江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

南昌一中朝阳校区 2023-2024 学年第二学期高二年级期末考试
数 学 试 卷
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合 A {x∣2x 3 1},B x∣x 1 0 ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 1,1 C． 2, D． 1,
2．已知 a，b R，则“ a b ”是“ a a b 0 ”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．已知函数 f x 的定义域为 2 2 f x 1 , ，则函数 F x 的定义域为（ ）
x
A． 1,3 B． 3,1 C． 1,0) (0,3 D． 3,0) (0,1
4 2．已知命题“ x 1,3 , x mx 1 0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． , 0 , 8 B． C． 0,
8
D．
3
,
3
5．设 a 0.42，b log 3， c 40.30.4 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A．a b c B．b a c
C． c b a D．c a b
6．若函数 f x ax 2 x 1的值域为 0, ，则实数 a的取值范围为（ ）
A 0,
1 1
．
4
B． 0 , 4
0, 1 1 , C． D． 4 4
1 1
7 2．已知函数 f x 满足： f x x ，则 f x 的解析式为（ ）
x x 2
A． f x x2 2 B 2． f x x
C f x x2． 2 x 0 D 2． f x x 2 x 0
高二期末考试数学试卷 第 1 页 共 4 页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
8．已知函数 f x 的定义域为R，函数 F x f 1 x 1 x 为偶函数，函数G x f 2 3x 1
为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 f x 的一个对称中心为 2,1 B． f 0 1
C．函数 f x 为周期函数，且一个周期为 4 D． f 1 f 2 f 3 f 4 6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分.
9．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有 19行 19列，361
个格点，每个格点上可能出现黑子 白子 空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面
对于数字3361的判断正确的是（ ）
（参考数据： lg3 0.4771）
A．3361的个位数是 3 B．3361的个位数是 1
C．3361是 173位数 D．3361是 172位数
10．已知 a 2b ab（ a 0,b 0），则下列结论正确的是（ ）
A．ab的最小值为 2 B．a b的最小值为3 2 2
1 1 4 1
C 1 D 1． 的最大值为 ． 的最小值为
a b a2 b2 2
11．下列定义在 (0, )上的函数 f (x)中，满足 x (0, ), f (x) f
1
2 f (1) 的有（ ）
x
x
A． f (x) x B． f (x)
1 x2
C． f (x) cos πx D． f (x) ex
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．已知1 a b 4， 1 a b 2，则 4a 2b的取值范围为 .
13．已知函数 f x a 1 x
2 ax ex e x 为偶函数，则实数 a的值为 ．
log1 (1 x), 1 x n
14．已知函数 f (x) 2 的值域是[ 1,1]，若 n [0,
1)，则 m的取值范围
2 x 1 2 3,n x m
2

是 ．
高二期末考试数学试卷 第 2 页 共 4 页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13分）
二次函数 f x 满足 f x 1 f x 2x 1，且 f 0 2 .
(1)求 f x 的解析式；
(2)若 x 1,2 时， y f x 的图象恒在 y x a图象的上方，试确定实数 a的取值范围.
16．（本小题满分 15分）
如图，在四棱锥P ABCD中， BC / /AD， AB BC 1， AD 3 ,点 E在 AD上，且 PE AD，
PE DE 2．
(1)若 F 为线段 PE中点，求证： BF //平面 PCD．
(2)若 AB 平面PAD，求平面 PAB与平面 PCD夹角的余弦值．
17．（本小题满分 15分）
甲、乙两个不透明的袋中各装有 6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有 3个红球、3个黄球，
乙袋中有 1个红球、5个黄球．
(1)若从两袋中各随机地取出 1个球，求这 2个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出 2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出 2个球，记从乙袋中取出
的红球个数为 X ，求 X 的分布列与期望．
高二期末考试数学试卷 第 3 页 共 4 页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
18．（本小题满分 17分）
2
已知函数 f x lnx ax 3 a R ．
1
(1)当 a 时，求函数 f x 的极值；
2
(2)求函数 f x 的单调区间；
(3)当 a 0时，若 xf x kx k 2在 x 1, 时恒成立，求整数 k的最大值．
19．（本小题满分 17分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，若存在常数 ( 0)，使得 an Sn 1对任意 n N*都成立，则称
数列 an 具有性质 P( )．
(1)若数列 an 为等差数列，且 S3 9,S5 25，求证：数列 an 具有性质 P(3)；
(2)设数列 an 的各项均为正数，且 an 具有性质 P( )．
①若数列 an 是公比为q的等比数列，且 4，求q的值；
②求 的最小值
高二期末考试数学试卷 第 4 页 共 4 页
{#{QQABBYGCEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
2023-2024 学年第二学期高二年级期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A D D A B C A C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分.
9 10 11
AC BD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 2,10 13．-1 14．[1, 2]
1．A【详解】因为 A {x∣2x 3 1} , 2 ,B x∣x 1 0 1, ，
所以 A B 1,2 .
故选：A.
2．D【详解】若 a，b R， a b，则 a 0,a b 0 ，则 a a b 0，
∴“ a b ”是“ a a b 0 ”的不充分条件；
若 a a b 0，∵ a 0，∴a b 0，即 a b，
∴“ a b ”是“ a a b 0 ”的必要条件；
综上，“ a b ”是“ a a b 0 ”的必要不充分条件．
故选：D．
2 x 1 2, 3 x 1,
3．D【详解】由题意可知，要使 F x 有意义，则 解得
x 0, x 0,
所以函数 F x 的定义域为 3,0） （0,1 ．
故选：D．
答案第 1页，共 9页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
4 2．A【详解】由命题“ x 1,3 , x mx 1 0成立”是假命题，
则命题“ x 1,3 ， x2 mx 1 0成立”是真命题，
即 x 1,3 ,m x 1 恒成立．
x
令 f x x 1 ， x 1,3 ，则m f x
x min
，
因为 f x 1 1
x2
0
所以函数 f x 在 1,3 上为增函数，当 x 1时， f x 0min ，所以m 0．
故选：A
5．B【详解】因为 y log0.4 x在定义域上单调递减，所以b log0.43 log0.41 0 ，
又 y 4x在定义域上单调递增，所以 c 40.3 40 1，
y 0.4x 在定义域上单调递减，所以0 a 0.42 0.40 1，
所以b a c .
故选：B
6．C【详解】① a 0时， f x x 1，值域为 0, ，满足题意；
②a 0时，若 f (x) ax 2 x 1 的值域为[0, )，
a 0 1
则 0 a
Δ 1
2 4a 0，解得 ， 4
1
综上，0 a .
4
故选：C.
7 A f x 1 x2 1
2

1
． 【详解】因为 x 2，∴ f x x
2 2，
x x2 x
故选：A.
8．C【详解】对于 A，因为G x f 2 3x 1为奇函数，
所以G( x) G(x)，即 f (2 3x) 1 [ f (2 3x) 1]，
所以 f (2 3x) f (2 3x) 2，所以 f (2 x) f (2 x) 2，
所以函数 f x 的图象关于点 (2,1)对称，所以 A正确，
答案第 2页，共 9页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
对于 B，在 f (2 x) f (2 x) 2中，令 x 0，得 2 f (2) 2，得 f (2) 1，
因为函数 F x f 1 x 1 x 为偶函数，所以 F( x) F(x)，
所以 f 1 x 1 x f 1 x 1 x ，
所以 f (1 x) f (1 x) 2x ，
令 x 1，则 f (2) f (0) 2，所以1 f (0) 2，得 f (0) 1，所以 B正确，
对于 C，因为函数 f x 的图象关于点 (2,1)对称， f (0) 1，
所以 f (4) 3，所以 f (0) f (4)，
所以 4不是 f x 的周期，所以 C错误，
对于 D，在 f (2 x) f (2 x) 2中令 x 1，则 f (1) f (3) 2，
令 x 2，则 f (0) f (4) 2，因为 f (0) 1，所以 f (4) 3，
因为 f (2) 1，所以 f 1 f 2 f 3 f 4 6，所以 D正确，
故选：C
9．AC【详解】对于 AB,由31 3,32 9,33 27,34 81,35 243, ，
个位数分别为3,9,7,1,3,9,7， 以 4为周期循环往复，
因为361 4的余数为 1，
故3361的个位数与 31的个位数相同，
即3361的个位数为 3，故 A正确，B错误；
对于 CD，因为 lg3361 361lg3 361 0.4771 172.2331，
所以3361 10172.2331 100.2331 10172，
因为100.2331 1,2 ，
所以3361为 173位数，故 C正确，D错误.
故选：AC.
10．BD【详解】对于 A，a 2b ab 2 2ab，即 ab 2 2，ab 8，当且仅当 a = 2b = 4
时，等号成立，所以ab的最小值为 8，故 A错误；
2 1 2 1 2b a
对于 B，由 a 2b ab得 1， a b a b 3 3 2 2 ，a b a b a b
2b a
当 时，结合 a 2b ab，即 a 2 2,b 1 2 时等号成立，故 B正确；
a b
答案第 3页，共 9页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
2 1
对于 C，由 1
1 1 1
，得 1 ，
a b a b a
a a
1 1 1 1
由 2b ab b 0，且 a 0，得 a 2，所以 1 ,1 ，故 C错误；
a 2 a b a 2
2 1 4 1 4 4 1 4
对于 D，由 1，两边平方后得 2 2 1，即 2 2 1 ，由 A知 ab 8，a b a b ab a b ab
1 4 1 4 1 1所以 ,1ab 2
，所以
a2 b2
的最小值为 2 ，故 D正确.
故选：BD
11．ACD【详解】对 A： f (x) x，则 f (x) f
1 1
x 2 2 f (1)，
x x
当且仅当 x 1时，等号成立，故 A正确；
1
x f (x) f 1 x x 2x 2对 B： f (x) 2 ，则 1 x

x 1 x 2 1 1
1 2 f (1) ，
1 x
2
2 x
1

x x
当且仅当 x 1时，等号成立，不满足条件，故 B错误；
对 C： f (x) cos πx , f (x )min 1 f (1), f (x ) f
1 2 f (1) ，故 C正确；
x
对 D： f (x) e x, x (0, ), x
1 2, 1 2 x ，
x x
f (x) f 1
1
x x 2 x
e e x e e 2e 2 f (1)，
x
当且仅当 x 1时，等号成立，故 D正确．
故选：ACD．
12． 2,10 【详解】解：设 4a 2b x a b y a b x y a x y b，
x y 4 x 1
所以 x y 2，解得 ， y 3
因为1 a b 4， 1 a b 2，
则 3 3 a b 6，
因此， 2 4a 2b 10 .
故答案为： 2,10 .
13．-1【详解】因为函数 f x 定义域为R，
h x ex e x x x令 ，则 h x e e ，
答案第 4页，共 9页
{#{QQABBYGCEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
故 h x h x ，知 h x 为奇函数，
由于 f x 为偶函数，
则函数 y a 1 x2 ax为奇函数，
即 a 1 x2 ax [(a 1)( x)2 ax]，
解得 a 1．
故答案为： 1．
14．[1, 2]【详解】当 x 1时， x 1 0，此时 y 22 |x 1| 3 22 x 1 3 23 x 3单调递减，
当 1 x 1时， x 1 0，此时 y 22 |x 1| 3 22 x 1 3 21 x 3单调递增，
所以 y 22 |x 1| 3在 ( 1,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
所以当 x 1时， y 22 |x 1| 3取得最大值，为 22 3 1，
作出 y log 1 (1 x)与 y 22 |x 1| 3在 [ 1, )上的图象如图所示：
2
1
当 n [0, )， x [ 1,n]时，1 x [1 n, 2]，此时 f (x) log 1 (1 x) [ 1, log 1 (1 n)]2 ，2 2
此时 1 f (x) log 1(1 n) 1，
2
因为 f (x)的值域为[ 1,1]，则 x (n,m]时， f (x) 1必有解，即22 |x 1| 3 1，解得 x 1，由
图知m [1, 2] ,
故答案为：[1, 2]
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 2．（1）由题意设 f x ax bx c(a 0)，
由 f 0 2得 c 2；..............................................................2分
答案第 5页，共 9页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
由 f x 1 f x 2x 1得 a(x 1)2 b(x 1) c ax2 bx c 2x 1，.............4分
2a 2 a 1
即2ax a b 2x 1恒成立，故 ，则 ，
a b 1 b 2
2
故 f x x 2x 2；...............................................6分
（2）因为当 x 1,2 时， y f x 的图象恒在 y x a图象的上方，
所以当 x 1,2 时， x2 2x 2 x a恒成立，.................................8分
即当 x 1,2 时， a x2 x 2恒成立，
2
令 g x x2 x 1 1 2，x 1,2 1 7 ，则 g x x 在 1, 上单调递减，在 , 2 上单
2 4 2

2
调递增，.................................11分
1 7
所以 g x g min ，........................................12分 2 4
7 7
所以 a ，即实数 a的取值范围为 , ..............................................13分4 4
16．（1）取 PD的中点为S，接 SF ,SC，则 SF //ED,SF
1
ED 1，
2
而ED//BC,ED 2BC，故 SF //BC,SF BC，故四边形 SFBC为平行四边形，..........4分
故BF //SC，而 BF 平面 PCD， SC 平面 PCD，
所以 BF //平面 PCD ............................................6分
（2）
因为 ED 2，故 AE 1，故 AE //BC, AE=BC，
故四边形 AECB为平行四边形，故CE//AB，所以CE 平面 PAD，
而PE,ED 平面 PAD，故CE PE,CE ED，而 PE ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
答案第 6页，共 9页
{#{QQABBYGCEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
则 A 0, 1,0 ,B 1, 1,0 ,C 1,0,0 ,D 0,2,0 ,P 0,0,2 ，................8分

则PA 0, 1, 2 , PB 1, 1, 2 , PC 1,0, 2 , PD 0,2, 2 ,

设平面PAB的法向量为m x, y, z ，

m PA 0 y 2z 0
则由 可得 m

0, 2,1
m PB 0 x y 2z 0
，取 ，.........................10分


设平面PCD的法向量为 n a,b,c ，
n

PC 0 a 2b 0
则由 可得 ，取 n 2,1,1 2b 2c 0 ，.......................12分 n PD 0
故cos m
,n 1 30 ，....................................14分
5 6 30
PAB PCD 30故平面 与平面 夹角的余弦值为 .............................15分
30
17．（1）记这 2个球颜色相同为事件A，
P A 3 1 3 5 1则 ；...............................................6分
6 6 6 6 2
（2）依题意 X 的可能取值为 0、1、 2，
C2 2 2 2 1 1 2
则P X 0 3 C5 C3 C7 C3C3 C6 19 ，........................8分
C2 C26 8 C
2 2 2 2
6 C8 C6 C8 35
2 1 1 2 1 1 1 1 1
P X 1 C3 C 5C3 C3 C 7 C3C3 C6C2 292 2 2 2 2 2 ，...........................10分C6 C8 C6 C8 C6 C8 70
2 2 1 1 2
P X 2 C3 C3 C3C 3 C2 3
C2 C2
，.................................12分
6 8 C
2 C26 8 70
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
19 29 3
P
35 70 70
E X 0 19所以 1 29 3 1 2 ..................................15分
35 70 70 2
18．（1）当 a
1 1
2时， f x lnx x 3, x (0, )，
2 2
答案第 7页，共 9页
{#{QQABBYGCEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
1 1 x2
所以 f x x ，.............................2分
x x
当0 x 1时， f (x) > 0， f x 单调递增，
当 x 1时， f x 0， f x 单调递减，......................................4分
所以 f x 在 x 1处取得极大值 f 1 5 ，无极小值..................5分
2
2
（2） f x 1 2ax 1 2ax , x (0, )，
x x
当a 0时， f x 0恒成立，所以 f x 在 (0, )上单调递增，.....................7分
当a 0时，当 x (0, 2a )时， f (x) > 0 2a，所以 f x 在 (0, ) 上单调递增，
2a 2a
x ( 2a当 , )时， f x 0 f x ( 2a，所以 在 , )上单调递减，...........9分
2a 2a
综上所述：当 a 0时， f x 在 (0, )上单调递增，
当a 0时， f x 在 (0, 2a ) 2a 上单调递增， ( , )上单调递减..................10分
2a 2a
（3） xf x kx k 2在 x 1, x ln x 3x 2时恒成立，即 k 恒成立，......11分
x 1
F(x) x ln x 3x 2 F (x)
x ln x 2
令 ，则 (x 1)2 ，....................................12分x 1
令m(x) x ln x 2 m (x) 1
1 x 1
，则 0 在 x 1上恒成立，
x x
所以m(x)在 1, 上单调递增，且m(3) 3 ln3 2 1 ln3 0
m(4) 2 ln 4 0，所以m(x)在 1, 存在唯一实数b (3,4)，
使得m(b) 0，即m(b) b ln b 2 0，所以 lnb b 2
当 x 1,b 时，m(x) 0，即 F (x) 0，
当 x b, 时，m(x) 0，即 F (x) 0，
所以 F (x)在 1,b 上单调递减， b, 上单调递增，..................15分
F(x) b lnb 3b 2 b(b 2) 3b 2所以 min b 2 (5,6)，............16分b 1 b 1
故 k b 2，又 k Z，整数 k的最大值为 5．.............................17分
19．（1）设等差数列 an 的公差为d ，由 S3 9,S5 25，得3a1 3d 9,5a1 10d 25，
( 1 2n 1)n 2
解得 a1 1,d 2，则 an 1 (n 1)( 2) 2n 1,Sn n ，2
答案第 8页，共 9页
{#{QQABBYCGEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}
于是3an Sn 1 3( 2n 1) (n 1)
2 (n 2)2 0，即3an Sn 1，
所以数列 an 具有性质 P(3)．......................................4分
（2）①由数列 an 具有性质 P(4)，得 4an Sn 1，又等比数列 an 的公比为q，
若 q 1，则 4a1 (n 1)a1，解得 n 3，与 n为任意正整数相矛盾；...................5分
1 qn 1 n 1q 1 4a n 1 n 1 1 q当 时， 1q a1 ，而 an 0，整理得 4q ，................6分1 q 1 q
1 1
若0 q 1 n 1，则 q n 1 log n(q 2)2 ，解得 q (q 2)2 ，与 为任意正整数相矛盾；
若 q 1，则 qn 1(q 2)2 1，当 q= 2时， qn 1(q 2)2 1恒成立，满足题意；
1 1
当 q 1且 q 2 n 1时， q n 1 log n(q 2)2 ，解得 q (q 2)2 ，与 为任意正整数相矛盾；
所以 q= 2 .......................10分
②由 an Sn 1，得 an 1 Sn 2，即 S n 1 S n S n 2 ，
S S
S n 2 n 1因此 n 1 Sn Sn 2 2 SnSn 2 ，即 S 4 S ，..................12分n 1 n
Sn 1 Sn ( )2 S S则有 n 1 ( ) n 1 2S 4 S 4 S 4 S ，..........................14分n n 1 n 2 1
1 ( )n 1 S2 ( a S S )n 1 S1由数列 n 各项均为正数，得 n n 1，从而 4 S ，即 1 4 S
，
2
若0 4，则 n 1 log
s1
s ，与
n为任意正整数相矛盾，...................15分
4 2
s
因此当 4时， ( )n 1 1n 1 14 s 恒成立，符合题意，2
所以 的最小值为 4．.........................17分
答案第 9页，共 9页
{#{QQABBYGCEswggwiqgQAJkIJAYAAAChAC4Q7Q0Uo1CICkE0gQQkkAIECAQAJQYguOBhVFCAJAusAYIAiQAYANABAA=}#}