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21.3 二次函数与一元二次方程 分层练习
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2024 武威二模）已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
2．（2024 夏邑县二模）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
3．（2024 东莞市校级一模）抛物线与轴的交点个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2024 绿园区校级三模）若抛物线为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 ．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共4小题）
5．（2023秋 剑阁县期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是
A． B． C． D．
6．（2024 潼关县一模）如表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个根在 范围之间．
A． B． C． D．
7．（2023秋 霍邱县期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是 ；
8．利用二次函数的图象估计一元二次方程的实数根（精确到．
三．二次函数与不等式（组）（共4小题）
9．（2023秋 雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是
A． B． C． D．或
10．（2024春 秀屿区校级月考）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
11．（2024 淮阴区校级模拟）二次函数的部分图象如图所示，则的解集是 ．
12．（2024春 鼓楼区校级期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
一．选择题（共6小题）
1．（2024 市中区校级二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
2．（2024 合肥模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．1 B． C．2或 D．3或
3．（2024 淮滨县校级模拟）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是
A．或 B． C．或 D．
4．（2024 岳麓区校级模拟）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如，函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为
A． B． C． D．
5．（2024 郸城县模拟）在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线如图所示，，是方程的两个根，且，则函数在坐标系中的图象大致为
A． B．
C． D．
6．（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
7．（2024 朝阳区校级二模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个交点，则的值为 ．
8．（2024 南关区校级模拟）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．
9．（2024 西岗区校级模拟）如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为3，则点的横坐标的最小值为 ．
10．（2024春 东台市期中）若二次函数、、为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值．
12．（2024 香洲区三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务．
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数，满足求和的值．
小真：利用消元法解方程组，分别求出，的值后，再代入和即可．
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程细的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务．
（1）任务一：解方程组
（2）任务二：在（1）的前提下取，的值，若抛物线与轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式．
13．（2024 郸城县四模）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求点的坐标，并结合图象直接写出关于的不等式的解集．
（3）若关于的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出的取值范围．
14．（2024 东明县二模）如图1，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断的形状并说明理由．
15．（2024 鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 二次函数与一元二次方程 分层练习
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2024 武威二模）已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，可得△且．
【解答】解：原函数是二次函数，
．
二次函数的图象与轴有两个交点，则
△，
△，
．
综上所述，的取值范围是：且，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，关键是熟记当△时图象与轴有两个交点；当△时图象与轴有一个交点；当△时图象与轴没有交点．
2．（2024 夏邑县二模）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】首先根据二次函数的图象得到，，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．
【解答】解：二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
，，
，
，
△，
关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，根的判别式，正确进行计算是解题关键．
3．（2024 东莞市校级一模）抛物线与轴的交点个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】令，求出△的值，判断出其符号即可．
【解答】解：令，
△，
抛物线与轴的交点个数是1．
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系是解答此题的关键．
4．（2024 绿园区校级三模）若抛物线为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 ．
【分析】依据题意，由抛物线与轴有两个公共点，可得△，计算即可得解．
【解答】解：由题意，抛物线与轴有两个公共点，
△．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式进行解答是关键．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共4小题）
5．（2023秋 剑阁县期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是
A． B． C． D．
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：二次函数的顶点为，
对称轴为，
而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，
右侧交点横坐标的取值范围是．
故选：．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
6．（2024 潼关县一模）如表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个根在 范围之间．
A． B． C． D．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系．
【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程的一个根在范围是．
故选：．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．
7．（2023秋 霍邱县期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是 1.2 ；
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
8．利用二次函数的图象估计一元二次方程的实数根（精确到．
【分析】方程的根是函数与轴交点的横坐标．先作出二次函数的图象，观察图象可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在1和2之间，再根据精确度求出方程的解即可．
【解答】解：方程的根是函数与轴交点的横坐标．
作出二次函数的图象，如图所示，
由图象可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在2和3之间．
先求0和之间的根，
当时，；当时，；而，
因此，是方程的一个近似根，
同理，是方程的另一个近似根．
所以方程的两个近似根是或2.4．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图象，体现了数形结合的思想方法．
三．二次函数与不等式（组）（共4小题）
9．（2023秋 雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是
A． B． C． D．或
【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，或时，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
10．（2024春 秀屿区校级月考）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．
【解答】解：由图象得：对称轴是直线，其中一个点的坐标为
图象与轴的另一个交点坐标为
利用图象可知：
的解集即是的解集，
故填：
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
11．（2024 淮阴区校级模拟）二次函数的部分图象如图所示，则的解集是 ．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：抛物线与轴的交点的横坐标为方程，，是常数，的两个实数解．也考查了二次函数的性质．
12．（2024春 鼓楼区校级期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
的解集是．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
一．选择题（共6小题）
1．（2024 市中区校级二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
【分析】先根据二次函数的定义得到，再根据抛物线与轴的交点问题得到△，然后解不等式即可得到的值．
【解答】解：二次函数的图象与轴有公共点，
△，
解得，
又是二次函数，
，
的取值范围是且．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，正确记忆对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数：当△时，抛物线与轴有2个交点；当△时，抛物线与轴有1个交点；当△时，抛物线与轴没有交点是解题关键．
2．（2024 合肥模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．1 B． C．2或 D．3或
【分析】根据二次函数图象与轴有且只有一个交点，得出△，即可求出的值．
【解答】解：二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
△，
或，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题．
3．（2024 淮滨县校级模拟）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是
A．或 B． C．或 D．
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由函数图象可知，
当时，
二次函数的图象在一次函数图象的下方，即，
所以不等式的解集为：．
故选：．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
4．（2024 岳麓区校级模拟）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如，函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，从而两个“函数”上的点关于轴对称，故可设所求“函数”上任意一点为，则其关于轴的对称轴点为必在函数上，可得为“函数”的解析式，再由“函数”图象与轴只有一个交点，进而△，求出后即可判断得解．
【解答】解：由题意，两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，
“函数”上的点关于轴对称．
设所求“函数”上任意一点为，
其关于轴的对称轴点为必在函数上．
为“函数”的解析式．
又“函数”图象与轴只有一个交点，
△．
．
“函数”的解析式为．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
5．（2024 郸城县模拟）在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线如图所示，，是方程的两个根，且，则函数在坐标系中的图象大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象．
【解答】解：，是方程的两个根，
转化为与函数图象交点问题，
由图象可得：，
，，
故函数在坐标系中的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键．
6．（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】先利用抛物线的对称轴求出得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时，的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，解得，
抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，，
当时，，
的取值范围为：，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二．填空题（共4小题）
7．（2024 朝阳区校级二模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个交点，则的值为 ．
【分析】依据题意，由抛物线与轴有且只有一个交点，从而可得△，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，物线与轴有且只有一个交点，
△．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
8．（2024 南关区校级模拟）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．
【分析】根据判别式的值为0，构建方程式求出的值．
【解答】解：抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，
△，
．
故答案为：．
【点评】本题考查利用公式求的值．
9．（2024 西岗区校级模拟）如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为3，则点的横坐标的最小值为 ．
【分析】依据题意，根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值．
【解答】解：由题意得，点的横坐标的最大值为3，
当对称轴过点时，点的横坐标最大．
点坐标为．
当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，
此时点的坐标最小为，
故点的横坐标的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题是要熟练掌握并理解二次函数的图象对称轴的特点是关键．
10．（2024春 东台市期中）若二次函数、、为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 或 ．
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由函数图象可知，
当或时，
二次函数的图象在轴的下方，
所以关于的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值．
【分析】（1）依据题意，由抛物线过，，从而可得，求出，可得抛物线的解析式；
（2）①依据题意，根据（1）抛物线的解析式为，再令，则或，可得，又是直线下方抛物线上的一个动点，故，再结合抛物线为，可得当时，取最小值为，最后结合图象可得，即可判断得解；
②依据题意，由，，，从而，，又．结合，可得，再作轴于点，又，即，故，解方程即可得解．
【解答】解：（1）由题意，抛物线过，，
．
．
抛物线的解析式为．
（2）①由题意，根据（1）抛物线的解析式为，
令，则或．
．
又是直线下方抛物线上的一个动点，
．
又抛物线为，
当时，取最小值为．
结合图象可得，当时，
．
②由题意，，，，
，．
．
又，
．
如图，作轴于点，
又，即
．
或．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．（2024 香洲区三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务．
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数，满足求和的值．
小真：利用消元法解方程组，分别求出，的值后，再代入和即可．
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程细的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务．
（1）任务一：解方程组
（2）任务二：在（1）的前提下取，的值，若抛物线与轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式．
【分析】（1）依据题意，，由①得，再通过整体代入求出，进而可得，然后可以得解；
（2）依据题意，将代入可得抛物线为，再结合抛物线与轴有唯一的交点，可得△，进而求出可以得解．
【解答】解：（1）由题意，，
由①得③，
将③代入②，得，解得．
将代入③，解得，
原方程组的解为．
（2）由题意，将代入，
．
抛物线与轴有唯一的交点，
△．
．
抛物线的解析式为．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二元一次方程组的解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
13．（2024 郸城县四模）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求点的坐标，并结合图象直接写出关于的不等式的解集．
（3）若关于的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出的取值范围．
【分析】（1）依据题意，将点代入，得，从而，又当时，，解得，故点，又将点代入 得，求出可得解析式，又，可得顶点坐标，进而得解；
（2）依据题意，直线与抛物线的交点在第三象限，故，计算即可的坐标，再结合图象可以判断得解；
（3）依据题意，方程 在 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线 与直线在的范围内只有一个交点，结合图象，当时，直线与抛物线 始终有一个交点；当直线 经过抛物线顶点时，直线 与抛物线 有一个交点，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，将点代入，得，
．
当时，，解得，
点．
将点代入 得，
解得．
抛物线的解析式为．
，
顶点坐标为．
（2）直线与抛物线的交点在第三象限，
．
（不符合题意，舍去）或．
．
．
点的坐标为．
观察图象，得不等式的解集为或．
（3）由题意，方程在 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点．
如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；
当直线经过抛物线顶点时，直线 与抛物线有一个交点，
的取值范围为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．（2024 东明县二模）如图1，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断的形状并说明理由．
【分析】（1）依据题意，由，从而可得，，又抛物线经过点、，进而可得，求出，即可得解；
（2）依据题意，由，可得顶点，又设抛物线的对称轴与轴交于点，过作于点，再结合，，，，可得，，，，，，，进而可得，，，故，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，，
，．
抛物线经过点、，
，
．
抛物线的表达式是：．
（2）由题意得，是直角三角形，理由如下：
抛物线为，
顶点为．
设抛物线的对称轴与轴交于点，过作于点，如图所示，
，，，，
，，，，，，．
，
，
，
．
．
是直角三角形．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15．（2024 鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入求出值，由此可得出点的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点的坐标；
（3）设点的坐标为，，，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）将、代入，
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，
点的坐标为；
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为．
（3）设点的坐标为，，，
，，
，
，
，
，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合求出点的纵坐标．
