2024-2025学年度人教版八上数学全册教案
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年度人教版八上数学全册教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-06 17:21:20 | ||
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文档简介
三角形的边
一、教学目标
(一)知识与技能：1.进一步认识三角形的概念及其基本要素；2.掌握三角形三条边之间关系.
(二)过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系.
(三)情感态度与价值观：帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学生学习的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：了解三角形定义、三边关系.
难点：1.在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形；2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
三、教学过程
图片欣赏
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
线段AB，BC，CA是三角形的边. 点A，B，C是三角形的顶点. ∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示. 顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
思考
回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？
探究
两只蚂蚁在B点，同时发现在C点的位置上有一小块糖，于是它们各自沿着不同的路线出发去抢那唯一的一小块糖(假设它们的速度相同). 看完了这两只蚂蚁抢糖吃的全过程，你有何体会？
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB＋AC＞BC ①
同理有 AC＋BC＞AB ②
AB＋BC＞AC ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说，
三角形两边的差小于第三边.
例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18，解得 x=3.6
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4+2x=18，解得 x=7
所以，三边长分别为4cm，7cm，7cm.
②如果4cm长的边为腰长，设底边长为x cm，则
2×4+x=18，解得 x=10
因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边是4cm的等腰三角形.
练习
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
解：图中共有5个三角形，分别如下：
△ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE.
2.(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10
解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8；
(2)不能组成三角形，因为5+6=11；
(3)能组成三角形，因为5+6>10.
只要选取两条较短的线段，求出和再与最长的线段比较，和较大，则可以；否则不能组成三角形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课先让学生掌握三角形的有关概念及三角形的分类.重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”. 通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论. 这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力.
三角形的高、中线与角平分线
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质；2.会画三角形的高、中线、角平分线.
(二)过程与方法：经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.
(三)情感态度与价值观：培养学生乐于动手，肯于实践的精神.
二、教学重点、难点
重点：三角形的高、中线与角平分线.
难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高.
三、教学过程
创设情境
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.
观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
预备知识
1.垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
高
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求△ABC的面积？
如何求△ABC的面积？
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高)
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的高 ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°)
∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD是△ABC的高
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？
锐角三角形的三条高 直角三角形的三条高 钝角三角形的三条高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
直角边BC边上的高是____；
直角边AB边上的高是____；
斜边AC边上的高是____.
画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
归纳
三角形的三条高所在直线交于同一点.
思考(中线)
已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的中线 ∵ BD=CD (或BD=BC)
∴ BD=CD=BC ∴ AD是△ABC的中线
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？
归纳
三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
角平分线
任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗？
∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边
BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的
的角平分线.
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠2=∠BAC ∴ AD是△ABC的角平分线
画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什么结论？
三角形的三条角平分线交于同一点.
练习
1.如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
2.填空：
(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2_________，BD=____，AE=____.
(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=___，∠3=____，∠ACB=2________.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由一个动画演示引入，让学生意识到三角形中有很多条特殊的线段. 然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法.
三角形的稳定性
一、教学目标
(一)知识与技能：知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.
(二)过程与方法：通过引导学生主动探究得出三角形具有稳定性的过程，加强学生的探究与总结能力.
(三)情感态度与价值观：通过了解三角形稳定性与四边形没有稳定性在生产、生活中广泛应用，体会出三角形与实际生活的巨联系，激发学生对三角形的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用.
难点：灵活准确使用三角形稳定性于生产生活之中.
三、教学过程
猫与老鼠
有一天小老鼠Jerry遇到了灰猫Tom，眼看就要被灰猫抓住…
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条. 为什么要这样做呢？
探究
如图(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？
稳定性
用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？
四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？
练习
下列图形中哪些具有稳定性？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题. 学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号. 这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础.
三角形的内角
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解三角形的内角；2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；3.学会解决与求角有关的实际问题.
(二)过程与方法：经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法.
(三)情感态度与价值观：初步培养学生的说理能力.
二、教学重点、难点
重点：三角形的内角和定理及其运用.
难点：三角形内角和定理的推理过程.
三、教学过程
兄弟之争
在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”.
“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
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动手剪拼 动态演示
定理证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.
∵ l∥BC
∴ ∠2=∠4 (两直线平行，内错角相等)
同理 ∠3=∠5
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角
∴ ∠1+∠4+∠5=180°(平角定义)
∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代换)
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°即 ∠A+∠B+∠C=180°
由下图，你能想出这个定理的其它证法吗？
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.
∴ ∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)
∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)
∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=∠BAC=20°
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°
例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
练习
1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？
解：∵ ∠ABC+∠CBD=180°
∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC
=180°-30°-135°
=15°
2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°，求∠C的度数.
解：连接AC，
∵ 四边形ABCD左右对称
∴ ∠CAB=∠BAD=75°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠B
=180°-75°-40°
=65°
∴ ∠BCD=2∠ACB=130°
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率. 然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想. 在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论.
直角三角形
一、教学目标
(一)知识与技能：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
(二)过程与方法：经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的推理证明能力.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的解诀，体验成功的快乐，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.
难点：用直角三角形的性质进行有关推理和计算.
三、教学过程
复习巩固
求出下列各图中x的值.
问题引导
如下图所示是我们常用的一副三角板，两锐角的度数之和为多少度？
30°＋60°＝90° 45°＋45°＝90°
你能把下列推理补充完整吗？
如图，在△ABC中，
∠A +∠B +∠C =_____( )
∵ ∠C = 90°( )
∴ ∠A +∠B =_____
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
几何符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°
探究
1.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
2.如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
1.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性质)
∵ ∠B=∠C=90°
∴ AB∥CD
∴ ∠A=∠D
方法二：(利用直角三角形的性质)
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠C=90°
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠A=∠D
①两个图形的相同点和不同点各是什么？
②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗？哪个更具一般性？
2.解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠D=90°
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠A=∠C
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE. 理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵ ∠AEC=∠BED
∴ ∠CAE=∠DBE
思考
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．此结论，反过来是_______________________________________. 它成立吗？请你说说理由.
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何符号语言：
∵ ∠A+∠B=90°
∴ △ABC是直角三角形
练习
1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠ACD+∠BCD=90°
∵ CD⊥AB
∴ ∠BDC=90°
∴ ∠B+∠BCD=90°
∴ ∠ACD=∠B
2.如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形. 理由如下：
∵ ∠C=90°
∴ ∠2+∠A=90°
∵ ∠1=∠2
∴ ∠1+∠A=90°
∴ △ADE是直角三角形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的内容是直角三角形的性质与判定：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.上节课已经学过三角形的内角和是180°，据此证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际间题的能力.
三角形的外角
一、教学目标
(一)知识与技能：理解三角形的外角的概念，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，能利用三角形的外角性质解决实际问题.
(二)过程与方法：通过学生小组合作推理三角形的外角的性质的过程，加强学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力.
(三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人，养成良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
重点：三角形的外角性质.
难点：能准确地表达推理的过程和方法.
三、教学过程
教材导学
1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，则∠C=_____.
2.如图，在△ABC中，∠A=65°，∠B=55°，则∠ACB=____，∠BCD=_____.
三角形的内角是三角形内部的骄子.
那三角形的外部呢？
什么都没有呀，让人感到很无奈!
只要你添上一笔就精彩了!
把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？
归纳
1.每个外角是相邻内角的邻补角；
2.每一个顶点相对应的外角都有２个；
3.每一个三角形都有６个外角.
找一找
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△CDF的外角.
思考
如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°. ∠ACD是的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
∠ACD=∠A+∠B
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACB+∠ACD=180°
∴ ∠A+∠B=180°-∠ACB
∠ACD=180°-∠ACB
∴ ∠ACD=∠A+∠B
推论1
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD=∠A+∠B (∠A=∠ACD-∠B)
推论2
如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和.(∠ACD=∠A+∠B)完成下列填空：
∠ACD ___ ∠A (填＜、＞) ∠ACD ___ ∠B (填＜、＞)
因此，我们还可以得出这样的结论：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
几何符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2
所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)
由∠1+∠2+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°
你还有其它解法吗？
练习
说出下列图形中∠1和∠2的度数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.
多边形
一、教学目标
(一)知识与技能：观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了解多边形及其内角、对角线等数学概念.
(二)过程与方法：能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识.
(三)情感态度与价值观：了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道理.
二、教学重点、难点
重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别.
难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别.
三、教学过程
创设情境
从这些图形中，你能抽象出哪些平面图形？
温故而知新
三角形
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首
尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形.
有关概念
多边形的内角：
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 图中∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角.
多边形的外角：
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 图中∠1是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 图中，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.
五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线.
观察
下列两个多边形有何异同呢？
凸多边形的判断方法：
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，则是凹多边形. 本节只讨论凸多边形.
观察下列多边形，它们的边、角各有什么特点？
像正方形一样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
练习
1.画出下列多边形的全部对角线：
2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来. 在这个过程中，学生得到了锻炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度.
多边形的内角和
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题.
(二)过程与方法：通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力.
(三)情感态度与价值观：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质.
二、教学重点、难点
重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.
难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.
三、教学过程
思考
三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于_____，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
∵ ∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°
∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°
即四边形的内角和等于360°.
探究
归纳
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n-2).
这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°.
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°
∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少？
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.
因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于
6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总
和减去内角和，即外角和等于
6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°
思考
如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？
n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180°
=n×180°-n×180°+2×180°
=2×180°
=360°
多边形的外角和等于360°
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
练习
1.求下列图形中x的值：
解：(1) x+x+140+90=360，解得 x=65
(2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60
(3) 75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95
2.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解法一：∵ 各内角都等于120°
∴ 每个外角都是60°
∴ 边数为：360°÷60°=6
即它是六边形.
解法二：设它是n边形.
120n=(n-2)×180
解得，n=6
即它是六边形.
3.一个多边形的各内角和与外角和相等，它是几边形？
解：设它是n边形，依题意得，
(n-2)×180=360
解得，n=4
即它是四边形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新. 要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决.
第11章三角形小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画任意三角形的高、中线、 角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角(内角、外角)，会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180° ，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念(边、内角、对角线、正多边形)，探索并了解多边形的内角和与外角和公式.
(二)过程与方法：结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.
(三)情感态度与价值观：通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.
二、教学重点、难点
重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.
难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用.
三、教学过程
知识梳理
1.三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
如：AB＋AC＞BC，BC－AC＜AB
2.三角形的分类
3.三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图①.
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点(重心)，如图②.
角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③.
4.三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)直角三角形的两个锐角互余；
(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(4)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝90°∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
5.多边形及其内角和
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 正多边形是各个角都相等，各条边都相等的多边形.
n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3的整数)
n边形的外角和等于360°
正多边形的每个内角的度数是或
正多边形的每个外角的度数是
考点讲练
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3＜a＜8+3，解得 5＜a＜11.
又∵ 第三边长为奇数，
∴ 第三条边长为7cm或9cm.
针对训练
1.以线段3、4、x－5为边组成三角形，那么x的取值范围是__________.
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.
解：(1)当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5，5；
(2)当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6，4.
综上所述，另两边长为5，5或6，4.
针对训练
2.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
3.若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______.
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长.
解：∵ CD为△ABC的AB边上的中线
∴ AD=BD
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3cm
∴ (BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3cm
∴ BC-AC=3cm
∵ BC=8cm
∴ AC=5cm
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积.
解：∵ 点E是AD的中点
∴ S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC
∴ S△ABE+S△ACE=(S△ABD+S△ADC)=S△ABC=×24=12
∴ S△BCE=S△ABC-(S△ABE+S△ACE)=12
∵ 点F是CE的中点
∴ S△BEF=S△BCE=×12=6
针对训练
4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( )
5.在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长.
解：如图，∵ DB为△ABC的中线
∴ AD=CD
设AD=CD=x，则AB=AC=2x
当x+2x=12，BC+x=15，解得x=4，BC=11
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7.
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解：(1)由∠C=54°知∠A+∠B=180°-54°=126°①
又∠A-∠B=16°②，由①②解得∠A=71°，∠B=55°；
(2)设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x
则 2x+3x+4x=180°，解得x=20°
∴ ∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°.
例6 如图，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求
∠DAC的度数.
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x
∵ ∠BAC=63°
∴ ∠2+∠4=117°
即 x+2x=117°，解得 x=39°
∴ ∠3=∠4=78°
∴ ∠DAC=180°-∠3-∠4=24°
针对训练
6.在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C，满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝_____.
7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，则∠EBF的度数是_____，∠FBC的度数是_____.
8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC＝132°，那么∠A的度数是_____.
第7题图 第8题图
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的外角的度数为x，则相邻内角的度数为4x，则x+4x=180，解得x=36.
∴ 边数n=360°÷36°=10.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求∠CAD的度数.
解：∵ 五边形ABCDE的内角都相等
∴ ∠E=∠B=∠BAE=540°÷5=108°
又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4
由三角形内角和定理可知
∠1=∠2=∠3=∠4=(180°-108°)÷2=36°
∴ ∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°
针对训练
9.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n，依题意得
(n-2)×180°=3×360°-180°
解得 n=7
∴ 这个多边形的边数是7.
10.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝∠2＝60°，AB与DE及AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵ 六边形ABCDEF的内角都相等
∴ ∠EDC=∠FAB=∠C=720°÷6=120°
∵ ∠1=∠2=60°
∴ ∠EDA=∠1=60°
∴ AB∥DE
∵ ∠2+∠C=180°
∴ AD∥BC
考点五 本章中的思想方法
分类讨论思想
例9 (1)已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是_______；
(2)已知等腰三角形的两边长分别为16和8，则三角形的周长是_______.
方程思想
例10 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x°，则∠ABC=x°
∵ △BDE是等边三角形
∴ ∠ABE=60°
∴ ∠EBC=x°-60°
∵ BE⊥AC，∴ ∠BEC=90°
在△BCE中，根据三角形内角和定理
得 90+x+x-60=180，解得x=75
∴ ∠C=75°
能力提升
11.小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣. 她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角. 小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：
(1)如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：∠l＋∠2＝180°＋∠A
理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角
∴ ∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4
∴ ∠1＋∠2＝360°－(∠3＋∠4)
∵ 三角形的内角和为180°
∴ ∠3＋∠4＝180°－∠A
∴ ∠l＋∠2＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题.
②初步应用：
(2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2－∠C＝_____；
(3)如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系______________.(直接填答案)
(4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.)
解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°. 理由如下：
如图，延长线段BA、CD交于点Q.
由(3)可知，∠Q+2∠P=180°
由(1)可知，∠1+∠2=180°+∠Q
∴ (∠1+∠2-180°)+2∠P=180°
∴ ∠1+∠2+2∠P=360°
全等三角形
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等；2.知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质；3.能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
(二)过程与方法：通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识.
(三)情感态度与价值观：培养学生的观察能力、动手操作能力和自主学习能力，发展学生的空间观念.
二、教学重点、难点
重点：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.
难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系.
三、教学过程
全等形
观察下列图案，你有什么发现？
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
探究
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？
全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
记作：△ABC≌△A1B1C1
读作：△ABC全等于△A1B1C1
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
重合的顶点叫对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1
重合的边叫对应边：AB和A1B1，AC和A1C1，BC和B1C1
重合的角叫对应角：∠A和∠A1， ∠B和∠B1， ∠C和∠C1
思考
△ABC≌△A1B1C1，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△A1B1C1
∴ AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
思考
在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF；
在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC；
在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.
各图中的两个三角形全等吗？
△ABC≌△DEF △ABC≌△DBC △ABC≌△ADE
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
请说出图(1)中的对应顶点，对应边、对应角.
练习
1.说出图(2)，图(3)中两个全等三角形的对应边，对应角.
解：图(2) 对应边：AB和DB，AC和DC，BC和BC
对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DBC，∠ACB和∠DCB
图(3) 对应边：AB和AD，AC和AE，BC和DE
对应角：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E
2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.
解：相等的边：OC=OB，OA=OD，CA=BD；
相等的角：∠AOC=∠DOB，∠C=∠B，∠A=∠D.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念. 最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理. 通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题.
三角形全等的判定(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”条件.
(二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
二、教学重点、难点
重点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
难点：三角形全等条件的探索过程.
三、教学过程
情境问题
(1)坐久了的椅子摇晃了怎么办？
(2)小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，聪明的同学，小明该测量哪些数据呢？数据能尽可能少吗？
如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即
AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
就能判定△ABC≌△A′B′C′.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
探究1
先任意画一个△ABC. 再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
(1)三角形的两条边分别为4cm，6cm；
(2)三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
(3)三角形的两个内角分别为30°和50°.
通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等. 满足上述六个条件中的三个，有几种可能的情况呢？每种情况都能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边
显然，三个角分别相等的两个三角形不一定全等.
探究2
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了. 就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了，这里就用到上面的结论.
例1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证△ABD≌△ACD.
证明：∵ D是BC的中点
∴ BD=CD
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
作角
已知：∠AOB
求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1、以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2、画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3、以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4、过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
想一想，为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
练习
1.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE.
证明：∵ C是AB的中点
∴ AC=CB
在△ACD和△CBE中，
∴ △ACD≌△CBE (SSS)
2.工人师傅经常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么？
证明：
在△OMC和△ONC中，
∴ △OMC≌△ONC (SSS)
∴ ∠MOC=∠NOC
即 OC就是∠AOB的平分线
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握. 从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.
三角形全等的判定(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握三角形全等的“SAS”条件；2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
(二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
二、教学重点、难点
重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
三、教学过程
知识回顾
回顾三角形全等的判定方法1：
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
思考
除了SSS外，还有其他情况吗？
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况：
三角(×) 三边(√) 两边一角(？) 两角一边
两边一角
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下的两边及一角分别相等的两个三角形是否全等？
1.边 角 边 2.边 边 角
探究3
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即两边和它们的夹角分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
定理应用格式：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B. 连接AC并延长到点D，使CD=CA. 连接BC并延长到点E，使CE=CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
证明：在△ABC和△DEC中，
∴ △ABC≌△DEC (SAS)
∴ AB=DE
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC. 固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD. 这个实验说明了什么？
△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等. 这说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
练习
1.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地. 此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
解：BC=BD. 理由如下：
在△ABC和△ABD中，
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
∴ BC=BD
2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证∠A=∠D.
证明：∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF
即 BF=CE
在△ABF和△DCE中，
∴ △ABF≌△DCE (SAS)
∴ ∠A=∠D
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握.
三角形全等的判定(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握已知三角形两个内角和一条边的长度怎么画三角形；2.掌握三角形全等的证明方法:“角边角”和“角角边”；3.能熟练运用其进行证明.
(二)过程与方法：学生经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，让学生通过探究，体会分类讨论的思想.
(三)情感态度与价值观：通过探究全等三角形的证明方法，体会分类讨论的思想，有助于学生形成严谨的学习习惯以及形成较强的逻辑推理能力.
二、教学重点、难点
重点：探究三角形全等的条件：角边角、角角边.
难点：运用角边角或角角边判定两个三角形全等.
三、教学过程
创设情境
如图，小黑熊不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？
探究4
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和它们的夹边分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
例3 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证AD=AE.
证明：
在△ACD和△ABE中，
∴ △ACD≌△ABE (ASA)
∴ AD=AE
例4 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠C=180°-∠A-∠B
同理∠F=180°-∠D-∠E
又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E
∴ ∠C=∠F
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF (ASA)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
归纳
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”).
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
练习
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD.
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC
∴ ∠B=∠D=90°
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC (AAS)
∴ AB=AD
2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF
∴ ∠ABC=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中，
∴ △ABC≌△EDC (ASA)
∴ AB=ED
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法. 在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件. 从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的. 存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.
直角三角形全等的判定
一、教学目标
(一)知识与技能：1.已知斜边和直角边会作直角三角形；2.熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等
(二)过程与方法：经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力.
(三)情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性.
二、教学重点、难点
重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法HL.
难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.
三、教学过程
回顾与思考
1.判定两个三角形全等方法____________________.
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
探究5
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD
∴ ∠C与∠D都是直角
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
∴ BC=AD
练习
1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：AD=BE，理由如下：
依题意可得，AC=BC，CD=CE.
∵ DA⊥AB，EB⊥AB
∴ ∠A=∠B=90°
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL)
∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.
证明：∵ BF=CE
∴ BF-EF=CE-EF
即 BE=CF
∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴ ∠AEB=∠DFC=90°
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL)
∴ AE=DF
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行. 在探究直角三角形全等的判定方法—“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流. 在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明. 此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.
角的平分线的性质(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算；4.了解几何命题证明的步骤.
(二)过程与方法：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用.
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教学过程
知识回顾
1.角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.通过折纸的方法做一个角的平分线
思考
右边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.
你能说明它的道理吗？其中AB=AD，BC=DC.
则：AE为∠α的角平分线.
证明：
在△ABC与△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC (SSS)
∴ ∠BAC=∠DAC
即 AE是∠α的角平分线
用尺规作角的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
思考
通过观察，你发现了角的平分线的什么性质？
点P在∠AOB的平分线OC上.
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
你能利用三角形全等证明这个性质吗？
已知:_________________________________
求证:_________________________________
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE
归纳
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识要点
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
判一判
图①∵ AD平分∠BAC (已知)
∴ BD=CD (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
图②∵ DC⊥AC，DB⊥AB (已知)
∴ BD=CD (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.
角的平分线的性质(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
(二)过程与方法：在探究角的平分线的判定定理的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.
难点：角的平分线的判定.
三、教学过程
复习引入
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
2.反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
动态演示
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL)
∴ ∠POD=∠POE
即点P在∠AOB的平分线上.
知识要点
性质定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上..
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2)
思考
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
则：这个集贸市场应建于点P处.
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴ PD=PE
同理，PE=PF
∴ PD=PE=PF
即P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
则：点P为所求.
2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G，H.
∵ BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线
∴ PG=PH，PF=PG
∴ PF=PG=PH
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握. 不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.
第12章全等三角形小结与复习
一、教学目标
1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；
3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.
二、教学重点、难点
重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构.
难点：运用全等三角形的知识解诀问题.
三、教学过程
知识梳理
一、全等三角形的性质
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△DEF
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
二、三角形全等的判定方法
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
定理应用格式：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
三、角平分线的性质与判定
考点讲练
考点一 全等三角形的性质
例1 如图，已知△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2.
(1)求AC的长度；(2)试说明CE∥BF.
解：(1)∵ △ACE≌△DBF，∴ AC=BD
∴ AC-BC=BD-BC，即 AB=CD
∵ AD=AB+BC+CD，AD=8，BC=2
∴ 2AB+2=8，解得 AB=3
∴ AC=AB+BC=3+2=5
(2)∵ △ACE≌△DBF
∴ ∠ECA=∠FBD，∴ CE∥BF
方法总结
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.
针对训练
1.如图所示，点B、D、C在一条直线上，△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°.(1)求∠B；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.
解：(1)∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠B=∠C
∵ ∠BAC=90°，∴ ∠B=∠C=45°
(2)AD⊥BC. 理由如下：
∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠BDA=∠CDA
∵ ∠BDA+∠CDA=180°
∴ ∠BDA=∠CDA=90°
∴ AD⊥BC
考点二 全等三角形的判定
例2 如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
求证：△ABC≌△DCB.
证明：在△ABC和△DCB中
∴ △ABC≌△DCB (ASA)
针对训练
2.在下列条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是( )
A.AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF B.∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
C.AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D D.AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F
3.如图所示，AB与CD相交于点O，OA＝OB.添加条件___________
(一个即可)，所以△AOC≌△BOD 理由是_______.
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F.
求证：∠DEC＝∠FEC.
证明：∵ CE⊥AD，∴ ∠AGE=∠AGC=90°
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠EAG=∠CAG
在△AGE和△AGC中
∴ △AGE≌△AGC (ASA)
∴ GE=GC
在△DGE和△DGC中
∴ △DGE≌△DGC (SAS)
∴ ∠DEG=∠DCG
∵ EF∥BC，∴ ∠FEC=∠DCE
∴ ∠DEC=∠FEC
方法总结
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
针对训练
4.如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于E，DE＝FE，求证：AE＝CE.
证明：∵ AD∥CF
∴ ∠ADE=∠CFE
在△ADE和△CFE中
∴ △ADE≌△CFE (ASA)
∴ AE=CE
考点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：相等，理由如下：
∵ AD⊥BC
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (HL)
∴ BD=CD
方法总结
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
(1)先明确实际问题；
(2)根据实际抽象出几何图形；
(3)经过分析，找出证明途径；
(4)书写证明过程.
针对训练
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上.
∵ ∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC=90°
∴ △ABC≌△EDC (ASA)
∴ AB=ED
∴ 测出ED的长就是A、B之间的距离.
考点五 角平分线的性质与判定
例5 如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，∠PCB＋∠BAP＝180°，求证：PA＝PC.
证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC
∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90°
∵ ∠PCB+∠BAP=180°
又 ∠BAP+∠PAE=180°
∴ ∠PAE=∠PCB
在△APE和△CPF中
∴ △APE≌△CPF (AAS)
∴ PA=PC
针对训练
6.如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，PA＝PC，求证：∠PCB＋∠BAP＝180°.
证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC
∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90°
在Rt△APE和Rt△CPF中
∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL)
∴ ∠PAE=∠PCF
∵ ∠PAE+∠BAP=180°
∴ ∠PCB+∠BAP=180°
能力提升
在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(点D不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)如图①，若点D在线段BC上，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由.
(2)如图②，当点D在射线BC上移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由.
解：(1)∠BCE+∠BAC=180°. 理由如下：
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即 ∠BAD=∠CAE
∵ AB=AC，AD=AE
∴ △ABD≌△ACE (SAS)
∴ ∠ABC=∠ACE
∴ ∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC
∵ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴ ∠BCE+∠BAC=180°
(2)∠BCE+∠BAC=180°. 理由如下：设AD与CE交于点F.
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE
∵ AB=AC，AD=AE
∴ △ABD≌△ACE (SAS)
∴ ∠ADB=∠AEC
∵ ∠AFE=∠CFD，∴ ∠EAF=∠ECD
∵ ∠BAC=∠FAE，∠BCE+∠ECD=180°
∴ ∠BCE+∠BAC=180°
轴对称
一、教学目标
(一)知识与技能：1.在生活实例中认识轴对称图；2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念.
(二)过程与方法：1.通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴；2.经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力.
(三)情感态度与价值观：通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高.
二、教学重点、难点
重点：轴对称图形的概念.
难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
三、教学过程
图片欣赏
自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.
在我们的生活中对称现象无处不在，让我们再来开开眼界吧!
舞蹈艺术、京剧脸谱、剪纸艺术、建筑物、国旗、汽车标志等.
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
思考
下面的每对图形有什么共同特点？
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
思考
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
思考
线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°. 对于其它对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况. 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.
垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如右图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.
练习
1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出他们的对称轴，并找出一对对称点.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能. 另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.
线段的垂直平分线的性质(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解诀有关问题.
(二)过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力.
(三)情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用.
难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用.
三、教学过程
观察演示，动手操作
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=BC，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB (SAS)
∴ PA=PB
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.
证法1：过点P作线段AB的垂线PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL)
∴ AC=BC
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
证法2：取AB的中点C，过P，C作直线.
∴ AC=BC
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ △PAC≌△PBC (SSS)
∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°
即 PC⊥AB
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
几何符号语言：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
集合
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线.
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
练习
1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
∵ AD⊥BC，BD=DC
∴ AB=AC
∵ 点C在AE的垂直平分线上
∴ AC=CE
∴ AB=AC=CE
∴ AB+BD=CE+DC
∴ AB+BD=DE
2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
∵ AB=AC，MB=MC
∴ 点A、M在线段BC的垂直平分线上
∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.
线段的垂直平分线的性质(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解线段的垂直平分线的判定定理，会利用线段的垂直平分线的判定解决简单问题；2.会用尺规作已知线段的垂直平分线.
(二)过程与方法：探培养学生的观察、猜想、推理、归纳能力，进一步掌握学习几何知识的一般方法.
(三)情感态度与价值观：通过探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题.
难点：线段的垂直平分线的判定的应用，了解作图的道理.
三、教学过程
思考
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴. 为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
作法：1.分别以点A和B为圆心、以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点.
2.作直线CD.
CD就是所求作的直线.
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
命题证明
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：点P在AC的垂直平分线，且PA=PB=PC.
证明：∵ 点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
同理，PB=PC
∴ PA=PC
∴ 点P在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC.
五角星
同样，对于轴对称图，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
例如，图中的五角星，我们可以找出一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
类似地，你能作出这个五角星的其它对称轴吗？
练习
1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴.
解：图形A与图形B成轴对称，对称轴如图所示直线l.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.
画轴对称图形
一、教学目标
(一)知识与技能：理解图形轴对称变换的性质，能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形.
(二)过程与方法：经历画已知图形关于某直线的轴对称图形的过程，体会轴对称性质在作图中的运用.
(三)情感态度与价值观：学生体验到成功的喜悦，树立自信心，感受数学美.
二、教学重点、难点
重点：会画已知图形关于某直线的轴对称图形.
难点：理解轴对称性质在作图中的运用.
三、教学过程
动手操作
归纳
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
问题
问题1：已知对称轴m和一点A，要画出点A关于m的对称点A′，如何画呢？
1.过点A画对称轴m的垂线，垂足为B；
2.延长AB至A′使得BA′=AB，则点A′就是所求的点.
问题2：如何画一条线段的对称图形？
已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段A′B′.
思考
如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形.
画法：如右图，
(1)过点A画直线 l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线 l 的对称点；
(2)同理，分别画出点B、C关于直线 l 的对称点B′、C′；
(3)连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求.
归纳
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
右图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.
美术作品
利用轴对称，可以设计出精美的图案. 在许多美术作品中，都能看到轴对称的例子.
练习
1.如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的图形.
2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容. 重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识. 练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展.
用坐标表示轴对称
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能够作轴对称图形；2.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；3.能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.
(二)过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系.
(三)情感态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神.
二、教学重点、难点
重点：能够作轴对称图形，能够经过探索利用坐标来表示轴对称，能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题.
三、教学过程
情景引入
一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？
思考
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
找规律
在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律.
再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律.
归纳
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)
例2 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形ABCD关于 y 轴和 x 轴对称的图形.
解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称点的坐标分别为
A'(__，__)，B'(__，__)
C'(__，__)，D'(__，__)
依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'.类似地，我们可以得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A″B″C″D″.
练习
1.分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标.
2.如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，写出点B的坐标.
解：∵ △ABO关于x轴对称
∴ 点A与点B关于x轴对称
∵ 点A的坐标为(1，-2)
∴ 点B的坐标为(1，2)
3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
解：如图，△A1B1C1为△ABC关于x轴对称的图形；△A2B2C2为△ABC关于y轴对称的图形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
等腰三角形(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.
(二)过程与方法：结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想.
(三)情感态度与价值观：引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
三、教学过程
轴对称图形
三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
探究
把一张长方形的纸片沿虚线对折，并剪下红色部分，再把它展开，得到一个什么图形？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC. 像这样有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕(AD所在的直线)对折，找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
性质证明
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
证明：作底边BC的中线AD.
在△BAD与△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD (SSS)
∴ ∠B=∠C
由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了性质2.
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解：∵ AB=AC，BD=BC=AD
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角)
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得 x=36°
所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
练习
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
解：(1)∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
又∵ ∠A=36°
∴ ∠B=∠C==72°
解：(2)∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
又∵ ∠A=120°
∴ ∠B=∠C==30°
2.如图，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高. 标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.
解：AB=AC，BD=CD=AD
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.进一步认识三角形的概念及其基本要素；2.掌握三角形三条边之间关系.
(二)过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系.
(三)情感态度与价值观：帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学生学习的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：了解三角形定义、三边关系.
难点：1.在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形；2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
三、教学过程
图片欣赏
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
线段AB，BC，CA是三角形的边. 点A，B，C是三角形的顶点. ∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示. 顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
思考
回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？
探究
两只蚂蚁在B点，同时发现在C点的位置上有一小块糖，于是它们各自沿着不同的路线出发去抢那唯一的一小块糖(假设它们的速度相同). 看完了这两只蚂蚁抢糖吃的全过程，你有何体会？
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB＋AC＞BC ①
同理有 AC＋BC＞AB ②
AB＋BC＞AC ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说，
三角形两边的差小于第三边.
例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18，解得 x=3.6
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4+2x=18，解得 x=7
所以，三边长分别为4cm，7cm，7cm.
②如果4cm长的边为腰长，设底边长为x cm，则
2×4+x=18，解得 x=10
因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边是4cm的等腰三角形.
练习
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
解：图中共有5个三角形，分别如下：
△ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE.
2.(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10
解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8；
(2)不能组成三角形，因为5+6=11；
(3)能组成三角形，因为5+6>10.
只要选取两条较短的线段，求出和再与最长的线段比较，和较大，则可以；否则不能组成三角形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课先让学生掌握三角形的有关概念及三角形的分类.重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”. 通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论. 这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力.
三角形的高、中线与角平分线
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质；2.会画三角形的高、中线、角平分线.
(二)过程与方法：经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.
(三)情感态度与价值观：培养学生乐于动手，肯于实践的精神.
二、教学重点、难点
重点：三角形的高、中线与角平分线.
难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高.
三、教学过程
创设情境
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.
观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
预备知识
1.垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
高
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求△ABC的面积？
如何求△ABC的面积？
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高)
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的高 ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°)
∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD是△ABC的高
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？
锐角三角形的三条高 直角三角形的三条高 钝角三角形的三条高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
直角边BC边上的高是____；
直角边AB边上的高是____；
斜边AC边上的高是____.
画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
归纳
三角形的三条高所在直线交于同一点.
思考(中线)
已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的中线 ∵ BD=CD (或BD=BC)
∴ BD=CD=BC ∴ AD是△ABC的中线
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？
归纳
三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
角平分线
任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗？
∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边
BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的
的角平分线.
几何符号语言： 反之
∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠2=∠BAC ∴ AD是△ABC的角平分线
画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什么结论？
三角形的三条角平分线交于同一点.
练习
1.如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
2.填空：
(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2_________，BD=____，AE=____.
(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=___，∠3=____，∠ACB=2________.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由一个动画演示引入，让学生意识到三角形中有很多条特殊的线段. 然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法.
三角形的稳定性
一、教学目标
(一)知识与技能：知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.
(二)过程与方法：通过引导学生主动探究得出三角形具有稳定性的过程，加强学生的探究与总结能力.
(三)情感态度与价值观：通过了解三角形稳定性与四边形没有稳定性在生产、生活中广泛应用，体会出三角形与实际生活的巨联系，激发学生对三角形的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用.
难点：灵活准确使用三角形稳定性于生产生活之中.
三、教学过程
猫与老鼠
有一天小老鼠Jerry遇到了灰猫Tom，眼看就要被灰猫抓住…
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条. 为什么要这样做呢？
探究
如图(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？
稳定性
用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？
四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？
练习
下列图形中哪些具有稳定性？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题. 学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号. 这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础.
三角形的内角
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解三角形的内角；2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；3.学会解决与求角有关的实际问题.
(二)过程与方法：经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法.
(三)情感态度与价值观：初步培养学生的说理能力.
二、教学重点、难点
重点：三角形的内角和定理及其运用.
难点：三角形内角和定理的推理过程.
三、教学过程
兄弟之争
在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”.
“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
欣赏动画
动手剪拼 动态演示
定理证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.
∵ l∥BC
∴ ∠2=∠4 (两直线平行，内错角相等)
同理 ∠3=∠5
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角
∴ ∠1+∠4+∠5=180°(平角定义)
∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代换)
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°即 ∠A+∠B+∠C=180°
由下图，你能想出这个定理的其它证法吗？
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.
∴ ∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)
∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)
∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=∠BAC=20°
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°
例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
练习
1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？
解：∵ ∠ABC+∠CBD=180°
∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC
=180°-30°-135°
=15°
2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°，求∠C的度数.
解：连接AC，
∵ 四边形ABCD左右对称
∴ ∠CAB=∠BAD=75°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠B
=180°-75°-40°
=65°
∴ ∠BCD=2∠ACB=130°
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率. 然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想. 在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论.
直角三角形
一、教学目标
(一)知识与技能：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
(二)过程与方法：经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的推理证明能力.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的解诀，体验成功的快乐，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.
难点：用直角三角形的性质进行有关推理和计算.
三、教学过程
复习巩固
求出下列各图中x的值.
问题引导
如下图所示是我们常用的一副三角板，两锐角的度数之和为多少度？
30°＋60°＝90° 45°＋45°＝90°
你能把下列推理补充完整吗？
如图，在△ABC中，
∠A +∠B +∠C =_____( )
∵ ∠C = 90°( )
∴ ∠A +∠B =_____
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
几何符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°
探究
1.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
2.如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
1.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性质)
∵ ∠B=∠C=90°
∴ AB∥CD
∴ ∠A=∠D
方法二：(利用直角三角形的性质)
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠C=90°
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠A=∠D
①两个图形的相同点和不同点各是什么？
②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗？哪个更具一般性？
2.解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠D=90°
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠A=∠C
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE. 理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵ ∠AEC=∠BED
∴ ∠CAE=∠DBE
思考
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．此结论，反过来是_______________________________________. 它成立吗？请你说说理由.
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何符号语言：
∵ ∠A+∠B=90°
∴ △ABC是直角三角形
练习
1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠ACD+∠BCD=90°
∵ CD⊥AB
∴ ∠BDC=90°
∴ ∠B+∠BCD=90°
∴ ∠ACD=∠B
2.如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形. 理由如下：
∵ ∠C=90°
∴ ∠2+∠A=90°
∵ ∠1=∠2
∴ ∠1+∠A=90°
∴ △ADE是直角三角形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的内容是直角三角形的性质与判定：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.上节课已经学过三角形的内角和是180°，据此证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际间题的能力.
三角形的外角
一、教学目标
(一)知识与技能：理解三角形的外角的概念，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，能利用三角形的外角性质解决实际问题.
(二)过程与方法：通过学生小组合作推理三角形的外角的性质的过程，加强学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力.
(三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人，养成良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
重点：三角形的外角性质.
难点：能准确地表达推理的过程和方法.
三、教学过程
教材导学
1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，则∠C=_____.
2.如图，在△ABC中，∠A=65°，∠B=55°，则∠ACB=____，∠BCD=_____.
三角形的内角是三角形内部的骄子.
那三角形的外部呢？
什么都没有呀，让人感到很无奈!
只要你添上一笔就精彩了!
把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？
归纳
1.每个外角是相邻内角的邻补角；
2.每一个顶点相对应的外角都有２个；
3.每一个三角形都有６个外角.
找一找
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△CDF的外角.
思考
如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°. ∠ACD是的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
∠ACD=∠A+∠B
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACB+∠ACD=180°
∴ ∠A+∠B=180°-∠ACB
∠ACD=180°-∠ACB
∴ ∠ACD=∠A+∠B
推论1
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD=∠A+∠B (∠A=∠ACD-∠B)
推论2
如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和.(∠ACD=∠A+∠B)完成下列填空：
∠ACD ___ ∠A (填＜、＞) ∠ACD ___ ∠B (填＜、＞)
因此，我们还可以得出这样的结论：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
几何符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2
所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)
由∠1+∠2+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°
你还有其它解法吗？
练习
说出下列图形中∠1和∠2的度数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.
多边形
一、教学目标
(一)知识与技能：观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了解多边形及其内角、对角线等数学概念.
(二)过程与方法：能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识.
(三)情感态度与价值观：了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道理.
二、教学重点、难点
重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别.
难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别.
三、教学过程
创设情境
从这些图形中，你能抽象出哪些平面图形？
温故而知新
三角形
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首
尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形.
有关概念
多边形的内角：
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 图中∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角.
多边形的外角：
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 图中∠1是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 图中，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.
五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线.
观察
下列两个多边形有何异同呢？
凸多边形的判断方法：
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，则是凹多边形. 本节只讨论凸多边形.
观察下列多边形，它们的边、角各有什么特点？
像正方形一样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
练习
1.画出下列多边形的全部对角线：
2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来. 在这个过程中，学生得到了锻炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度.
多边形的内角和
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题.
(二)过程与方法：通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力.
(三)情感态度与价值观：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质.
二、教学重点、难点
重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.
难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.
三、教学过程
思考
三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于_____，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
∵ ∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°
∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°
即四边形的内角和等于360°.
探究
归纳
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n-2).
这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°.
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°
∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少？
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.
因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于
6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总
和减去内角和，即外角和等于
6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°
思考
如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？
n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180°
=n×180°-n×180°+2×180°
=2×180°
=360°
多边形的外角和等于360°
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
练习
1.求下列图形中x的值：
解：(1) x+x+140+90=360，解得 x=65
(2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60
(3) 75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95
2.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解法一：∵ 各内角都等于120°
∴ 每个外角都是60°
∴ 边数为：360°÷60°=6
即它是六边形.
解法二：设它是n边形.
120n=(n-2)×180
解得，n=6
即它是六边形.
3.一个多边形的各内角和与外角和相等，它是几边形？
解：设它是n边形，依题意得，
(n-2)×180=360
解得，n=4
即它是四边形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新. 要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决.
第11章三角形小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画任意三角形的高、中线、 角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角(内角、外角)，会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180° ，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念(边、内角、对角线、正多边形)，探索并了解多边形的内角和与外角和公式.
(二)过程与方法：结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.
(三)情感态度与价值观：通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.
二、教学重点、难点
重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.
难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用.
三、教学过程
知识梳理
1.三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
如：AB＋AC＞BC，BC－AC＜AB
2.三角形的分类
3.三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图①.
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点(重心)，如图②.
角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③.
4.三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)直角三角形的两个锐角互余；
(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(4)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝90°∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
5.多边形及其内角和
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 正多边形是各个角都相等，各条边都相等的多边形.
n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3的整数)
n边形的外角和等于360°
正多边形的每个内角的度数是或
正多边形的每个外角的度数是
考点讲练
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3＜a＜8+3，解得 5＜a＜11.
又∵ 第三边长为奇数，
∴ 第三条边长为7cm或9cm.
针对训练
1.以线段3、4、x－5为边组成三角形，那么x的取值范围是__________.
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.
解：(1)当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5，5；
(2)当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6，4.
综上所述，另两边长为5，5或6，4.
针对训练
2.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
3.若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______.
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长.
解：∵ CD为△ABC的AB边上的中线
∴ AD=BD
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3cm
∴ (BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3cm
∴ BC-AC=3cm
∵ BC=8cm
∴ AC=5cm
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积.
解：∵ 点E是AD的中点
∴ S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC
∴ S△ABE+S△ACE=(S△ABD+S△ADC)=S△ABC=×24=12
∴ S△BCE=S△ABC-(S△ABE+S△ACE)=12
∵ 点F是CE的中点
∴ S△BEF=S△BCE=×12=6
针对训练
4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( )
5.在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长.
解：如图，∵ DB为△ABC的中线
∴ AD=CD
设AD=CD=x，则AB=AC=2x
当x+2x=12，BC+x=15，解得x=4，BC=11
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7.
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解：(1)由∠C=54°知∠A+∠B=180°-54°=126°①
又∠A-∠B=16°②，由①②解得∠A=71°，∠B=55°；
(2)设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x
则 2x+3x+4x=180°，解得x=20°
∴ ∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°.
例6 如图，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求
∠DAC的度数.
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x
∵ ∠BAC=63°
∴ ∠2+∠4=117°
即 x+2x=117°，解得 x=39°
∴ ∠3=∠4=78°
∴ ∠DAC=180°-∠3-∠4=24°
针对训练
6.在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C，满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝_____.
7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，则∠EBF的度数是_____，∠FBC的度数是_____.
8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC＝132°，那么∠A的度数是_____.
第7题图 第8题图
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的外角的度数为x，则相邻内角的度数为4x，则x+4x=180，解得x=36.
∴ 边数n=360°÷36°=10.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求∠CAD的度数.
解：∵ 五边形ABCDE的内角都相等
∴ ∠E=∠B=∠BAE=540°÷5=108°
又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4
由三角形内角和定理可知
∠1=∠2=∠3=∠4=(180°-108°)÷2=36°
∴ ∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°
针对训练
9.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n，依题意得
(n-2)×180°=3×360°-180°
解得 n=7
∴ 这个多边形的边数是7.
10.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝∠2＝60°，AB与DE及AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵ 六边形ABCDEF的内角都相等
∴ ∠EDC=∠FAB=∠C=720°÷6=120°
∵ ∠1=∠2=60°
∴ ∠EDA=∠1=60°
∴ AB∥DE
∵ ∠2+∠C=180°
∴ AD∥BC
考点五 本章中的思想方法
分类讨论思想
例9 (1)已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是_______；
(2)已知等腰三角形的两边长分别为16和8，则三角形的周长是_______.
方程思想
例10 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x°，则∠ABC=x°
∵ △BDE是等边三角形
∴ ∠ABE=60°
∴ ∠EBC=x°-60°
∵ BE⊥AC，∴ ∠BEC=90°
在△BCE中，根据三角形内角和定理
得 90+x+x-60=180，解得x=75
∴ ∠C=75°
能力提升
11.小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣. 她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角. 小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：
(1)如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：∠l＋∠2＝180°＋∠A
理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角
∴ ∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4
∴ ∠1＋∠2＝360°－(∠3＋∠4)
∵ 三角形的内角和为180°
∴ ∠3＋∠4＝180°－∠A
∴ ∠l＋∠2＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题.
②初步应用：
(2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2－∠C＝_____；
(3)如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系______________.(直接填答案)
(4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.)
解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°. 理由如下：
如图，延长线段BA、CD交于点Q.
由(3)可知，∠Q+2∠P=180°
由(1)可知，∠1+∠2=180°+∠Q
∴ (∠1+∠2-180°)+2∠P=180°
∴ ∠1+∠2+2∠P=360°
全等三角形
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等；2.知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质；3.能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
(二)过程与方法：通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识.
(三)情感态度与价值观：培养学生的观察能力、动手操作能力和自主学习能力，发展学生的空间观念.
二、教学重点、难点
重点：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.
难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系.
三、教学过程
全等形
观察下列图案，你有什么发现？
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
探究
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？
全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
记作：△ABC≌△A1B1C1
读作：△ABC全等于△A1B1C1
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
重合的顶点叫对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1
重合的边叫对应边：AB和A1B1，AC和A1C1，BC和B1C1
重合的角叫对应角：∠A和∠A1， ∠B和∠B1， ∠C和∠C1
思考
△ABC≌△A1B1C1，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△A1B1C1
∴ AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
思考
在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF；
在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC；
在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.
各图中的两个三角形全等吗？
△ABC≌△DEF △ABC≌△DBC △ABC≌△ADE
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
请说出图(1)中的对应顶点，对应边、对应角.
练习
1.说出图(2)，图(3)中两个全等三角形的对应边，对应角.
解：图(2) 对应边：AB和DB，AC和DC，BC和BC
对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DBC，∠ACB和∠DCB
图(3) 对应边：AB和AD，AC和AE，BC和DE
对应角：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E
2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.
解：相等的边：OC=OB，OA=OD，CA=BD；
相等的角：∠AOC=∠DOB，∠C=∠B，∠A=∠D.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念. 最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理. 通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题.
三角形全等的判定(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”条件.
(二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
二、教学重点、难点
重点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
难点：三角形全等条件的探索过程.
三、教学过程
情境问题
(1)坐久了的椅子摇晃了怎么办？
(2)小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，聪明的同学，小明该测量哪些数据呢？数据能尽可能少吗？
如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即
AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
就能判定△ABC≌△A′B′C′.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
探究1
先任意画一个△ABC. 再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
(1)三角形的两条边分别为4cm，6cm；
(2)三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
(3)三角形的两个内角分别为30°和50°.
通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等. 满足上述六个条件中的三个，有几种可能的情况呢？每种情况都能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边
显然，三个角分别相等的两个三角形不一定全等.
探究2
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了. 就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了，这里就用到上面的结论.
例1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证△ABD≌△ACD.
证明：∵ D是BC的中点
∴ BD=CD
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
作角
已知：∠AOB
求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1、以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2、画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3、以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4、过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
想一想，为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
练习
1.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE.
证明：∵ C是AB的中点
∴ AC=CB
在△ACD和△CBE中，
∴ △ACD≌△CBE (SSS)
2.工人师傅经常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么？
证明：
在△OMC和△ONC中，
∴ △OMC≌△ONC (SSS)
∴ ∠MOC=∠NOC
即 OC就是∠AOB的平分线
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握. 从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.
三角形全等的判定(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握三角形全等的“SAS”条件；2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
(二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力.
(三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
二、教学重点、难点
重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
三、教学过程
知识回顾
回顾三角形全等的判定方法1：
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
思考
除了SSS外，还有其他情况吗？
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况：
三角(×) 三边(√) 两边一角(？) 两角一边
两边一角
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下的两边及一角分别相等的两个三角形是否全等？
1.边 角 边 2.边 边 角
探究3
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即两边和它们的夹角分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
定理应用格式：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B. 连接AC并延长到点D，使CD=CA. 连接BC并延长到点E，使CE=CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
证明：在△ABC和△DEC中，
∴ △ABC≌△DEC (SAS)
∴ AB=DE
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC. 固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD. 这个实验说明了什么？
△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等. 这说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
练习
1.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地. 此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
解：BC=BD. 理由如下：
在△ABC和△ABD中，
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
∴ BC=BD
2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证∠A=∠D.
证明：∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF
即 BF=CE
在△ABF和△DCE中，
∴ △ABF≌△DCE (SAS)
∴ ∠A=∠D
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握.
三角形全等的判定(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握已知三角形两个内角和一条边的长度怎么画三角形；2.掌握三角形全等的证明方法:“角边角”和“角角边”；3.能熟练运用其进行证明.
(二)过程与方法：学生经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，让学生通过探究，体会分类讨论的思想.
(三)情感态度与价值观：通过探究全等三角形的证明方法，体会分类讨论的思想，有助于学生形成严谨的学习习惯以及形成较强的逻辑推理能力.
二、教学重点、难点
重点：探究三角形全等的条件：角边角、角角边.
难点：运用角边角或角角边判定两个三角形全等.
三、教学过程
创设情境
如图，小黑熊不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？
探究4
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和它们的夹边分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
例3 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证AD=AE.
证明：
在△ACD和△ABE中，
∴ △ACD≌△ABE (ASA)
∴ AD=AE
例4 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠C=180°-∠A-∠B
同理∠F=180°-∠D-∠E
又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E
∴ ∠C=∠F
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF (ASA)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
归纳
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”).
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
练习
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD.
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC
∴ ∠B=∠D=90°
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC (AAS)
∴ AB=AD
2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF
∴ ∠ABC=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中，
∴ △ABC≌△EDC (ASA)
∴ AB=ED
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法. 在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件. 从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的. 存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.
直角三角形全等的判定
一、教学目标
(一)知识与技能：1.已知斜边和直角边会作直角三角形；2.熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等
(二)过程与方法：经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力.
(三)情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性.
二、教学重点、难点
重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法HL.
难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.
三、教学过程
回顾与思考
1.判定两个三角形全等方法____________________.
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
探究5
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD
∴ ∠C与∠D都是直角
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
∴ BC=AD
练习
1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：AD=BE，理由如下：
依题意可得，AC=BC，CD=CE.
∵ DA⊥AB，EB⊥AB
∴ ∠A=∠B=90°
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL)
∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.
证明：∵ BF=CE
∴ BF-EF=CE-EF
即 BE=CF
∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴ ∠AEB=∠DFC=90°
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL)
∴ AE=DF
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行. 在探究直角三角形全等的判定方法—“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流. 在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明. 此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.
角的平分线的性质(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算；4.了解几何命题证明的步骤.
(二)过程与方法：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用.
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教学过程
知识回顾
1.角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.通过折纸的方法做一个角的平分线
思考
右边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.
你能说明它的道理吗？其中AB=AD，BC=DC.
则：AE为∠α的角平分线.
证明：
在△ABC与△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC (SSS)
∴ ∠BAC=∠DAC
即 AE是∠α的角平分线
用尺规作角的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
思考
通过观察，你发现了角的平分线的什么性质？
点P在∠AOB的平分线OC上.
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
你能利用三角形全等证明这个性质吗？
已知:_________________________________
求证:_________________________________
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE
归纳
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识要点
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
判一判
图①∵ AD平分∠BAC (已知)
∴ BD=CD (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
图②∵ DC⊥AC，DB⊥AB (已知)
∴ BD=CD (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.
角的平分线的性质(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
(二)过程与方法：在探究角的平分线的判定定理的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.
难点：角的平分线的判定.
三、教学过程
复习引入
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
2.反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
动态演示
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL)
∴ ∠POD=∠POE
即点P在∠AOB的平分线上.
知识要点
性质定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上..
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2)
思考
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
则：这个集贸市场应建于点P处.
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴ PD=PE
同理，PE=PF
∴ PD=PE=PF
即P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
则：点P为所求.
2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G，H.
∵ BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线
∴ PG=PH，PF=PG
∴ PF=PG=PH
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握. 不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.
第12章全等三角形小结与复习
一、教学目标
1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；
3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.
二、教学重点、难点
重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构.
难点：运用全等三角形的知识解诀问题.
三、教学过程
知识梳理
一、全等三角形的性质
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△DEF
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
二、三角形全等的判定方法
三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
定理应用格式：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
三、角平分线的性质与判定
考点讲练
考点一 全等三角形的性质
例1 如图，已知△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2.
(1)求AC的长度；(2)试说明CE∥BF.
解：(1)∵ △ACE≌△DBF，∴ AC=BD
∴ AC-BC=BD-BC，即 AB=CD
∵ AD=AB+BC+CD，AD=8，BC=2
∴ 2AB+2=8，解得 AB=3
∴ AC=AB+BC=3+2=5
(2)∵ △ACE≌△DBF
∴ ∠ECA=∠FBD，∴ CE∥BF
方法总结
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.
针对训练
1.如图所示，点B、D、C在一条直线上，△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°.(1)求∠B；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.
解：(1)∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠B=∠C
∵ ∠BAC=90°，∴ ∠B=∠C=45°
(2)AD⊥BC. 理由如下：
∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠BDA=∠CDA
∵ ∠BDA+∠CDA=180°
∴ ∠BDA=∠CDA=90°
∴ AD⊥BC
考点二 全等三角形的判定
例2 如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
求证：△ABC≌△DCB.
证明：在△ABC和△DCB中
∴ △ABC≌△DCB (ASA)
针对训练
2.在下列条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是( )
A.AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF B.∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
C.AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D D.AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F
3.如图所示，AB与CD相交于点O，OA＝OB.添加条件___________
(一个即可)，所以△AOC≌△BOD 理由是_______.
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F.
求证：∠DEC＝∠FEC.
证明：∵ CE⊥AD，∴ ∠AGE=∠AGC=90°
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠EAG=∠CAG
在△AGE和△AGC中
∴ △AGE≌△AGC (ASA)
∴ GE=GC
在△DGE和△DGC中
∴ △DGE≌△DGC (SAS)
∴ ∠DEG=∠DCG
∵ EF∥BC，∴ ∠FEC=∠DCE
∴ ∠DEC=∠FEC
方法总结
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
针对训练
4.如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于E，DE＝FE，求证：AE＝CE.
证明：∵ AD∥CF
∴ ∠ADE=∠CFE
在△ADE和△CFE中
∴ △ADE≌△CFE (ASA)
∴ AE=CE
考点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：相等，理由如下：
∵ AD⊥BC
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (HL)
∴ BD=CD
方法总结
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
(1)先明确实际问题；
(2)根据实际抽象出几何图形；
(3)经过分析，找出证明途径；
(4)书写证明过程.
针对训练
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上.
∵ ∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC=90°
∴ △ABC≌△EDC (ASA)
∴ AB=ED
∴ 测出ED的长就是A、B之间的距离.
考点五 角平分线的性质与判定
例5 如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，∠PCB＋∠BAP＝180°，求证：PA＝PC.
证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC
∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90°
∵ ∠PCB+∠BAP=180°
又 ∠BAP+∠PAE=180°
∴ ∠PAE=∠PCB
在△APE和△CPF中
∴ △APE≌△CPF (AAS)
∴ PA=PC
针对训练
6.如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，PA＝PC，求证：∠PCB＋∠BAP＝180°.
证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC
∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90°
在Rt△APE和Rt△CPF中
∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL)
∴ ∠PAE=∠PCF
∵ ∠PAE+∠BAP=180°
∴ ∠PCB+∠BAP=180°
能力提升
在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(点D不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)如图①，若点D在线段BC上，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由.
(2)如图②，当点D在射线BC上移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由.
解：(1)∠BCE+∠BAC=180°. 理由如下：
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即 ∠BAD=∠CAE
∵ AB=AC，AD=AE
∴ △ABD≌△ACE (SAS)
∴ ∠ABC=∠ACE
∴ ∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC
∵ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴ ∠BCE+∠BAC=180°
(2)∠BCE+∠BAC=180°. 理由如下：设AD与CE交于点F.
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE
∵ AB=AC，AD=AE
∴ △ABD≌△ACE (SAS)
∴ ∠ADB=∠AEC
∵ ∠AFE=∠CFD，∴ ∠EAF=∠ECD
∵ ∠BAC=∠FAE，∠BCE+∠ECD=180°
∴ ∠BCE+∠BAC=180°
轴对称
一、教学目标
(一)知识与技能：1.在生活实例中认识轴对称图；2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念.
(二)过程与方法：1.通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴；2.经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力.
(三)情感态度与价值观：通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高.
二、教学重点、难点
重点：轴对称图形的概念.
难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
三、教学过程
图片欣赏
自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.
在我们的生活中对称现象无处不在，让我们再来开开眼界吧!
舞蹈艺术、京剧脸谱、剪纸艺术、建筑物、国旗、汽车标志等.
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
思考
下面的每对图形有什么共同特点？
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
思考
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
思考
线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°. 对于其它对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况. 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.
垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如右图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.
练习
1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出他们的对称轴，并找出一对对称点.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能. 另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.
线段的垂直平分线的性质(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解诀有关问题.
(二)过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力.
(三)情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用.
难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用.
三、教学过程
观察演示，动手操作
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=BC，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB (SAS)
∴ PA=PB
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.
证法1：过点P作线段AB的垂线PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL)
∴ AC=BC
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
证法2：取AB的中点C，过P，C作直线.
∴ AC=BC
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ △PAC≌△PBC (SSS)
∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°
即 PC⊥AB
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
几何符号语言：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
集合
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线.
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
练习
1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
∵ AD⊥BC，BD=DC
∴ AB=AC
∵ 点C在AE的垂直平分线上
∴ AC=CE
∴ AB=AC=CE
∴ AB+BD=CE+DC
∴ AB+BD=DE
2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
∵ AB=AC，MB=MC
∴ 点A、M在线段BC的垂直平分线上
∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.
线段的垂直平分线的性质(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解线段的垂直平分线的判定定理，会利用线段的垂直平分线的判定解决简单问题；2.会用尺规作已知线段的垂直平分线.
(二)过程与方法：探培养学生的观察、猜想、推理、归纳能力，进一步掌握学习几何知识的一般方法.
(三)情感态度与价值观：通过探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题.
难点：线段的垂直平分线的判定的应用，了解作图的道理.
三、教学过程
思考
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴. 为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
作法：1.分别以点A和B为圆心、以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点.
2.作直线CD.
CD就是所求作的直线.
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
命题证明
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：点P在AC的垂直平分线，且PA=PB=PC.
证明：∵ 点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
同理，PB=PC
∴ PA=PC
∴ 点P在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC.
五角星
同样，对于轴对称图，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
例如，图中的五角星，我们可以找出一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
类似地，你能作出这个五角星的其它对称轴吗？
练习
1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴.
解：图形A与图形B成轴对称，对称轴如图所示直线l.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.
画轴对称图形
一、教学目标
(一)知识与技能：理解图形轴对称变换的性质，能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形.
(二)过程与方法：经历画已知图形关于某直线的轴对称图形的过程，体会轴对称性质在作图中的运用.
(三)情感态度与价值观：学生体验到成功的喜悦，树立自信心，感受数学美.
二、教学重点、难点
重点：会画已知图形关于某直线的轴对称图形.
难点：理解轴对称性质在作图中的运用.
三、教学过程
动手操作
归纳
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
问题
问题1：已知对称轴m和一点A，要画出点A关于m的对称点A′，如何画呢？
1.过点A画对称轴m的垂线，垂足为B；
2.延长AB至A′使得BA′=AB，则点A′就是所求的点.
问题2：如何画一条线段的对称图形？
已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段A′B′.
思考
如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形.
画法：如右图，
(1)过点A画直线 l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线 l 的对称点；
(2)同理，分别画出点B、C关于直线 l 的对称点B′、C′；
(3)连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求.
归纳
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
右图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.
美术作品
利用轴对称，可以设计出精美的图案. 在许多美术作品中，都能看到轴对称的例子.
练习
1.如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的图形.
2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容. 重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识. 练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展.
用坐标表示轴对称
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能够作轴对称图形；2.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；3.能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.
(二)过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系.
(三)情感态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神.
二、教学重点、难点
重点：能够作轴对称图形，能够经过探索利用坐标来表示轴对称，能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题.
三、教学过程
情景引入
一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？
思考
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
找规律
在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律.
再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律.
归纳
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)
例2 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形ABCD关于 y 轴和 x 轴对称的图形.
解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称点的坐标分别为
A'(__，__)，B'(__，__)
C'(__，__)，D'(__，__)
依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'.类似地，我们可以得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A″B″C″D″.
练习
1.分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标.
2.如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，写出点B的坐标.
解：∵ △ABO关于x轴对称
∴ 点A与点B关于x轴对称
∵ 点A的坐标为(1，-2)
∴ 点B的坐标为(1，2)
3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
解：如图，△A1B1C1为△ABC关于x轴对称的图形；△A2B2C2为△ABC关于y轴对称的图形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
等腰三角形(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.
(二)过程与方法：结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想.
(三)情感态度与价值观：引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心.
二、教学重点、难点
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
三、教学过程
轴对称图形
三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
探究
把一张长方形的纸片沿虚线对折，并剪下红色部分，再把它展开，得到一个什么图形？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC. 像这样有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕(AD所在的直线)对折，找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
性质证明
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
证明：作底边BC的中线AD.
在△BAD与△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD (SSS)
∴ ∠B=∠C
由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了性质2.
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解：∵ AB=AC，BD=BC=AD
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角)
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得 x=36°
所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
练习
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
解：(1)∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
又∵ ∠A=36°
∴ ∠B=∠C==72°
解：(2)∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
又∵ ∠A=120°
∴ ∠B=∠C==30°
2.如图，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高. 标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.
解：AB=AC，BD=CD=AD
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数