北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（图片版，含答案）

2024北京延庆高二（下）期末
数 学
2024.07
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
x
（1）函数 y = 2 在 x = 1处的导数值为
1
（A） 2ln 2 （B）
ln 2
（C）1 （D） 2
（2）函数 3y = x + 2 在区间 [1, 2]上的平均变化率为
（A） 3 （B） 5
（C） 7 （D） 9
（3）已知数列 an 满足 an+1 = 2an ， a2 = 4 ，则数列 an 的前 4 项和等于
（A）16 （B） 24
（C） 30 （D） 62
1
（ ）在 ( x )64 的展开式中，常数项为
x
（A） 15 （B）15
（C）30 （D）360
（5）用 0，1，2，3，4 可以组成无重复数字的两位数的个数为
（A） 20 （B） 25
（C）15 （D）16
（6）曲线 y = cos x在 x = 0 处的切线方程为
（A） y = 0 （B） y = 1
（C） y = x （D） y =1
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3 2
（7）已知函数 f (x) = x + ax + x +1(a R) 有两个极值点 x1 ， x2 (x1 x2 ) ，则
（A） a 3 或 a 3 （B） x 是 f (x)1 的极小值点
1 1
（C） x1 + x2 = （D） x1x2 =
3 3
（8）设 a1,a2 ,a3 , a6 是1,2,3, ,6 的一个排列. 且满足 | a1 a2 |≥| a2 a3 |≥ ≥| a5 a6 | ，
则 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a5 a6 | 的最大值是
（A）17 （B）15
（C）13 （D）11
（9）设{a }是公比为 q(q 1)的无穷等比数列， Sn 为其前 n项和， a1 0 . 则“ q 0n ”
是“ Sn 存在最小值”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）已知数列 an 满足， n
*
N ， a4n 3 = 1， a4n 1 =1， a2n = an ，该数列的前 n 项
和为 Sn ，则下列论断中错．误．的是
（A） a31 =1 （B） a2024 = 1
（C） 非零常数T ，使得 an+T = an （D） n
*
N ，都有 S n = 2 2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）2023 年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延
庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建 9 条各具特色的生态沟域廊
道、18 条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发
展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种．
（12）已知函数 f (x) = log x (a 0且a 1)a ，若 f (1) = 1，则 a = _________．
1
（ 313）已知函数 f (x) = x 4x + 4 ，则 f (x) 在区间[ 3, 3] 上的最大值为_________．
3
（14）已知数列 an 是各项均为正数的等比数列， Sn 为其前 n项和， a1a3 =16 ， S3 =14，
则 a2 = _________；记Tn = a1a2 an (n =1,2, ) ，若存在 n0
*
N 使得Tn 最大，
则 n0 的值为_________.
（ ）已知数列{ a }的各项均为正数，满足 a = ca 215 n n+1 n + an ，其中常数 c R . 给出下列四个判断：
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1
①若 a1 =1， c 0 ，则 an （n 2）；
n +1
1
②若 c = 1，则 an （n 2）；
n +1
③若 c =1， an n （n 2），则 a1 1；
④ a1 =1，不存在实数 c ，使得 an n （n 2）.
其中所有正确判断的序号是_________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 14 分）
求下列函数的导函数.
（Ⅰ） 2 x
log x
f (x) = x e ； （Ⅱ） f (x) = 2 ；
2x
sin x
（Ⅲ） f (x) = ； （IV） f (x) = ln(1 2x) .
1+ cos x
（17）（本小题 13 分）
为了解客户对 A, B 两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快
递公司评价的调查问卷. 已知 A, B 两家公司的调查问卷分别有120份和80 份，全部数据统计如下：
快递公司 A快递公司 B 快递公司
项目
配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度
评价分数 份数
85≤ x≤ 95 29 24 16 12
75≤ x 85 47 56 40 48
65≤ x 75 44 40 24 20
假设客户对 A, B 两家快递公司的评价相互独立. 用频率估计概率.
（Ⅰ）从该地区选择 A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对 A快递公司配送时效的评价不低于
75分的概率；
（Ⅱ）分别从该地区 A和 B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记 X 为这 2 份问卷中的服务满
意度评价不低于 75 分的份数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记评价分数 x≥ 85 为“优秀”等级， 75≤ x 85 为“良好”等级， 65≤ x 75为“一般”等级. 已知
小王比较看重配送时效的等级，根据该地区 A, B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认
为小王选择 A, B 哪家快递公司合适？说明理由.
（18）（本小题 13 分）
某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传 11 月 4 日至 11 月 10 日的步数信息．教师甲、乙这七
天的步数情况如图 1 所示．
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（Ⅰ）从 11 月 4 日至 11 月 10 日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
（Ⅱ） 从 11 月 4 日至 11 月 10 日中随机选取三天，记乙的步数不少于 20000 的天数为 X ，求 X 的分布列
及数学期望；
（Ⅲ）根据 11 月 4 日至 11 月 10 日某一天的数据制作的全校 800 名教职员工步数的频率分布直方图如图 2
所示．已知这一天甲与乙的步数在全校 800 名教职员工中从多到少的排名分别为第 501 名和第 221
名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论）
（19）（本小题 15 分）
2 2
x y
已知椭圆 E : + =1(a b 0)的焦距为 4 2 ，以椭圆 E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为
2 2
a b
16．
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；
（Ⅱ）过点 S (0,1) 的直线 l 交椭圆 E 于 P,Q 两点，线段 PQ 的中点为 M ．是否存在定点 D ，使得
| DM | 1
= ？若存在，求出 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
| PQ | 2
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（20）（本小题 15 分）
m
已知函数 f (x) = + ln(x 1)2 ，其中 m R ．
(x 1)
（Ⅰ）当m = 1时，求曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若 f (x) 在 (2,+ )上存在极值，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求 f (x) 的零点个数．
（21）（本小题 15 分）
有穷数列 an 共有m 项 (m≥ 3)．其各项均为整数，且任意两项均不相等.
bi = ai ai+1 (i =1,2, ,m 1)，bi ≤bi+1 (i =1,2, ,m 2)．
（Ⅰ）若 a an ：0，1， 3．求a3的取值范围；
5 4
（Ⅱ）若m = 5，当 ai 取最小值时，求 bi 的最大值；
i=1 i=1
m 1
（Ⅲ）若1≤ ai ≤ m (i =1,2,...,m)， bk = m+1，求 m的所有可能取值．
k=1
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）C （3）C （4）B （5） D
（6）D （7）A （8）B （9）A （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
28
（11）162 （12）e （13）
3
（14） 4 ，3或 4 （注：第一空 2 分，第二空 3 分）
（15）② ③ （注：对一个 3 分，对 2 个 5 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）(本小题 14 分)
ex + 2 ex = (2x + x2 x（Ⅰ）解： f (x) = 2x x )e ………3 分
1 x 1
2 log x2 x 2 ln 2 log2 x ln 2
（Ⅱ）解： f (x) = x ln 2 = x ln 2 ………6 分
x )2 2x(2
cos x (1+ cos x) sin x ( sin x)
（Ⅲ）解: f (x) =
2
(1+ cos x)
cos x + cos2 x + sin2 x 1+ cos x 1
= = = ………10 分
(1+ cos x)2 (1+ cos x)2 1+ cos x
1 1 2
（IV）解： f (x) = (1 2x) = ( 2) = ………14 分
1 2x 1 2x 1 2x
（17）（本小题 13 分）
（Ⅰ）根据题中数据，该地区参与 A 快递公司调查的问卷共 120 份，
样本中对 A 快递公司配送时效的评价不低于 75 分的问卷共 29 + 47 = 76 份，
76 19
所以样本中对 A 快递公司配送时效的评价不低于 75 分的频率为 = ，
120 30
19
估计该地区客户对 A 快递公司配送时效的评价不低于 75 分的概率 ………3 分
30
（Ⅱ） X 的所有可能取值为 0, 1, 2 ． ……… 4 分
记事件 C 为“从该地区 A 快递公司的样本调查问卷中随机抽取 1 份，该份问卷中的服务满意度评价不低于
75 分”，事件 D 为“从该地区 B 快递公司的样 本调查问卷中随机抽取 1 份，该份问卷中的服务满意度评价不
低于 75 分”．
由题设知，事件 C, D 相互独立，且
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24+56 2 12+ 48 3
P (C ) = = ，P (D) = = ， ……… 5 分
120 3 80 4
1 1 1
则 P (X = 0) = P(CD) = = ……… 6 分
3 4 12
1 3 2 1 5
P (X =1) = P(CD CD) = + = ……… 7 分
3 4 3 4 12
2 3 1
P (X = 2) = P(CD) = = ……… 8 分
3 4 2
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
1 5 1
P
12 12 2
……… 9 分
1 5 1 17
所以 E(X ) = 0 +1 + 2 = . ………10 分
12 12 2 12
（Ⅲ）答案不唯一．
答案示例 1：小王选择 A 快递公司合适，理由如下：
29
根据样本数据，估计 A 快递公司配送时效评价为 “优秀”的概率是 ，估计 B 快递公司配送时效评价为
120
1 29 1
“优秀”的概率是 ，因为 ，故小王选择 A 快递公司合适．
5 120 5
答案示例 2：小王选择 B 快递公司合适，理由如下：
19
由（Ⅰ）知，估计 A 快递公司配送时效评价为 “良好”以上的概率是 ； 由样本数据可知，估计 B 快递
30
16+ 40 56 7 19 7
公司配送时效评价为 “良好”以上的概率是 = = ，因为 ，故小王选择 B 快递公司
80 80 10 30 10
合适． ………13 分
（18）(本小题 13 分)
（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件 A．
在 11 月 4 日至 11 月 10 日这七天中，11 月 5 日与 11 月 9 日这两天甲比乙步数多，
2
所以 P(A) = ． ………3 分
7
（Ⅱ）由图可知，7 天中乙的步数不少于 20000 步的天数共 2 天．
X 的所有可能取值为 0,1,2 ………4 分
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C3C0 22 C C
1
4 C
1C2 1
P(X = 0) = 5 2 = , P(X =1) = 5 2 = , P(X = 2) = 5 2 =
C3 77 C
3 7
7 C
3 7
7 ………7 分
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
2 4 1
P
7 7 7
………8 分
2 4 1 6
E(X ) = 0 +1 + 2 = ………10 分
7 7 7 7
（Ⅲ）11 月 6 日． ………13 分
（19）（本小题 15 分）
4 a2 + b2 =16,
a
2 =12,
（Ⅰ）由题意得 2c = 4 2, 解得
2
a2
b = 4.
= b2 + c2.

x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 + =1． ………………5 分
12 4
DM 1
（Ⅱ）若存在定点 D，使得 = ，等价于以 PQ为直径的圆恒过定点 D ．
PQ 2
2 2
当直线 l 的斜率不存在时， PQ为直径的圆的方程为 x + y = 4 ①， ……… 6 分
当直线 l 的斜率为 0 时，令 y =1，得 x = 3， ……… 7 分
2
因此 PQ为直径的圆的方程为 x2 + ( y 1) = 9 ②．
x = 0,
联立①②得 猜测点 D 的坐标为 (0, 2)． ……… 8 分
y = 2,
设直线 l 的方程为 y = kx +1，
y = kx +1,

由 x2 y2 得 (3k 2 +1) x2 + 6kx 9 = 0． ……… 9 分
+ =1,
12 4
设 P (x1, y1 ) ,Q (x2 , y2 )，则
6k 9
x1 + x2 = , x1x2 = ． ……… 11 分
3k 2 +1 3k 2 +1
所以 DP DQ = (x1, y1 + 2) (x2 , y2 + 2) ……… 12 分
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= x1x2 + ( y1 + 2)( y2 + 2)
= x1x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3)
= (k 2 +1) x1x2 + 3k (x1 + x2 )+ 9 ……… 14 分
( 2 )
9 6k
= k +1 + 3k + 9
3k
2 +1 2 3k +1
= 0．
DM 1
综上，存在定点 D (0, 2)，使得 = ． ……… 15 分
PQ 2
（20）（本小题 15 分）
1
（Ⅰ）当m =1时， f (x) = + ln(x 1)，
(x 1)2
2 1
则 f (x) = +3 ， ……… 1 分 (x 1) x 1
故 f (2) = 2+1= 1， f (2) =1， ……… 2 分
y = f (x)在点 (2, f (2))处的切线方程为 y 1= (x 2)，即 y = x + 3 ……… 3 分
2m 1 2m+ (x 1)2
（Ⅱ） f (x) = + = ， ……… 4 分
(x 1)3 x 1 (x 1)3
当m 0时， f (x) 0, f (x)在 (2,+ ) 单调递增，此时无极值点， ……… 5 分
当m 0时，
2m+ (x 1)2
令 f (x) = = 0 x =1+ 2m 或3 x =1 2m ， ……… 6 分 (x 1)
要使得 f (x) 在 (2,+ ) 上存在极值，
1
则需要 x =1+ 2m 2，解得m （ ，+ ） ……… 7 分
2
m
（Ⅲ）令 f (x) = + ln(x 1) = 0 m = (x 1)
2 ln(x 1)
2 ， (x 1)
令 t = x 1 0 ，则m = t 2 ln t ， ……… 8 分
2
记 g (t ) = t ln t ，则 g (t ) = 2t ln t t = t (2ln t +1)， ……… 9 分
1
当 g t 0, g tt e 2 时， ( ) ( )单调递减， ……… 10 分
1
1
1
当 g t 0, g t g e 2 =0 t e 2 时， ( ) ( )单调递增，且 ， ……… 11 分
2e
当 t 1时， g (t ) 0，
而当 t = e2 时， g (t ) = e
4 2 = 2e4 0， ……… 12 分
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作出 g (t )的大致图象如下：
1
故当m 时，无零点， ……… 13 分
2e
1
当m = 或m 0时，一个零点， ……… 14 分
2e
1
当0 m 时，两个零点， ……… 15 分
2e
.
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（21）(本小题 15 分）
（Ⅰ）由题设b1 =| 0 1|=1 b2 =|1 a3 |，则 |1 a3 | 1，即1 a3 1或1 a3 1，
所以 a 2或 a3 03 ，任意两项均不相等，故 a3 0、 a3 1，
故a3的取值范围 a3 ( ,0) [2,+ )且 a3 Z ； ……… 4 分
5
（Ⅱ）由{ an }各项均为整数，任意两项均不相等，要使 ai 最小，即 ai 尽量小，
i=1
5
则 ( ai )min = 0+1+1+ 2+ 2，故{an}中的前 5 项为 2, 1,0,1,2 ，……… 5 分
i=1
4
要使 b | a a | + | a a | + | ai 最大，即 1 2 2 3 3 a4 | + | a4 a5 |最大， ……… 6 分
i=1
而bi bi+1，则 | a1 a2 | | a2 a3 | | a3 a4 | | a4 a5 |
a4 a5 尽可能大，所以 a4 a5 = 4，所以 a4 a5 = 4
a4 = 2 a4 = 2
所以， 或
a5 = 2 a5 = 2
不妨令 a5 = 2，只需依次使 | a4 a5 |,| a3 a4 |,| a2 a3 |,| a1 a2 | 取到最大，
要使 | a4 a5 |最大，则 a4 = 2； ……… 7 分
要使 | a3 a4 |最大，则 a3 =1； ……… 8 分
要使 | a2 a3 |最大，则 a2 = 1，故 a1 = 0； ……… 9 分
此时 | a4 a5 |= 4 | a3 a4 |= 3 | a2 a3 |= 2 | a1 a2 |=1，
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4
综上， bi =1+ 2+3+ 4 =10 . ……… 10 分
i=1 max
m 1 m 1
（Ⅲ）对于1 ai m (i =1,2,...,m)，则 bk 的最小值为m 1，而 bk = m+1 m 1，
k=1 k=1
由 (m +1) (m 1) = 2，且bi bi+1 (i =1,2, ,m 2)，
所以{bm 1}有如下情况：①最后一项为 3，前面各项都为 1；②最后两项为 2，前面各项都为 1；
m = 3，数列{bm 1}不可能出现 3，或同时出现两个 2，排除；
m = 4 ，数列{am}为3, 2,1, 4，对应数列{bm 1}为1,1,3，故存在满足题设的情况；
m = 5，以下过程中 x N* ，
若存在满足①的数列{bm 1}元素依次为1,1,1,3，
令数列{a }前 4 项为 x, x +1, x + 2, x + 3m ，则第 5 项为 x（存在重复项，舍）或 x + 6，
而第 5 项为 x + 6 5，不满足题设；
若存在满足②的数列{bm 1}元素依次为1,1, 2, 2，
令数列{am}前 3 项为 x, x +1, x + 2，则第 4 项为 x（存在重复项，舍）或 x + 4 ，
第 4 项为 x + 4 ，则第 5 项为 x + 2 （存在重复项，舍）或 x + 6，而 x + 6 5不满足题设；
同上讨论，m 6时不可能存在满足题设的数列{am}；
综上，m = 4 . ……… 15 分
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