宣城市２０２３—２０２４学年度第二学期期末调研测试
高二数学参考答案
一、单项选择题（本题共８小题，每小题５分，共４０分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的?）
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
选 项 Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ
二、多项选择题（本题共３小题，每小题６分，共１８分?在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求?全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分?）
题 号 ９ １０ １１
选 项 ＡＢＤ ＡＢＤ ＡＣＤ
三、填空题（本题共３小题，每小题５分，共１５分）
１２?１ １３?７２ １４?［５，＋∞）
四、解答题（本题共５小题，共７７分?解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤?）
１５?解：（１）设数列｛ａｎ｝公差为ｄ，则：
{ａ３＝ａ１＋２ｄ＝８ ……………………………………………………………… ２分Ｓ４＝４ａ１＋６ｄ＝２６
解得：ａ１＝２，ｄ＝３?……………………………………………………………… ４分
所以，ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝３ｎ－１………………………………………………… ５分
（２） ｎ由 （１）知ｃｎ＝（３ｎ－１）·２，…………………………………………………… ６分
Ｒｎ＝２×２
１＋５×２２＋８×２３＋…＋（３ｎ－１）·２ｎ①……………………………… ７分
２Ｒ ２ ３ｎ＝２×２＋５×２＋…＋（３ｎ－４）·２
ｎ＋（３ｎ－１）·２ｎ＋１② ………………… ８分
①－②：－Ｒ＝２×２１＋３×（２２＋２３＋…＋２ｎ）－（３ｎ－１）·２ｎ＋１ｎ …………… ９分
＝４＋３×４（１－２
ｎ－１）
１－２ －（３ｎ－１）·２
ｎ＋１
………………………… １１分
＝４＋６·２ｎ－１２－（６ｎ－２）·２ｎ＝（８－６ｎ）·２ｎ－８…………… １２分
∴Ｒｎ＝（３ｎ－４）·２
ｎ＋１＋８ …………………………………………………… １３分
１６?（１）证明：∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＤ?平面ＡＢＣＤ?∴ＰＡ⊥ＡＤ，
又ＡＤ⊥ＡＢ，ＡＢ∩ＰＡ＝Ａ，∴ＡＤ⊥平面ＰＡＢ，∴ＡＤ⊥ＰＢ，
………………………………………………… ３分
∵ＡＰ＝ＡＢ，且Ｎ为ＰＢ的中点，∴ＰＢ⊥ＡＮ，……… ４分
∵ＡＮ∩ＡＤ＝Ａ，ＡＮ，ＡＤ?平面ＡＤＭＮ，∴ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ
又 ＰＢ?平面ＰＢＣ，∴平面ＰＢＣ⊥平面ＡＤＭＮ…… ７分
（另解：也可先证ＡＮ⊥平面 ＰＢＣ，进而证明平面 ＰＢＣ⊥
平面ＡＤＭＮ）
宣城市高二数学参考答案第１页（共４页）
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（２）解法一：如图，连结ＤＮ，由（１）知ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ，
所以，ＤＮ为直线ＢＤ在平面ＡＤＭＮ内的射影，且ＤＮ⊥ＢＮ，
所以，∠ＢＤＮ即为直线ＢＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角? …………………………… ９分
在直角梯形ＡＢＣＤ内，过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＤ于Ｈ，则四边形ＡＢＣＨ为矩形，
ＣＨ＝ＡＢ＝槡３，ＡＨ＝ＢＣ＝１
ＣＨ ３
，在ＲＴ△ＣＤＨ中，ＤＨ＝ｔａｎ ＡＤＣ＝
槡 ＝１，
∠ 槡３
所以，ＡＤ＝ＡＨ＋ＤＨ＝２，ＢＤ＝ ＡＤ２＋ＡＢ２槡 ＝槡７，………………………………… １１分
在ＲＴ△ＢＤＮ中，∠ＢＮＤ＝９０°，ＢＮ＝１ 槡６２ＰＢ＝２，ＢＤ＝槡７，
ＢＮ ６ ４２
所以ｓｉｎ∠ＢＤＮ＝ 槡 槡ＢＤ＝ ＝１４， ……………………………………………… １４分２槡７
４２
综上，直线 ＢＤ与平面ＡＤＭＮ所成角的正弦值为槡１４? ………………………… １５分
解法二：在直角梯形ＡＢＣＤ内，过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＤ于Ｈ，则四边形ＡＢＣＨ为矩形，
ＣＨ＝ＡＢ＝槡３，ＡＨ＝ＢＣ＝１
ＣＨ ３
，在ＲＴ△ＣＤＨ中，ＤＨ＝ 槡ｔａｎ ＡＤＣ＝ ＝１，∠ 槡３
所以，ＡＤ＝ＡＨ＋ＤＨ＝２，……………………………………………………………… ９分
以Ａ点为原点，ＡＢ、ＡＤ、ＡＰ分别为ｘ、ｙ、ｚ轴，建系如图
３
则Ａ（０，０，０），Ｄ（０，２，０），Ｎ（槡２，０
槡３，２），Ｂ（槡３，０，０），Ｐ
（０，０，槡３）? ……………………………………… １１分
由 （１）知，ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ，平面ＡＤＭＮ法向量可取
Ｐ→Ｂ＝（槡３，０，－槡３），Ｂ
→Ｄ＝（－槡３，２，０），………… １２分
设直线ＢＤ与平面ＡＤＭＮ所成角为θ，
→ →
则ｓｉｎθ＝ ＰＢ·ＢＤ ＝ 槡３×（－槡３）＋０×２＋（－槡３）×０ ＝槡４２１４，…………… １４分
Ｐ→Ｂ Ｂ→Ｄ 槡３＋０＋３槡３＋４＋０
４２
综上，直线ＢＤ与平面ＡＤＭＮ所成角的正弦值为槡１４? ………………………… １５分
１７?解：（１）由１０×（０?００２＋２×０?００４＋ｍ＋０?０２０＋０?０２８＋０?０３０）＝１?ｍ＝０?０１２? … ２分
又∵０?０２＋０?０４＋０?２＝０?２６＜０?５，０?０２＋０?０４＋０?２＋０?３＝０?５６＞０?５?
所以，估计这５０份样本成绩的中位数为：６０＋１０×(０?５－０?２６０?３ ) ＝６８?……… ６分
（２）因为［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］三组的频率之比为０?２８∶０?１２∶０?０４＝７∶３∶１，
所以从［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］三组中抽取的份数分别为７，３，１? …… ８分
由题意ξ可取 ０，１，２，３，………………………………………………………… ９分
Ｃ３ Ｃ２Ｃ１ Ｃ１Ｃ２
且Ｐ（ξ＝０）＝ ８＝５６３ １６５，Ｐξ＝１ ＝
８ ３＝２８ ８ ３ ８（ ） ３ ５５，Ｐ（ξ＝２）＝ ３ ＝５５，Ｃ１１ Ｃ１１ Ｃ１１
宣城市高二数学参考答案第２页（共４页）
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Ｃ３
Ｐ（ξ＝３ ３ １）＝ ３ ＝１６５，…………………………………………………………… １３分Ｃ１１
所以ξ的分布列为：
ξ ０ １ ２ ３
Ｐ ５６ ２８ ８ １１６５ ５５ ５５ １６５
…………………………………………………………………………………… １４分
５６ ２８ ８ １ ９
所以Ｅξ＝０×１６５＋１×５５＋２×５５＋３×１６５＝１１?…………………………… １５分
ｅ＝ｃ＝１
ａ ２ ａ＝２
３ ２ ２
１８? １ ２ ｘ ｙ解：（）依题可得 １２ （２） ，解得{ｂ＝槡３，则椭圆方程为４＋３＝１? ………… ５分 ２＋ ２ ＝１
ａ ｂ ｃ＝１
ａ２＝ｂ２＋ｃ２
（２）当直线ＡＢ垂直于ｘ轴时，Ａ，Ｂ，Ｏ三点共线，不能构成三角形，……………… ６分
故直线 ＡＢ的斜率存在，则设直线ＡＢ为：ｙ＝ｋｘ＋２，
３ｘ２＋４ｙ２－１２＝０
设Ａ（ｘ ２ ２１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立{ ，得（３＋４ｋ）ｘ＋１６ｋｘ＋４＝０， …ｙ＝ｋｘ＋２
………………………………………………………………………………… ７分
２
则△＝（１６ｋ）－１６（３＋４ｋ２）＝４（１２ｋ２－３）＞０，即ｋ＞１２或ｋ＜－
１
２，……… ８分
ｘ＋ｘ＝－１６ｋ{ １ ２ ３＋４ｋ２，………………………………………………………………… ９分ｘ ｘ＝ ４１· ２ ３＋４ｋ２
｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ２则 槡 槡（ｘ１＋ｘ）
２
２ －４ｘ１·ｘ２＝槡１＋ｋ
２ －１６ｋ １６（ ）２－ ，………
槡３＋４ｋ２ ３＋４ｋ２
……………………………………………………………………………… １１分
｜２｜
点Ｏ到直线 ＡＢ的距离为ｄ＝ ，……………………………………… １２分
槡１＋ｋ
２
Ｓ １ －１６ｋ １６ １２ｋ
２－３ ４ １２ｋ２－３
则 △ＡＯＢ＝２·｜ＡＢ｜·ｄ＝ （ ）
２－ ＝４· ＝ 槡 ，
槡３＋４ｋ２ ３＋４ｋ２ 槡（３＋４ｋ２）２ ３＋４ｋ２
……………………………………………………………………………… １４分
２
１２ｋ２令槡 －３＝ｔ
ｔ＋３
，ｔ＞０， ２则ｋ＝１２，则Ｓ△ＡＯＢ＝１２
ｔ
· ２ ＝１２
１ １
·
ｔ＋１２ ｔ＋１２
≤１２·
１２
ｔ ２ ｔ·槡 ｔ
＝槡３……………………………………………………………………………… １６分
ｔ＝１２当且仅当 ｔ，即ｔ＝２槡３，即ｋ＝±
槡５
２时等号成立，故△ＡＯＢ面积的最大值为槡３?
……………………………………………………………………………… １７分
宣城市高二数学参考答案第３页（共４页）
{#{QQABJYiAggigAoAAAAgCQQFICEGQkAAACYgOQFAIsAAAwQFABAA=}#}
１９?解：（１）Ｏ，Ａ，Ｂ分别是函数ｙ＝ｌｎｘ的１度点，２度点，０度点?………………………… ３分
（２）∵ｙ＝ｓｉｎｘ，∴ｙ′＝ｃｏｓｘ，则曲线ｙ＝ｓｉｎｘ在点（ｔ，ｓｉｎｔ）处的切线方程为
ｙ－ｓｉｎｔ＝ｃｏｓｔ（ｘ－ｔ）?…………………………………………………………… ４分
要证点Ｍ（０，π）是ｙ＝ｓｉｎｘ（０＜ｘ＜π）的“０度点”，即证过Ｍ（０，π）恰能作ｙ＝ｓｉｎｘ
（０＜ｘ＜π）的０条切线，即证关于ｔ的方程π－ｓｉｎｔ＝－ｔｃｏｓｔ在（０，π）无解?
…………………………………………………………………………………… ５分
设Ｇ（ｔ）＝ｓｉｎｔ－ｔｃｏｓｔ－π，则当０＜ｔ＜π时，Ｇ′（ｔ）＝ｔｓｉｎｔ＞０，∴ｙ＝Ｇ（ｔ）在区间
（０，π）上单调递增?
∴当０＜ｔ＜π时，Ｇ（ｔ）＜Ｇ（π）＝０，∴关于ｔ的方程π－ｓｉｎｔ＝－ｔｃｏｓｔ在（０，π）无
解，即点Ｍ（０，π）是函数ｙ＝ｓｉｎｘ的一个０度点 ……………………………… ８分
（３）∵ｙ＝ｘ３－ｘ，∴ｙ′＝３ｘ２－１，……………………………………………………… ９分
３ ３ ３
对任意ｔ∈Ｒ，曲线ｙ＝ｘ－ｘ在点（ｔ，ｔ－ｔ）处的切线方程为ｙ－（ｔ－ｔ）＝（３ｔ２－１）（ｘ－ｔ）
………………………………………………………………………………… １０分
∴点Ｐ（ａ，ｂ）为函数ｙ＝ｘ３－ｘ的一个３度点当且仅当关于ｔ的方程
ｂ－（ｔ３－ｔ）＝（３ｔ２－１）（ａ－ｔ） ３ ２恰有三个不同的实数解，即２ｔ－３ａｔ＋（ａ＋ｂ）＝０恰
有三个不同的实数解 …………………………………………………………… １１分
设ｈ（ｔ）＝２ｔ３－３ａｔ２＋（ａ＋ｂ），则点Ｐ（ａ，ｂ） ３为函数 ｙ＝ｘ－ｘ的一个３度点当且仅
当ｙ＝ｈ（ｔ）恰有三个不同的零点?
①当ａ＝０ ，ｈ（ｔ）＝２ｔ３时 ＋ｂ在Ｒ上单调递增，只有一个零点，不合要求； … １２分
②当ａ＞０ ，ｈ′（ｔ）＝６ｔ２时 －６ａｔ＝６ｔ（ｔ－ａ），
令ｈ′（ｔ）＞０得ｔ＜０或ｔ＞ａ，令ｈ′（ｔ）＜０得０＜ｔ＜ａ，∴ｙ＝ｈ（ｔ）在（－∞，０）和（ａ，
＋∞）单调递增，（０，ａ）单调递减?∴ｙ＝ｈ（ｔ）在 ｔ＝０时取得极大值 ｈ（０）＝ａ＋ｂ，
在ｔ＝ａ ３时取得极小值 ｈ（ａ）＝－ａ＋ａ＋ｂ，由函数图像可知，要使 ｙ＝ｈ（ｔ）有三个
不同零点，则
{ｈ（０）＞０ ａ＋ｂ＞０，即{ ，∴－ａ＜ｂ＜ａ３－ａ；…………………………… １４分ｈ（ａ）＜０ －ａ３＋ａ＋ｂ＜０
③当ａ＜０时，同理可得ｙ＝ｈ（ｔ）在（－∞，ａ）和（０，＋∞）单调递增，在（ａ，０）单调
递减?∴ｙ＝ｈ（ｔ）在ｔ＝ａ ３时取得极大值ｈ（ａ）＝－ａ＋ａ＋ｂ，在ｔ＝０时取得极小值
ｈ（０）＝ａ＋ｂ?由函数图像可知，要使ｈ（ｔ）有三个不同零点，则
{ｈ（ａ）＞０ { －ａ
３＋ａ＋ｂ＞０
， ３即 ，∴ａ－ａ＜ｂ＜－ａ? ………………………… １６分
ｈ（０）＜０ ａ＋ｂ＜０
{ａ＞０ ａ＜０综上，实数 ａ，ｂ满足 ３ 或 时，点 Ｐ（ａ，ｂ）是函数－ａ＜ｂ＜ａ－ａ {ａ３－ａ＜ｂ＜－ａ
ｙ＝ｘ３－ｘ的３度点? …………………………………………………………… １７分
宣城市高二数学参考答案第４页（共４页）
{#{QQABJYiAggigAoAAAAgCQQFICEGQkAAACYgOQFAIsAAAwQFABAA=}#}7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为S,且a=1,
宣城市2023一2024学年度第二学期期末调研测试
4S=2+c2-1,则△ABC外接圆的面积为
高二数学试题
A受
B.
C.2a
D.3m
注意事项：
8已知a,6均为正实数，若直线y=-a与通线y=h(x+26)相切，则2+品+鸣龄最小值是
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
A.8
B.9
C.10
D.11
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答策标号涂黑。如需改动，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
用橡皮擦干净后，再选涂其他答策标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上·写在本
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
试卷上无效.
9.下列叙述错误的是
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
A,命题“HxeR,x2<2”的否定是“3x∈R,x2>2
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
B.在空间中，已知直线a,b,c,满足a⊥b,aLc,则b∥c
合题目要求的·
C.直线1：x+y-1=0与圆C:x2+y2-2x+2y=0相交
1.若集合A={xlx2-2x-3<0},B={0,1,2,3},则AnB=
D.抛物线x=4y的焦点坐标为(1,0)
A.{0】
B.{0,1}
C.1,2}
.D.{0,1,2}
10.△ABC中，下列说法正确的是
2.已知复数z=
-,则z…五=
A若A店·C>0,则△BC为钝角三角形
1+i
A.0
B.1
C.2
D.3
R若G为△BC重心，则花=子（应+AG)
3.设meR,向量a=(m,1),b=(4,m),c=(1,2),则a∥b是aLc的
A,充分不必要条件
C.若点0满足10A1=|01=1o心，|店=3,1A心=5，则A市.B式=-8
B.必要不充分条件
C,充要条件
D.既不充分也必要条件
,「眩+花
4.已知心角的绕边过点2(1，-2》，则号中82
D.若市=
在入e0,+),测点P的镜迹-定短小Bc的内心
A-1
B-4
c是
D.1
山.已知蓝数=25若a=2)d=8)6=2),测
Af代x)在(2，+)上单调递减
B.f八x)在(1,2)上单调递增
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接
C.a,b,c中最大的是c
D.a,b,c中最小的是b
雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
寸，则平地降雨量是(
）(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等
于十寸)
12若二项式2x+)的展开式的常数项为160，则实数a=
A.2寸
B.3寸
C.4寸
D.6寸
13。如图，方形花坛分成A、B、C、D、E五个区域，现有4种不同颜色的花供选
6已知双曲线C:三点=1(0>0，b>0)的左右焦点分别为F1,R,曲线C上存在一点P,使
种.要求每一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域种不同颜色
的花，则不同的种法总数是
得△PF1F2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是
第13题图
43+1
14.已知祸函数(x)满足f代x+1)=代x-1),当xe[-1,0]时，f(x)=x,若在区间[-1,3]
B.吃
C,2+1
D.5+1
2
2
内，函数g(x)=(x)-og。(x+2)有四个空点，则实数a的取值范围是
宣城市高二数学试卷第1页（共4页）
宣城市高二数学试卷第2页（共4页）
