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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第26章
课标要求 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 2.会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图； 通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； 4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第26章《二次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数模型已经有了初步的认识和了解，本章内容是在此基础上，进一步研究二次函数的图像及其性质。本章内容先由具体情景引入二次函数的概念和一般形式，随后探究二次函数图象的性质和函数表达式间的转化，如何用待定系数法求函数表达式，二次函数的应用，进一步加强学生分析和解决问题的能力。但是由于本章内容较为抽象，教师应注意知识的连贯性和系统性，帮助学生建立函数思维，同时也要注意理论与实践相结合，通过例题与练习，帮助学生更好的理解二次函数的性质与应用。
学情分析 学生已经学过了函数的概念及其性质，一次函数的概念、图像、性质等，初步了解了函数结合图像研究的方法，具有数形结合研究问题的经验，但是学生的抽象思维不足，发现和解决问题的能力还在发展中。本章在此基础上，进一步探索二次函数的图像和性质，通过具体实例的研究，学生体验和理解化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法；研究二次函数的图象与性质，感受从具体到抽象、从简单到复杂、从特殊到一般的过程；用二次函数解决实际问题，感受数学建模的过程，提高分析问题、解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.了解二次函数的定义和一般形式。 2.掌握形如 的二次函数的性质及其简单应用 3.掌握二次函数的图像及其性质及其简单应用 4.能够进行二次函数与的相互转化 5.掌握用待定系数法求函数的表达式 6.能根据实际情况选取恰当的表达式，能进行函数表达式间的相互转化 7.会运用二次函数的运算解决简单的实际问题. （二）教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像及其性质 教学难点：用待定系数法求函数的表达式；进行函数表达式间的相互转化
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1二次函数126.2二次函数的图像与性质726.3实践与探索3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1二次函数1、理解并掌握二次函数的定义及一般形式。 2、能根据实际问题列出二次函数关系式，并写出自变量取值范围。 3、在探究将实际问题转化为二次函数问题的过程中，体会数学建模思想和应用。1.会根据实际情况列出简单的二次函数，并正确写出自变量取值范围。 活动一：情景导入，调动学生学习的兴趣 活动二：探究新知，经历二次函数概念的发生过程，掌握二次函数的定义和一般形式 活动三：会根据实际情况列出简单的二次函数，并正确写出自变量取值范围 活动四：针对训练，请学生回答问题.26.2.1二次函数的的图像与性质1．会用描点法画出 的图像，并能简单归纳出图像的特点。 2.掌握形如 的二次函数的性质及其简单应用 3.在探究中体会数形结合的思想，体会生活中的数学，感受数学美。1．能够通过描点法作出 的图像，简单归纳图像特点 2.能够掌握形如 的二次函数的性质并进行简单应用 活动一：复习导入，回顾二次函数的概念的定义和一般形式 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.2二次函数的的图像与性质1、掌握二次函数的图像及其性质，理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 2、通过观察、分析、比较等方法，探究二次函数的图像和性质，培养学生观察发现、归纳总结的学习方法。1、能掌握二次函数的图像及其性质 2.能理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程，探究二次函数的图像与的图像之间的关系 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.3二次函数的的图像与性质1.掌握二次函数的图像及其性质，理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 2、通过观察、分析、比较等方法，探究二次函数的图像和性质，培养学生观察分析能力和归纳总结能力。 3、激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和数形结合意识。1.能掌握二次函数的图像及其性质 2.能理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程，探究二次函数的图像与的图像之间的关系 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.4二次函数的的图像与性质1、掌握二次函数的图像特征及性质。 2、通过观察、分析以及交流讨论等活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力，提高学生运用二次函数知识解决实际问题的能力。 3、感受数学知识的奇妙，培养学生探索未知、勇于创新的科学精神。1.能掌握二次函数的图像特征及性质。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如的二次函数的性质的发现过程 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.5二次函数的的图像与性质1.经过描点及平移变换的方法作出的图像并总结其性质 2.经历探索二次函数与之间的联系及相互转化的发现过程,体验学生逻辑推理的能力 3.掌握二次函数的图像及其性质，与的相互转化 4.经历观察函数图像得出函数性质的过程，进一步体会数形结合的思想1.能够掌握二次函数的图像及其性质 2.能够进行二次函数与的相互转化 活动一：复习导入，回顾形如 的二次函数的性质 活动二：探究新知，通过描点及平移变换的方法作出的图像并总结其性质 活动三：通过图像探究二次函数与之间的联系 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.6求二次函数的表达式1.掌握用待定系数法求函数的表达式 2.能根据实际情况选取恰当的表达式，能进行函数表达式间的相互转化 3.感受学习数学知识的应用，提高对数学学习的兴趣1.能够进用待定系数法求函数的表达式 2.能根据实际情况选取恰当的表达式3.能进行函数表达式间的相互转化 活动一：复习导入，回顾一次函数的表达式以及求一次函数表达式的方法 活动二：探究新知，合作交流，如何用待定系数法求二次函数的表达式 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：巩固练习，请学生回答问题.26.3.1实践与探索——二次函数的应用1、能够结合实际问题建立二次函数模型，并求解相关问题。 2、培养学生的数学应用能力、数学建模能力和数形结合的思想方法，发展学生的逻辑思维和问题解决能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，提高学习数学的自信心和积极性，体验数学在解决实际问题中的价值。1.能够应用二次函数解决简单的实际问题. 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像与性质 活动二：例题精讲，应用二次函数解决简单的实际问题 活动三：巩固练习，请学生回答问题26.3.2实践与探索——一元二次方程、一元二次不等式之间的联系1.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系；掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；能够解决与二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相关的实际问题。 2.经历探索二次函数与一元二次方程、不等式关系的过程，体会数形结合的思想方法。 3.通过典型例题的讲解和练习，提高学生的综合解题能力。培养学生用联系的观点看问题，学会用数形结合的方法解决问题。1.能理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 2.能掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法 3.能够解决与二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相关的实际问题。 活动一：复习导入，回顾用二次函数解决实际问题的方法步骤 活动二：通过图像，探究二次函数与一元二次方程的关系、一元二次不等式的关系 活动三：例题训练，进行二次函数与一元二次方程、一元二次不等式综合应用探究 活动四：巩固练习，请学生回答问题26.3.3实践与探索——一元一次方程与二次函数的综合应用1、理解一元一次方程与二次函数之间的内在联系，能够进行元一次方程与二次函数的综合应用。 2、经历综合探究过程，感受方程与函数之间的辩证统一关系，发展数形结合思想，培养解决实际问题。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生用变化的思想看待问题，发展辩证思维。1、理解一元一次方程与二次函数之间的内在联系 2.能够进行元一次方程与二次函数的综合应用。 活动一：复习导入，回顾二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 活动二：探究一元一次方程与二次函数之间的联系 活动三：例题训练，进行一元一次方程与二次函数的综合应用探究。 活动四：巩固练习，请学生回答问题
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《二次函数的图像和性质（1）》教学设计
第二课时《二次函数的图像和性质（1）》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 二次函数是“华师大版九年级数学（下）”第一章第二节第一课时的内容。本节课的主要内容是通过画出二次函数的图像，对比在或时的异同点，从而探究二次函数的性质，包括顶点、对称轴和增减关系等。本节内容是初中数学的重要内容，不仅能培养学生用图像探究函数性质的数学思维，也为下节课继续探究二次函数的性质，同时在生活中也有着广泛应用。
学习者分析 学生已经学习了函数的概念和性质，根据一次函数的图像探究过其性质，了解探究函数性质方法，为本节课的教学打下了基础，但是由于二次函数的图像和性质需要将数学表达式与图形相结合，通过观察图形来理解函数的性质，要求学生具有较强的数形结合能力和数学逻辑思维。基于以上分析，教师在教学时应从简单到复杂，逐步引入，帮助学生理解二次函数图像和性质背后的逻辑关系。
教学目标 1、能够绘制二次函数的图像，并理解其性质（如开口方向、对称轴、顶点坐标等）。 2、通过观察、分析、比较等方法，探究二次函数的图像和性质，培养观察、分析和解决问题的能力。 3、激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的动手能力、数学素养和数学应用意识。
教学重点 能够绘制二次函数的图像，并理解其性质
教学难点 理解二次函数的性质，并能够灵活应用这些性质解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，引入新知教师活动1： 教师提问：什么是二次函数？ 学生回答：形如的函数叫二次函数。 教师提问：二次函数的一般形式是怎样的？ 学生回答：二次函数的一般形式是 叫做二次项，a叫二次项系数；叫做一次项，b叫一次项系数；叫做常数项 教师提问：我们在学习了一次函数的定义后还研究了什么？ 学生回答：研究了一次函数的图像和性质。 教师提问：我们在学习过程中是如何研究一次函数的性质的？ 学生回答：通过一次函数的图像来研究它的性质 想一想: 我们是否可以仿照用一次函数的图像研究性质的方法，来研究二次函数的图像和性质呢？学生活动1： 复习引入，从旧知引入新知，巩固二次函数的基本概念 学生积极思考，教师进行思维点拨，启发学生思维，通过类比研究一次函数性质的方法，用二次函数的图像来研究其性质 活动意图说明：通过复习导入，加深学生对二次函数基本知识的记忆，巩固学习成果。同时通过类比研究一次函数相关性质的方法，启发学生思维，激发学生的探究热情。 环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 让我们先来研究最简单的二次函数的图象与性质。 例1：画出二次函数的图像。 解：1.列表：在中自变量可以取任意实数，列表表示几组对应值： …-3-2-10123………
2.描点：根据表格中的数据在图上描点。 3.连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数的图象。 思考：1. 此函数的图象是什么形状？开口向上还是向下？ 函数图象形似物体抛射时经过的路线，我们一般把它称为抛物线。图像的开口向上。 2. 此函数的图象是否具有对称性？ 函数图象是轴对称图形，对称轴是 y 轴（直线 ）。 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 3. 在对称轴的两侧，函数图形有怎样的增减规律？ 当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大。 4. 当 x 取何值时，y 取最小值，最小值是多少？ 当时， 取最小值 ，即顶点 为图像最低点。 教师活动3： 做一做：(1)画出二次函数的图像。 …-3-2-10123………
（2）观察并比较这两个函数的图象,它们有什么共同点 又有什么区别 开口向上图像关于y 轴（直线 ）对称当时， 随 的增大而减小 当时， 随 的增大而增大当时， 取最小值 即顶点 为图像最低点
教师活动4： 做一做：在同一个平面直角坐标系中，画出函数与的图象。观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？ …-3-2-10123………
教师活动5： 做一做：将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？ (1)比较 的图像。 我们发现：若，抛物线开口向上。在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升。顶点是抛物线上位置最低的点。 思考：图象的这些特点反映了函数的什么性质？ 图象的这些特点表明，函数具有这样的性质： 当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大。当时，函数取最小值，最小值 = (2)比较 的图像。 我们发现：若，抛物线开口向下。在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。顶点是抛物线上位置最高的点。 思考：图象的这些特点反映了函数的什么性质？ 图象的这些特点表明，函数具有这样的性质： 当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小；当时，函数取最大值，最大值 = 思考：函数的大小对函数图像有什么影响？ 当时， 的值越大，函数图像开口越窄； 当时， 的值越小，函数图像开口越窄。 因此，越大，函数图像开口越窄； 越小，函数图像开口越宽。 二次函数的图像和性质： 大致图像开口方向开口大小对称性顶点坐标函数最值增减规律
学生活动2： 学生认真思考，教师进行点拨，自己动手画出函数的图像，提高学生的动手能力 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生自己动手画出函数的图像，提高学生的动手能力，根据画出的图像回答问题 学生认真思考，根据图像完成表格，教师进行点拨 学生自己动手画出函数的图像，提高学生的动手能力，根据画出的图像回答问题 学生根据图像完成表格，教师进行点拨 学生观察对比函数的图像，探究二次函数的性质，教师进行补充 学生观察对比函数的图像，探究二次函数的性质，教师进行补充 学生积极思考，回答问题，教师进行点拨 学生自主总结二次函数的性质，教师进行补充，加强学生对本节课知识的理解活动意图说明： 引导学生分析问题，自主画图，通过对比等方式探究二次函数的性质，加强学生对本节课知识的理解，提高学生的动手能力和数学逻辑思维能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1对于 的图象下列叙述正确的是（C） A． 的值越大，开口越大 B． 的值越小，开口越小 C． 的绝对值越小，开口越大 D． 的绝对值越小，开口越小 例2下列函数中，开口方向向上的是（D） A． B． C． D． 例3二次函数的图象是一条 抛物线 ，它的开口向 上 ，它的对称轴为 轴 ，它的顶点坐标为 ． 例4已知二次函数，当时， 随的增大而 增大 ． 例5二次函数的开口方向是 向下 ．学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固知识，及时进行知识反馈，使学生的逻辑思维得到有效提升，将知识学以致用。 环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：时二次函数的性质有哪些？ 教师讲授：时二次函数开口方向向上，越大，函数图像开口越小； 越小，函数图像开口越大。图像关于y 轴（直线 ）对称。顶点坐标为（0,0），当时， 取最小值 。当时， 随 的增大而减小，当时， 随 的增大而增大。 教师提问：时二次函数的性质有哪些？ 教师讲授：时二次函数开口方向向下，越大，函数图像开口越小； 越小，函数图像开口越大。图像关于y 轴（直线 ）对称。顶点坐标为（0,0），当时， 取最大值 。当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小。学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，同时查漏补缺，对本节课知识有更深的了解。
板书设计 二次函数的图像和性质 大致图像开口方向开口大小对称性顶点坐标函数最值增减规律
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．在函数①；②；③中，图象开口按从大到小的顺序排列的是（ ） A．①②③ B． ②③① C． ②①③ D． ③②① 2．给出下列四个函数：①；② ；③ ；④．时， 随的增大而减小的函数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 画出下列函数的图象： （1）； （2） 4．根据上题所画的函数图象填空： （1）抛物线 的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时， 抛物线上的点都在 轴的上方。 （2）抛物线 的开口向 ， 除顶点外，抛物线上的点都在 轴的 方，它的顶点是抛物线上的最 点。 选做题： 1.设圆的半径为 ，面积为 。 （1）试写出 与 之间的函数关系式。 （2）画出这个函数的图象。 【综合拓展类作业】 1.不画图象，说出抛物线 和 的开口方向，对称轴和顶点坐标。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；② ；③ ； ④ ．则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．若抛物线， 的形状相同，那么（ ） A． B． C．||=|| D． 与的关系无法确定 3．下列函数中，当时随的增大而减小的有 ． （1），（2），（3） ，（4）． 4．如图，⊙O的半径为2，是函数的图象， 是函数的图象，则阴影部分的面积是 ． 5．已知二次函数 ． （1）判断点 A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点B的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点 D 的坐标； （3）点B、C、D在二次函数的图象上吗？在二次函数的图象上吗？ 选做题： 6. 已知函数 是关于的二次函数 （1）求的值； （2）当为何值时，该函数的开口向下？ (3) 当m为何值时，该函数有最小值？ 【综合拓展类作业】 7．如图，直线与抛物线交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
教学反思 本课时通过学生动手画出二次函数图像，进而探究函数的性质，既能提高学生的动手能力，也能发展学生数形结合的思想，加强学生对本节课知识的理解。在教学过程中，要更加注重与学生的互动和交流，鼓励学生提出问题和意见，同时也要采取更加多样化的教学方式，在提高学生学习兴趣和课堂参与度的同时加深他们对知识的理解。
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26.2.1 二次函数的图
像和性质（1）
华师大版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1、理解并掌握二次函数的定义及一般形式。
2、能根据实际问题列出二次函数关系式，并写出自变量取值范围。
3、在探究将实际问题转化为二次函数问题的过程中，体会数学建模思想和应用。
复习导入
问题一: 什么是二次函数？
形如的函数叫二次函数。
问题二: 二次函数的一般形式是怎样的？
二次函数的一般形式是
叫做二次项，a叫二次项系数；叫做一次项，b叫一次项系数；
叫做常数项
新知讲解
问题三: 我们在学习了一次函数的定义后还研究了什么？
研究了一次函数的图像和性质
问题四: 我们在学习过程中是如何研究一次函数的性质的？
通过一次函数的图像来研究它的性质
想一想: 我们是否可以仿照用一次函数的图像研究性质的方法，来研究二次函数
的图像和性质呢？
新知讲解
让我们先来研究最简单的二次函数的图象与性质。
例1：画出二次函数的图像。
解：
1.列表：在中自变量可以取任意实数，列表表示几组对应值：
… …
… …
新知讲解
2.描点：根据表格中的数据在图上描点。
3.连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数的图象。
新知讲解
思考：
1. 此函数的图象是什么形状？开口向上还是向下？
2.此函数的图象是否具有对称性？
函数图象是轴对称图形，
对称轴是 y 轴（直线 ）。
函数图象形似物体抛射时经过的路线，
我们一般把它称为抛物线。
图像的开口向上。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
直线
顶点
新知讲解
3. 在对称轴的两侧，函数图形有怎样的增减规律？
4. 当 x 取何值时，y 取最小值，最小值是多少？
当时， 随 的增大而减小
当时， 随 的增大而增大
当时， 取最小值
即顶点 为图像最低点
新知讲解
做一做：(1）画出二次函数的图像。
… …
… …
新知讲解
（2）观察并比较这两个函数的图象,它们有什么共同点 又有什么区别
开口向上
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而减小 当时， 随 的增大而增大
当时， 取最小值 即顶点 为图像最低点
开口向下
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而增大
当时， 随 的增大而减小
当时， 取最大值
即顶点 为图像最高点
新知讲解
做一做：在同一个平面直角坐标系中，画出函数与的图象。
观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
… …
… …
… …
… …
新知讲解
新知讲解
开口向下
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而增大
当时， 随 的增大而减小
当时， 取最大值
即顶点 为图像最高点
开口向上
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而减小
当时， 随 的增大而增大
当时， 取最小值
即顶点 为图像最低点
新知讲解
做一做：将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
(1）比较 的图像。
新知讲解
我们发现：
若，抛物线开口向上。在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升。顶点是抛物线上位置最低的点。
思考：图象的这些特点反映了函数的什么性质？
图象的这些特点表明，函数具有这样的性质：
当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大
当时，函数取最小值，最小值 =
新知讲解
做一做：将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
(2）比较 的图像。
新知讲解
我们发现：
若，抛物线开口向下。在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。顶点是抛物线上位置最高的点。
思考：图象的这些特点反映了函数的什么性质？
图象的这些特点表明，函数具有这样的性质：
当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小
当时，函数取最大值，最大值 =
新知讲解
思考：函数的大小对函数图像有什么影响？
当时， 的值越大，函数图像开口越窄；
当时， 的值越小，函数图像开口越窄。
因此，越大，函数图像开口越窄； 越小，函数图像开口越宽。
新知讲解
二次函数的图像和性质：
大致图像
新知讲解
开口方向
开口大小 对称性 顶点坐标 函数最值
增减规律
开口向上
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而减小
当时， 随 的增大而增大
当时， 取最小值
越大，函数图像开口越小； 越小，函数图像开口越大。
开口向下
当时， 取最大值
当时， 随 的增大而增大
当时， 随 的增大而减小
典例精析
例1 : 对于 的图象下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，开口越大 B． 的值越小，开口越小
C． 的绝对值越小，开口越大 D． 的绝对值越小，开口越小
C
例2 : 下列函数中，开口方向向上的是（ ）
A． B．
C． D．
D
典例精析
例3 : 二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ．
抛物线
上
轴
例4 : 已知二次函数，当时， 随的增大而 ．
增大
例5 : 二次函数的开口方向是 ．
向下
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．在函数①；②；③中，图象开口按从大到小的
顺序排列的是（ ）
A．①②③ B． ②③① C． ②①③ D． ③②①
2．给出下列四个函数：①；② ；③ ；④．
时， 随的增大而减小的函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
C
3．画出下列函数的图象：
（1）； （2）
课堂练习
解：
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4 . 根据上题所画的函数图象填空：
（1）抛物线 的对称轴是 ，顶点坐标是 ，
当 时， 抛物线上的点都在 轴的上方。
（2）抛物线 的开口向 ， 除顶点外，抛物线上的点都在 轴的 方，它的顶点是抛物线上的最 点。
轴
下
（0,0）
下
高
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5 .设圆的半径为 ，面积为 。
（1）试写出 与 之间的函数关系式。
（2）画出这个函数的图象。
解：(1)
(2)
课堂练习
【综合拓展类作业】
6. 不画图象，说出抛物线 和 的开口方向，对称轴和顶点坐标。
解：(1)抛物线 的开口方向向下，对称轴是轴，顶点坐标是（0，0）。
(1)抛物线 的开口方向向下，对称轴是轴，顶点坐标是（0，0）。
课堂总结
二次函数的图像和性质：
大致图像
课堂总结
二次函数的图像和性质：
开口方向
开口大小 对称性 顶点坐标 函数最值
增减规律
开口向上
图像关于y 轴（直线 ）对称
当时， 随 的增大而减小
当时， 随 的增大而增大
当时， 取最小值
越大，函数图像开口越小； 越小，函数图像开口越大。
开口向下
当时， 取最大值
当时， 随 的增大而增大
当时， 随 的增大而减小
板书设计
二次函数的图像和性质
大致图像
开口方向
开口大小
对称性
顶点坐标
函数最值
增减规律
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；② ；③ ； ④ ．则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
①
②
③
④
2．若抛物线， 的形状相同，那么（ ）
A． B．
C．||=|| D． 与的关系无法确定
C
A
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．下列函数中，当时随的增大而减小的有 ．
（1），（2），（3） ，（4）．
4．如图，⊙O的半径为2，是函数的图象， 是函数的图象，则阴影部分的面积是 ．
（1）（4）
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5．已知二次函数 ．
（1）判断点 A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点B的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点 D 的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数的图象上吗？在二次函数的图象上吗？
解：（1）当 时，
所以 A（2，4）在二次函数图象上。
（2）点 A 关于 x 轴的对称点B的坐标是（2，-4），关于 y 轴的对称点 C 的坐标是（-2，4），关于原点 O 的对称点 D 的坐标是（-2，-4）。
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
（3）当 时， ，
所以 B（2，-4）在二次函数图象上。
当 时， ，
所以 C（-2，4）在二次函数图象上。
当 时， ，
所以 D（-2，-4）在二次函数图象上。
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6. 已知函数 是关于的二次函数
（1）求的值；
（2）当为何值时，该函数的开口向下？
(3) 当m为何值时，该函数有最小值？
解：（1）∵ 是二次函数
∴ 则
的值为或 。
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）∵ 该函数图像的开口向下，
∴
解得 ∴
当时，该函数图像的开口向下。
（3）∵该函数有最小值，即该函数图像有最低点
∴
解得 ∴
当时，该函数有最小值。
作业布置
【综合拓展类作业】
7．如图，直线与抛物线交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解方程组得 或
的值为或 。
因为直线 与 y 轴相交于点C
则 +
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