2024-2025学年人教版八年级数学上册课件11.1.2三角形的高、中线与角平分线课件（32张PPT）

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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
第十一章 三角形
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
复习回顾
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
画一画
如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.
P ●
A
B
三角形的高
一
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B
C
D
垂足
注意:
标明垂直的记号和垂足的字母.
高的叙述方法（如图）：有三种
②AD⊥BC,垂足为D.
③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
A
B
C
D
锐角三角形的三条高
问题1 每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
探究交流
直角三角形的三条高
问题：在纸上画出一个直角三角形.
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
(2)它们有怎样的位置关系？
D
斜边AC边上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高
问题：
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
O
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
画钝角三角形的高微视频（单击）
画钝角三角形的高
三角形的三条高的特性
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
典例精析
例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知,
AD·BC＝ BP·AC.
代入数值，可解得BP＝ .
方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
三角形的中线
二
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
C
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD= BC
D
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
E
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
典例精析
例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝
×12＝4.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
三角形的角平分线
三
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
A
B
C
D
E
F
问题3：一个三角形有几条角平分线？
3
称之为三角形的内心．
观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=
80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
典例精析
∴∠ACB=∠AED=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
知识归纳
1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 ( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
图①
图②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC =______.
12cm2
7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.
A
D
B
C
解： ∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD .
∵BC-AC=5cm,
∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm,
又∵ △DBC的周长为25cm，
∴ △ADC的周长=25-5=20(cm).
能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分
A
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线