2023-2024学年第二学期期末教学质量监测
高二数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，
再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂R.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂
R:如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答策必须写在答题卡各题目指定区
战内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用
铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3=1,S6=4,则S,=
A.7
B.8
C.9
D.12
2.已知随机变量5服从正态分布N3,o),且P(5<4)=0.6,则P(5<2)等于
A.0.1
B.0.2
c.0.3
D.0.4
3.已知函数f(x)=x-lnx,则f(x)单调增区间是
A.（-∞，0)
B.(1,+o∞)
C.(-∞，0)U(1,+o∞)D.(0,1)
4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值
第五天，则不同安排方法的种数有
A.42
B.72
c.78
D.96
5.2025有（)个不同的正因数
A.8
B.10
C.12
D.15
6.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)
的几组对应数据如表所示：
A
6
y
2.5
3
4.5
根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=07x+à，若生产7吨产品，预计相应的
生产能耗为
第1页，共4页
A.5.15吨
B.5.25吨
C.5.5吨
D.9.5吨
7.下列四个不等式①lnx个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H共八个
点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面
G
向上的点数为i(i=1,2,…,6可，则棋子前进i步，每步从一个点按顺
时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，
游戏结束.若此时棋子在点A处，则游戏过关.试问游戏结束时过关
E
的概率为
1
1
1
A.18
B.
D.
12
6
8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.
9.设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y=2X-1,则下列结
论正确的是
0
2
3
P
0.2
0.10.2
A.E(X)=1.2
B.E(Y)=1
C.D(X)=1.4
D.D(Y)=2.8
10.如图，正方形ABCD的边长为2Cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个
正方形EFG,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形的K江，依此
方法一直继续下去.设第k个正方形面积为a:,则下列结论正确的是
A
H
D
A.43=1cm2
B.a2=16a6
E
63
C.前6个正方形面积和为
62
D.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积
B
之和将趋近8cm2
第2页，共4页2023 学年第二学期期末教学质量监测
高二数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C D B C D
8.解：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 处表示三次骰子的点数之和是 8，16．
列举出在点数中能够使得三次数字和为 8，16的有：(1,2,5)，(1,3,4)，(1,1,6)，(2,2,4)，(2,3,3)，
(4,6,6)，(5,5,6)，共有 7种组合，
前 2种组合(1,2,5)，(1,3,4)每种情况可以排列出A33 = 6种结果，共有 2A33 = 2 × 6 = 12种结
果；
后 5种组合各有 3种结果，共有 5 × 3 = 15种结果，
由分类加法计数原理知，共有 12 + 15 = 27种结果．
抛 3 次骰子共有 6 × 6 ×6=216种结果，故抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 处的概率为
27 = 1 故选 D．
216 8
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对部分分.
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
4
12.64 13.165 14.{0} （ 2 , )e
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
函数 f (x) x2 ， R .
x
（1）若函数 f (x)的图象在点 (1, f (1))处的切线 l与直线 x y 0垂直，求切线 l的方程；
（2）若 x 0 , f (x) 1，求 取值范围.
解：(1) 设切线 l的斜率为 kl
直线 x y 0的斜率为-1 …………………1 分
kl（ -1)=-1
kl=1 ………………………2分
又 f (x) 2x 2 ………………………3分x
kl f (1) 2 1
1 ………………………4 分
f (x) x2 1
x
点 (1, f (1))为 (1, 2) ……………5分
切线 l的方程为： y 2 kl (x 1)
即： y 2 x 1
化简得： x y+1 0 ………………………6分
(2)因为 x 0 .由f (x) x2 1可化为 x x3，…………7分
x
设 g(x) x x3
则 g '(x) 1 3x 2 ………………………8 分
令 g '(x) 1 3x 2 0 x 3，得 ………………………9分
3
3
令 g '(x) 1 3x 2 0，得 0 x
3
令 g '(x) 1 3x 2 0 3，得 x
3
g(x) 3 3在(0, )上递增，在（ ， ）上递减………………………11 分
3 3
g(x) 3 2 3max g( ) ………………………12 分3 9
2 3
9
2 3
所以 的取值范围是[ ，+ ) ………………………13 分
9
16.（15分）
某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如
下列联表：
喜欢足球不喜欢足球合计
男生 30 20 50
女生 10 20 30
合计 40 40 80
（1）依据小概率值 =0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，现抽取 8人组成志愿服务队．再
从志愿服务队中抽取 3人进行宣传报导活动，记抽到 3人中的男生人数为 X ，求随机变量
X 的分布列和期望．
2 （n ad bc)
2
附： ，其中 n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：（1）零假设为 H0 ：喜欢足球与性别之间无关联. ……………………1分
2 n(ad bc)2
根据列联表，由 得，
(a b)(c d )(a c)(b d )
2 80 (30 20 20 10)
2
5.33 3.841 x ， …………………5分
40 40 50 30 0.05
根据小概率值 0.05的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为喜欢足球与性别之
间有关联. …………………………6分
(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有 6人，女生有 2人， ……………………7分
则 X 的可能取值为 1,2,3 ………………………8分
C1 26C2 3 C
2C1
P(X 1) P(X 2) 6 2 15
C3C 0 5
且 3 ， P(X 3)
6 2
，
C 28 C3 28 C3
，
8 8 8 14
………………………11分
则 X 的分布列为
X 1 2 3
p 3 15 5
28 28 14
………………12分
3
则 E(X ) 1 2 15 3 5 63 ………………………15 分
28 28 14 28
17.（15分）
a a =5
3an 4
数列 n 的首项 1 ， an+1= .2 an 1
1
（1）求证：{ }是等差数列，并求数列 an 的通项；an 2
9n
（2）若bn ，
（an 2） 10
n
①当数列｛bn｝取得最大值时，求正整数 n的值；
②求数列{bn}的前 n项和 Sn .
3an 4 an 2
解：（1） an 1 2 2 a 1 a 1 ………………………1 分n n
1 1
1
a 2 a 2 ， ………………………2 分n 1 n
1 1
1
a 2 a ………………………3分n 1 n 2
1
=
1
5 =2又 a1 2 2
2
{
1 }
a 2 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列 ………………………4分n
1
2 （n 1) 1 n 1
an 2
a 1 2n 3n 2 ………………………5 分n 1 n 1
（2）
9n
①b 1 9n （ ）
n
（an 2） 10
n （an 2） 10
9 ………………………6 分
（n 1） （ ）n
10
9 243
当 n=1 时 b1 b2 ，b1不是最大项 ………………………7分5 100
设第 n项（n>=2）最大，则
9
（n 1） （ ）n n 9 （ ）n 1
10 109 9 ………………………8 分
（ n 1） （ ）n （n 2） （ ）n 1
10 10
n 1 10
n 9
10 n 2
9 n 1
8 n 9所以数列｛bn｝第 8、9项取得最大。 ………………………9分
② S 2
9
n 3
9
（ ）2
9
（n 1） （ ）n………①式
10 10 10
9
①式两边同时乘以 得
10
9 9 9 9 ………②式 ………………10分S 2 ( )2 3 （ ）3n （n 1） （ ）
n 1
10 10 10 10
①式-②式得
1 9 9 9 9 9 ……………11分Sn 2 ( )
2 （ ）3 （ ）n （n 1） （ ）n 1
10 10 10 10 10 10
1 S 9 [ 9 ( 9 )2 9 3 9 9n （ ） （ ）
n ] （n 1） （ ）n 1 ……………12分
10 10 10 10 10 10 10
9
1 9 [1 (
9 )n ]
S 10 10 9n 9 （n 1） （ ）
n 1
……………13分
10 10 1 10
10
1 S 9 9[1 ( 9 )n ] n 1 9n （ ） （ ）
n 1
……………14分
10 10 10 10
Sn 9 90[1 (
9 )n ] 1（0 n 1 9） （ ）n 1
10 10
n 1 n 1 ……………15分9 9
99 n 1 (n 1)10 10n
18.（17分）
3名同学去听同时举行的 A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个
讲座（每个讲座被选择是等可能的）．
(1)记选择 B课外知识讲座的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列与数学期望；
(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若 P(M ) 0，P(N ) 0，称
（M ,N ) P(MN ) P(M )P(N ) 为事件M，N的相关系数．
P(M )P(M )P(N )P(N )
①已知 （M ,N )>0，证明P(M | N ) P(M ) ；
②记事件 E : B课外知识讲座有同学选择，事件 F :至少有两个课外知识讲座有同学选择，
判断事件 E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求 （E,F )．
解：(1)由题意可知， 的可能的取值为 0，1，2，3，……………………1分
且 3, 13 ， ……………………3分
故 ( ) = 3 × 13 = 1； ……………………4分
P(MN ) P(M )P(N )
(2)①证明：因为 （M ,N ) ，且 （M ,N )>0 ，
P(M )P(M )P(N )P(N )
所以 > 0，……………………5分
( )
即 ( ) > ( )， ……………………6分
| = ( )而 ( ) ，……………………7分
所以 | > 成立．……………………8分
② 事件 E，F不相互独立 …………………9分
事件 E : B课外知识讲座有同学选择，则事件 ： B课外知识讲座没有同学选择
0 3
由(1)可知 (E) = 0 1 2 = 83 ，……………………10分3 3 27
所以 ( ) = 1 ( ) = 19 ，……………………11分
27
事件 F :至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件 ：有一个课外知识讲座有同学选择，
1 ( ) = 33 =
1
，……………………12分
3 9
所以 ( ) = 1 ( ) = 8……………………13分
9
事件 ：至少有两个课外知识讲座有同学选择且 B课外知识讲座有同学选择，分为两种情
况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且 B
课外知识讲座有同学选择，此时 A或者C是没有同学选择，故按照 1、3或者 2、2分组即
可，……………………14分
3 1 1 2 ( ) = 3 + 2 3 2
2
2 = 2故 3 3 ，……………………15分3 3 3
2 19 8
, = = 3 27
×9
所以 ，……………………16分
19 8 8 127×27×9×9
, = 5 19化简得 ．……………………17分
76
19.（17分）
已知函数 f (x) e2x 2(1 a)e x 2ax .
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）当a 0时，求证： f (x) ln a 3 (2a 1)2
2 .
解： f ' (x) 2(e x a)(e x 1) ……………1分
当 a 0时， f ' (x) 0 , f (x)在 R 上单调递增.……………2分
当 a 0时，令 f ' (x) 0得 x ln a …………3分
当 f ' (x) 0得 x ln a …………4分
当 f ' (x) 0得 x ln a …………5分
所以当 a 0时 f (x)在（ln a, )上单调递增；在（ ，ln a)上单调递增。 …………6分
（2）证法一：由（1）知，当 a 0时，函数 f (x)在 x ln a处取得最小值，
f (ln a) e2lna 2(1 a)elna 2a ln a a2 2a 2a ln a …………7 分
要证 f (x) ln a - (2a 1)2 3 ，即证
2
3a2 2a 2a ln a 1 ln a 0
2
设 g(a) 1 3a2 2a 2a ln a ln a …………8 分
2
g ' (a) 6a 1 2ln a 4
a
6(a 1)2 5
g ' ' (a) 6 2 1 6 6 0 …………9 分
a a2 a2
g ' (a) 6a 2ln a 4 1 在（0， ）上单调递增 …………10分
a
g ' ( e ) 3 e 2 ln 4 5 0 e， 1 …………11 分
2 e 2
g ' (1) ln 4 3 0
2
a 1 e设 g(a ) 00 ( , )，满足 0 ，则2 2
6a0 2ln a
1
0 4 0，解得 ln a0 3a0 2
1
a 2a …………12 分0 0
a (1当 ,a0 ) , g ' (a) 02
当 a (a e， ), g ' (a) 00 2
g(a) 2 1min g(a0 ) 3a0 2a0 2a0 ln a0 ln a0 …………13分2
把 ln a 10 3a0 2 代入得2a0
g(a0 ) 3a
2 1 5 1 e
0 a0 （ a0 ) …………14 分2a0 2 2 2
设 h(a0 ) 3a
2
0 a
1 5 1 e
0 （ a )2a0 2 2
0 2
h' (a0 ) 6a0 1
1
0
2a 20
h(a ) 1 5 1 e0 3a
2
0 a0 （ a0 )
1 e
在（ ， )上单调递减，
2a0 2 2 2 2 2
h( e ) 3 e e 5 1 0 …………15 分
2 4 2 2 e
h(a0 ) 0对a
1 e
0 ( , )恒成立，即 g(a)min g(a0 ) h(a0 ) >0 成立。 ………16分2 2
g(a) 3a2 a 1 5所以 0对a 0恒成立
2a 2
所以 f (x) ln a - (2a 1)2 3 对 a 0恒成立。 …………17分
2
（2）证法二：
由（1）知，当 a 0时，函数 f (x)在 x ln a处取得最小值，
f (ln a) e2lna 2(1 a)elna 2a ln a a2 2a 2a ln a …………7 分
要证 f (x) ln a - (2a 1)2 3 ，
2
3a2即证 2a 2a ln a ln a 1 0
2
现证 ln a a 1
设 g(a) a 1 ln a …………8分
g (a) 1 1 …………9分
a
当令 g ' (a) 0得 a 1
当 g ' (a) 0得 a 1
当 g ' (a) 0得 a 1
g(a) a 1 ln a在 a 1处取得最小值 gmin (a) g(1) 0 …………11分
即 g(a) a 1 ln a 0
ln a a 1 …………12分
(2a 1) ln a (2a 1)(a 1) …………13分
3a2 2a 2a ln a ln a 1 3a2 2a (2a 1)(a 1) …………14分
2
2只需证3a 2a (2a 1)(a 1) 0 …………15分
即 a2 a 1 0
a2 a 1 (a 1 3 )2 0显然成立。 …………16分
2 4
f (x) ln a - (2a 1)2 3所以 对 a 0恒成立。 …………17分
2
注：
2 1
本题难点是证明 g(a) 3a 2a 2a ln a ln a 恒大于 0，关键找到
2
g ' (a) 6a 2ln a 4 1 g ' (1 的零点所在区间，学生容易得到 ) ln 4 3 0，g ' (1) 0，
a 2
1
找到区间 ( ,1)，但会在后面遇到困难，
2
g(a) 2 1min g(a0 ) 3a0 2a0 2a0 ln a0 ln a0 2
把 ln a
1
0 3a0 2 2a 代入得0
g(a ) 3a 2 a 1 5 10 0 0 （ a0 1)2a0 2 2
h(a ) 3a 2 a 1 5 1设 0 0 0 （ a2a 2 2 0
1)
0
h' (a0 )
1
6a0 1 02a 20
h(a ) 1 5 1 e 10 3a
2
0 a0 （ a0 )在（ ，1)上单调递减，h(1) 1 0 ,无法证2a0 2 2 2 2
明原命题结论。然而原来 g(1) 0 ,为什么这样？
1
原因是经 ln a0 3a0 2 2a 代换后改变了计算方式。因此要证明此命题，必须把0
g ' (a) 6a 2ln a 4 1 1 的零点压缩到一个比较窄小的区间，在 ( ,1)范围内缩小，而且
a 2
e e2
利于计算，应跟 e 有关，于是找到 ，事实上用 也可以，不过计算量也挺大。
2 9
此题考查了学生函数与导数综合能力，还考查学生数值逼近以及估算能力，要求比较高，难
度较大。
