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高中数学第二册（上）同步练测（1）
不等式的性质
基础练习
1.下列不等式不一定成立的是 ( )
2.若下列不等式成立的是 ( )
3.如果那么 ( )
4.若下列不等式正确的是 ( )
5.设那么下列各式中正确的是 ( )
6.如果那么之间的大小关系是 ( )
7.若角满足,则的取值范围是 ( )
8.判断下列命题是否正确:
(1) ( ) (6) ( )
(2) ( ) (7) ( )
(3) ( ) (8) ( )
(4) ( ) (9) ( )
(5) ( ) (10) ( )
9.若且则与的大小关系是
10.设,且则与的大小关系是
11.若则从小到大的排列是
12.若,则从小到大的排列是
13.已知满足试确定的符号.
14.求证:.
15.命题“若且,则且”成立吗 其逆命题是否也成立？说明理由.
16.已知比较与的大小关系.
[深化练习]
17.如果且那么( )
18.已知则与的大小关系是
19.已知则的取值范围是
20.已知设试比较与的大小.
参考答案
1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8. ×√××√××√×× 9.algc>blgc 10.n3+1>n2+n 11. 12. 13.a,b,c都为正数 14.略 15.原命题逆命题都成立
16.x>0时“>”;x=0时“=”；x<0时“<” 17.D 18. 19.(0,10)
20.作差、讨论、必有A>B
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6.1 不等式的性质（二）
*
a > b a b > 0
a < b a b < 0
a = b a b = 0
1.判断两个实数大小的充要条件是:
复 习 引 入
2.作差法比较两个实数大小的一般步骤:
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式,
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论,
第三步：得出结论
3. (1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗 为什么
(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗 为什么
1.同向不等式: 两个不等号方向相同的不等式，
例如：a>b，c>d，是同向不等式.
异向不等式: 两个不等号方向相反的不等式
例如：a>b，c
新 课 教 学
定理1：若a>b，则bb，
即a>b b证明：a>b a b>0
(a b)<0
b a<0
b2.不等式的性质：
定理2：若a>b，且b>c，则a>c. (传递性)
证明：∵a>b, b>c ∴a b>0, b c>0
根据两个正数的和仍是正数，得 :
(a b)+(b c)>0
∴a c>0 ∴a>c
根据定理l，定理2还可以表示为：c点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．
定理3：若a>b，则a+c>b+c (加法单调性)
即a>b a+c>b+c (加法单调性)
证明：∵(a+c) (b+c)=a b>0
∴a+c>b+c
(1)定理3的逆命题也成立；
(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．
点评：
定理3：若a>b，则a+c>b+c (加法单调性)
推论：若a>b，且c>d，则a+c>b+d. (相加法则)
即a>b且c>d a+c>b+d (相加法则)
证明: ∵a>b, ∴a+c>b+c,
∵c>d ∴b+c>b+d ∴a+c>b+d
（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；
点评：
例1. 已知a>b，cb-d．(相减法则)
分析1：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的.
证法1:∵a＞b， ∴ a－b＞0，
∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0
∵ c＜d ∴ d－c＞0
故a－c＞b－d
(两个正数的和仍为正数)
例 题 解 析
例1. 已知a>b，cb-d．(相减法则)
分析2：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的.
证法2:∵c＜d ∴－c＞－d
又∵a＞b
∴a＋（－c）＞b＋（－d）
∴a－c＞b－d
已知a、b、c、d为实数, 且c >d. 则“a>b”是“ a-c>b-d ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
练 习 一
解析2：令 a=2, b=1, c=3, d=-5, 则a-c=-1由 a-c>b-d 可得，a>b+(c-d)
因为c >d ，则 c-d>0 ，所以 a>b
故“a>b”是“ a-c>b-d ”的必要而不充分条件
解析： a>b 推不出 a-c>b-d ；但
故选择B.
（2009 四川）
定理1：如果a>b，那么b那么a>b．(对称性)
即：a>b,bb
定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c a>c
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>b a+c>b+c
推论： 如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d a+c>b+d．
小结不等式的性质:
例2、已和a＞b＞c＞d＞0，且 ，求证：a＋d＞b＋c
证明：∵
∴（a－b）d＝（c－d）b
又∵a＞b＞c＞d＞0
∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0 且 ＞1
∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c
评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速。因此，这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧
判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)a>b a c>b c (2)a>b,c>d a+c>b+d
(3)a>b ac2>bc2 (4)
(5)a>b>0 (6)a>b,c>d
(7)a2>b2 |a|>|b| (8) (a>0,b>0) a2>b2
练 习 二
例3.已知x、y均为正数，设
试比较M和N的大小.
证明：
例4.已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围
分析： 利用f(1)与f(2) 表示a 、c, 然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)与f(2)来表示f(3), 最后运用已知条件确定f(3)的取值范围
例4.已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围
点评：应当注意，下面的解法是错误的：
由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得
0≤a≤3， 1≤c≤7 (3)
所以，由f(3)=9a-c可得，-7≤f(3)≤27
以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a、c的范围扩大，这样f(3)的范围也就随之扩大了
1、回答下列问题：
（1)如果a＞b，c＜d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小 举例说明；
(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小 举例说明
答案：(1)不能断定.例如：2＞1，1＜3，2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0.８ 2－1＞1－0.８异向不等式作加法没定论
(2)不能断定.例如a＞b，c＝1＞d＝－1,a－2c＝a－2，b－2d ＝ b＋2 ，其大小不定;a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3,而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3
练 习 三
2．如果 ，求不等式
同时成立的条件．
解：
3．如果 求证：
证：
4．已知 比较 与 的大小．
解：
注意分类讨论
本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞b b＜a）、传递性(a＞b，b＞c a＞c)、可加性(a＞b a＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞d a＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
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1．比较两式的大小
比较下列各式的大小。
（1） 与
（2） 与 （ ）
（3） 与 （ ）
解法1：
当 时
当 时
当 时
（2）∵
当 时
当 时
（3）
∴
解法2：（1）、（2）得，现解（3）
注意 此题在于巩固读者学过的乘法公式。
2．判断命题真假的题目
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8） （ ）
解答：（1）命题成立，可由性质 直接推出。
（2）命题不成立，因为 不成立。如 ，显然有 ，但推不出
（3）命题不成立。当 时，有
（4）命题成立。可由性质
（5）命题不成立。其中 ，可由性质直接推出，而 则不成立，例如： 时就不成立。
（6）命题不成立，例如 时就不成立。
（7）命题成立。由性质 ，可直接证得 ；而由性质 可以证得
（8）命题成立。由性质 可直接证得
点评 关于基本性质方面的总量主要有三类：一类是基本性质，包括互逆性和传递性类是与加减运算有关的性质；另一类是与乘、除、乘方、开方运算有关的性质。
3．求代数式范围的题目
设 ，那么 的范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案 D
4．考查不等式性质的选择题
综合运用不等式的性质，请完成以下题目：
（1）若 ，则下列不等关系中不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（提示： 是一个有用的小结论。）
（2）如果 ，那么下列不等式① ；② ；③ ；④ 其中恒成立的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．②③
（3）若 、 是任意实数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
（4）若 且 ，则下面的不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（5）若 和 是实数， 是有理数，满足下面哪个条件必有 （ ）
A． B．
C． D．
5．应用不等式的性质解题的综合题目
题目 设 且 ，比较 与 的大小。
分析：待比较两式带有绝对值符号，因此应设法去掉绝对值，才能便于作差或商的变形。
解法1：当 时，由 知
，
∴
∵
∴ ，从而
故
解法2：平方作差：
∴
故
解法3：作商比较
∵
∴ ，
∴ ，
故
由 知 及
∴ ，
故
∴
评注：本例含有两个变元 ，乍一看必须要对 进行分类讨论，如解法1；然而再通过多角度审视却回避了讨论，得到了巧妙的解法2与解法3。
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第六章不等式
6.1 不等式的性质(1)
教学目标
1．要求学生会用差值比较法比较两个实数的大小．
2．培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力.
3．培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯.
重点难点分析
教学重点：运用作差法比较两个实数的大小．基本步骤是：作差→变形→判断→得出结论．
教学难点：对命题中“”的含义的理解．
课前准备
1．教具准备：投影片两张．
第一张：记作6．1．1A
问题l：数轴的三要素是什么 问题2：把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：
第二张：记作6．1．1B
问题l：若a>b，则a-b 0；若口=b，则a=b 0；若ab与a-b>0等价吗
2．教法准备：课前布置学生对数轴和初中阶段不等式的内容进行复习，然后教师采用启发式教学法进行教学．
教学设计
【课题导入】
在客观世界中不等式具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式．实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系．
【讲授新课】
一、打出投影片6．1．1A，请同学们解决下列问题：
问题l：数轴的三要素是什么
原点、正方向、单位长度．
问题2：把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：
请一个学生回答：图略．
教师点评：在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
二、请同学们预习课本，教师打出投影片6．1．1B：
问题l：若a>b，则a-b 0；若a=b，则a-b 0；若a答：若a>b，则a-b>0；若a=b，则a-b=0；若a问题2：a>b与a-b>0等价吗
答：显然a>b与a-b>0是等价的．
教师点评：此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要比较它们的差的符号就可以了.
三、例题讲解．
例1 比较与的大小．
分析：比较两个实数a与b的大小，可归纳判断它们的差(a-b)的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关)．由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题．
解：
注：要求学生回答，教师进行书写．
例2 已知比较与的大小．
解：
引伸：在例2中，如果没有这个条件，那么两式的大小关系如何
教师分析：此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解含有字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围．一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写．
解：当x = 0时，
当时，
例3 已知比较与的大小．
分析：作差后，为使差值符号便于判断，可考虑分子有理化．
解：
即
又即
教师点评：通过分子(或分母)的有理化使方根的差转化为方根的和是解决根式问题的一种常用技巧．本题也可先比较M2与N2的大小，进而确定M与N的大小．
【课堂小结】
本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其化简目标应是几个因式之积或完全平方式或常数的形式．
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．
第三步：得出结论．
【随堂练习】
1．在以下各题的横线上填上适当的不等号：
(3)当时，
答案：
2．若则有(D)．
3．已知比较与的大小．
答案：
故
【作业布置】
1．比较与的大小．
答案：
2．如果x>0，比较与的大小．
答案：
3．比较与的大小
答案：
6.1 不等式的性质(2)
教学目标
1．掌握不等式性质定理l、2、3及推论的证明，初步理解证明不等式的逻辑推理方法．
2．能运用不等式性质定理及推论解决一些简单的问题．
3．通过对不等式性质定理的学习，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯．
重点难点分析
教学重点：不等式定理l、2、3及定理3的推论．
教学难点：①定理l、2的证明依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则．②定理3的推论是同向不等式相加法则的理论依据．
课前准备
1．教具准备，投影片两张
第一张：记作6．1．2A
第二张：记作6．1．2B
2．教法准备：准备采用引导启发结合法：在教师的引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用．
教学设计
【复习旧知】
一、打出投影片6．1．2A，使学生解决下面问题：
问题l：比较两实数大小的理论依据是什么
生答：比较两实数大小的理论依据是三个“等价”关系，即
问题2：用“作差法”比较两实数的大小，其一般步骤是什么
生答：用“作差法”比较两实数的大小，一般分三步，即
第一步：作差并化简，其化简目标应是几个因式之积或完全平方或常数的形式．
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论．
第三步：得出结论．
问题3：已知x、y均为正数，设试比较M和N的大小．
解：
均为正数，
即
二、打出投影片6．1．2B，使学生口述初中已学过的不等式的三条基本性质．
生答：不等式的基本性质是：
基本性质l：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
基本性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
【讲授新课】
定理l(反对称性)如果a>b，那么bb．
证明：由正数的相反数是负数，得即
定理l的后半部分要求学生仿照以上的证明进行独立完成．
定理l说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向．
定理2(传递性)：如果a>b，且b>c，那么a>c.
在教师指导下让学生完成证明过程．
生证：根据两个正数的和仍是正数，得即a>c．
问题：运用定理1，能否将定理2改写成其他形式
生答：如果那么a定理3(同加性)：如果a>b，那么
教师分析：定理3的实质是：在a>b的条件下，比较a+c与b+c的大小．
证明：即
问题l：如果那么是否成立
答：成立．证明：(定理3)，即
上述问题说明了不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
问题2(推论)：如果a>b，且c>d，那么是否成立
答：成立．证明：
由①②得，
教师点评：很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，也就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．
【例题讲解】
例1 已知求证
证一:
证二：又即
【课堂小结】
本节课我们学习了不等式的性质定理l～定理3及其推论．
【随堂练习】
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)如果a>b，那么
(2)如果a>b，那么
答案：(1)真 (2)假
2．如果能否断定a-3c与b-3d谁大谁小 举例说明．
答案：不能判定．
3．如果a>b，那么
答案：略．
4．已知求的取值范围．
答案：
【作业布置】
1．用“>”、“<”号填空：
(1)如果a>b，那么-a -b；
(2)如果那么
答案：(1)<， (2)>．
2．已知求a-b的取值范围．
答案：
6.1 不等式的性质(3)
教学目标
1．掌握并证明定理4及其推论l，推论2．
2．会用反证法证明定理5，并熟练运用．
3．进一步巩固，熟练掌握不等式的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力．
重点难点分析
教学重点：(1)不等式的基本性质的运用．(2)用不等式的基本性质来推理判断和证明其他不等式．
教学难点：不等式基本性质中的条件的运用及其对应用问题中字母的分类讨论．
课前准备
1．投影片一张，记作6．1．3A
2．教法准备：准备采用启发式教学法．
教学设计
【复习旧知】
打出投影片6．1．3A，使学生复习，巩固上一节课的内容．
问题l：请同学们回顾一下，上一节课我们学习了不等式的哪些基本性质
学生回答略．
问题2：若5>2，则5×3与2×3谁大呢 若5>2，则与又如何
生答：若5>2，则若5>2，则
【新课讲授】
定理4 如果a>b，且c>0，那么
如果a>b，且c<0，那么
分析：我们观察此题，虽然是不等式问题，实际上是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则，通过作差，比较ac与bc的大小．
证明：
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当c>0时，即
当c<0时，即
推论l 如果且那么
要求学生仿照定理3的推论证明定理4的推论1．
证明：且
又
由①②可知，
教师点评：很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：
推论2：如果那么且n>1)．
定理5：如果那么且n>1)．
请同学们回顾：用“反证法”证明题的一般步骤是什么
第一步：假设命题的结论不成立，而命题的反面成立.
第二步：根据已知条件，从假设出发，推出与已知条件(或已知的真命题)相矛盾的结论，从而断定假设是错误的．
第三步：肯定原命题的结论正确．
接着请同学们考虑：a>b的反面是什么
生答：a>b的反面是
进一步追问学生：的反面是什么
生答：的反面有两种情况：
最后请同学们完成定理5的证明过程(当学生遇到困难时，教师作适当的指导)．
证明：假设不大于，则有
由定理1和定理4的推论2可知：当时，又 且即当时，显然有a=b，这些都同已知条件相矛盾．故如果那么且n>1)．
【例题讲解】
例1 已知求证
分析：思路一：证明不等式问题，一般利用不等式的性质作为理论依据，通过推理论证求得结果．
证明：两边同乘以正数得即又
思路二：证明不等式问题，常常转化为比较两实数的大小问题，即利用作差法，结合已知条件，通过变形(通分，有理化，因式分解等)比较与的大小，就可得证．
接下来请学生自己完成证明过程．
证明：
即故
例2 已知函数求f(3)的取值范围．
分析：利用f(1)与f(2)设法表示a、c然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)与f(2)来表示f(3)．最后运用已知条件确定f(3)的取值范围．
解：
即解之得
又
把上述两式分别相加得：即
【课堂小结】
1．定理4及其推论l、推论2．
2．定理5．
【随堂练习】
1．已知四个条件，能推出成立的有(C)
A．1个． B．2个． C．3个． D．4个．
2．下列推导中，不正确的是(B)
且
3．已知则下列关系正确的是(C)
4．如果求及的取值范围．
答案：
即
即
即
【作业布置】
1．已知求证
答案略．
2．已知且求．f(-2)的取值范围．
答案：
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