中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 一元二次方程的解法 分层练习
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】解：
∴，
．
故选D．
3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ．
【解析】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
4．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程：；
【解析】解：
移项得，，
系数化为1得，，
直接开平方得，，
.
5．（2022·湖北荆州·一模）解下列方程：；
【解析】（1）解：移项，得：，
开方，得：，
解得：，．
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：（直接开平方法）
【解析】解：∵
∴或
解得，．
题型二 用配方法解一元二次方程
1．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
2．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【解析】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
4．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ．
【解析】解：
∴
故答案为：1．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）解方程；
【解析】解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-.
6．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
【解析】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：，
移项，得，
，
配方，得，即，
∴，
∴，．
题型三 用公式法解一元二次方程
1．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】解：，
，
则，，，
故选：C
2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【答案】D
【解析】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故选：D
3．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（ ）
A．2 B． C．17 D．
【答案】C
【解析】解：原方程可变形为，
，，，
．
故选：C
4．（2019·西藏·中考真题）一元二次方程的根是 ．
【解析】，
a=1，b=－1，c=－1，
，
，
所以，
故答案为．
5．（2019·山东威海·中考真题）一元二次方程的解是 ．
【解析】，
，
则，
故，
解得：，．
故答案为，．
6．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：）
【解析】（1）
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，.
题型四 用因式分解法解一元二次方程
1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ．
【解析】解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
3．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解方程：．
【解析】解：，
，
所以；
4．（22-23九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： ．
【解析】整理得：=0，
∴[][]=0，
∴=0或，
∴，．
5．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
解：方程两边除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为1，得第三步
任务：
(1)小明的解法从第__________步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是__________；
(3)用因式分解法解方程：．
【解析】（1）解：由题意可知小明的解法从第一步开始出现错误；
故答案为一；
（2）解：
或
∴；
故答案为；
（3）解：
解得：．
题型五 一元二次方程根的判别式
1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【解析】解：∵，，，
∴．
故选：C．
2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
3．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
4．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
5．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【解析】解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根．
【解析】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
7．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【解析】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
【解析】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
9．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知：关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【解析】（1）证明：，
，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有，则，
方程化为，
解得，
故的周长．
1．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【解析】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
3．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【解析】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
5．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ．
【解析】解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
【解析】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
【解析】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，
∴ ，且为正整数，
解得，且为正整数，
∴可以为
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
【解析】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
10．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
【解析】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x 1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2 3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2 4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2 4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
11．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
【解析】解：（1），
，
，
，
故答案为：D；
（2）
，
，
，即有最大值14；
（3），
，
，
，，
，，
．
12．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）解：是等腰三角形，
理由如下：
是方程的根，
，
，
，即，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
，
解得：，．
13．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【解析】（1）解：证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴或，
解得或（舍去），
∴a的值为4．
14．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【解析】（1）解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
（2）解：由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
（3）解：由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
15．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【解析】解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，判断与有，
理由如下：
，
无论取什么值，总有；
（3）拓展：
，
故．
16．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．
(1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成；
第二步：构造边长为的正方形（如图2）；
第三步：求得右下角正方形面积的值是①；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
将代入，
可得②，
，
③．
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
(2)请参照上述方法解方程．
【解析】（1）解：①，
；
②
将代入，可得；
③，
，
或，
，
；
（2）解：第一步：将方程变形成，
第二步：构造边长为的正方形如图，
第三步：求得右下角正方形面积的值是；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
将代入，可得，
，
或，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 一元二次方程的解法 分层练习
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ．
4．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程：；
5．（2022·湖北荆州·一模）解下列方程：；
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：（直接开平方法）
题型二 用配方法解一元二次方程
1．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）解方程）；
6．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
题型三 用公式法解一元二次方程
1．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
3．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（ ）
A．2 B． C．17 D．
4．（2019·西藏·中考真题）一元二次方程的根是 ．
5．（2019·山东威海·中考真题）一元二次方程的解是 ．
6．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：）
题型四 用因式分解法解一元二次方程
1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ．
3．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解方程：．
4．（22-23九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： （因式分解法）．
5．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
解：方程两边除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为1，得第三步
任务：
(1)小明的解法从第__________步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是__________；
(3)用因式分解法解方程：．
题型五 一元二次方程根的判别式
1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
4．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
5．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
6．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根．
7．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
9．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知：关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
1．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ．
7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
9．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
10．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
11．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
12．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
13．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
14．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
15．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
16．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．
(1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成；
第二步：构造边长为的正方形（如图2）；
第三步：求得右下角正方形面积的值是①；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
将代入，
可得②，
，
③．
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
(2)请参照上述方法解方程．
