)= - = e
-x.
x ex xex
构建函数 p(x)= ex-x,∴ p′(x)= ex-1.
∴ 当 x>0 时,p′(x)= ex-1>0,∴ 函数 p(x)单调递增.
∴ 当 x>0 时,p(x)= ex-x>p(0)= 1>0,∴ c′(x) >0,∴ 函数 h′(x)单调递增.
∵ h′(1)= 1 -1<0,h′(e)= 1e >0,∴ h′(x)在(1,e)内有唯一零点 x0 .e e
∴ 当 x∈(0,x0),h′(x) 当 x∈(x0,+∞ ),h′(x) >h′(x0)= 0,∴ 函数 h(x)单调递增.
∴ 当 x= x0 时,函数 h(x)
1
取最小值 h(x0)= x0 ln x0 - x -2x0 +3. ………………………… 14 分e 0
∵ h′(x0)= ln x +
1
0 x -1 = 0,∴ -
1
x = ln x0 -1.e 0 e 0
∴ h(x0)= (x0 +1)ln x0 -2x0 +2,x0∈(1,e) .
1
构造函数 q(x)= (x+1)ln x-2x+2,∴ q′(x)= +ln x-1.
x
d(x)= q′(x),∴ d′(x)= x
-1
令 2 .x
∴ 当 x>1 时,d′(x) >0,∴ 函数 q′(x)单调递增.
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∴ 当 x>1 时,q′(x) >q′(1)= 0. ∴ 函数 q(x)单调递增.
∴ h(x0) >q(1)= 0,∴ h(x)≥h(x0) >0. ………………………………………………… 17 分
19. (17 分)解:(1)a =n2n ,an+1 -an = (n+1) 2 -n2 = 2n+1,
∴ {an+1 -an}是公差为 2 的等差数列,则数列{an}是“二阶等差数列” . ………………… 3 分
(2)由题意{an+1 -an}是“一阶等差数列”,又{an+1 -an}首项为 1,公差为 3.
∴ an+1 -an = 3n-2, …………………………………………………………………………… 5 分
∴ an =an-an-1 +an-1 -an-2 +…+a2 -a1 +a1 …………………………………………………… 7 分
= (1+3n-5)(n-1) +1
2
2
= 3n -7n+6,n≥2.
2
2
= = 3n -∵ a 7n
+6
1 1 满足上式,∴ an ,n≥1.2
3n2 -7n+∴ “ 6二阶等差数列”{an}的通项公式为 an = . ………………………………… 9 分2
(3)∵ {an}是“三阶等差数列”,∴ {an+1 -an}是“二阶等差数列”,
设 cn =an+1 -an,∴ {cn+1 -cn}是“一阶等差数列” . ………………………………………… 10 分
由题意得 c1 = 3,c2 = 6,c3 = 10,
∴ cn+1 -cn =n+2, …………………………………………………………………………… 12 分
= - + + -∴ cn cn cn-1 +cn-1 -cn-2 +…+c2 -c1 +c =
[3 (n 1)](n 1)
1 +32
n2∴ c =
+3n+2 = (n+2)(n+1)n =C22 2 n+2
,n≥2.
∵ c = 3 满足上式,∴ c =C2
1 n n+2,n≥1. ……………………………………………………… 14 分
∴ an =an-an-1 +an-1 -an-2 +…+a2 -a1 +a1
=C2n+1 +C2 2 2n+Cn-1 +…+C3 +1 …………………………………………………………… 15 分
=C33 +C2 2 2 2 33 +C4 +C5 +…+Cn+1 =Cn+2,n≥2.
∵ a 31 = 1 满足上式,∴ an =Cn+2,n≥1. …………………………………………………… 16 分
∴ Sn =C33 +C3 34 +C5 +…+C3n+2
=C4 +C3 3 34 4 +C5 +…+Cn+2
=C4n+3
=n(n+1)(n+2)(n+3)
24
=n
4 +6n3 +11n2 +6n. ………………………………………………………………… 17 分
24
注:若解答题有不同解法,请酌情给分.
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