三角形中的数列
图片预览
文档简介
三角形中的数列问题（研究性学习）
一、范例研究：
设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
范例1：已知a，b，c成等差数列
（1）证明： ； （2）证明： ； （3）求角B的范围.
范例2：已知a，b，c成等比数列
（1）证明：cos（A－C）＋cosB＋cos2B＝1；（2）证明： ； （3）求角B的范围.
1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.
（1）第一次探索
a，b，c成等差数列
①
② ③
注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考
（2）第二次探索
a，b，c成等比数列 (第一阶段的转化与延伸)
（第二阶段转化与延伸的开始）
（第二阶段的转化与延伸）
∴
注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习
2、小结
小结1：在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有
（1）2b＝a＋c； （2） ； （3） .
小结2：在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则有
（1） ；（2） ； （3） .
二、联想
联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？
循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？
注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.
三、再探索
立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.
1、第三次探索：解决联想1提出的问题 在△ABC中，若a，b，c成等比数列
得：
： 由第一次探索过程改造而成
： 由第二次探索过程改造而成
2、第四次探索：解决联想2提出的问题
在△ABC中，若a，b，c成等差数列 2b＝a＋c
（1）2b＝a＋c 即
（2） ： 由第二次探索过程改造而成
（3） 可由命题1的证明改造而成
四、再认知
有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.
1、比较、品悟
在△ABC中，若a，b，c成 在△ABC中，若a，b，c成
等差数列，则有 等比数列，则有
（1）2b＝a＋c a+c
（2）
2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.
五、总结与自我训练
1、总结
（1）联想： 亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方； 对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.
（2）收获（思维、经验、认知等）
2、练习：
设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
1、若a，b，c依次成等比数列
试求：（1）角B的取值范围；
（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围； （3）设 ，求y的取值范围.
2、若a,b,c成等比数列，且
3、若A,B,C成等差数列
（1） 的取值范围； （2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.
参考答案：
1、解：由题意得 ① （1）由余弦定理得②
∴由①②得③ 又 ④ ∴由③④得 ∴
注意到 ， 即所求B的取值范围为 .
（2） ∵ ，∴ ∴
∴ 即所求t的取值范围为 .
（3）设t＝sinB＋cosB，则 且
∴ （ ） （ ） ∵ ∴
∴ 即 即所求y的取值范围为 .
点评：在已知条件下求出角B的取值范围，由此为求t及y的取值范围奠定了必要基础.
2、解： （1）由a,b,c成等比数列得 又 ∴
在△ABC中由余弦定理得 ∴
（2） 解法一（运用正弦定理）在△ABC中由正弦定理得 ①
∵ ， ② ∴由①②得
解法二（运用三角形面积公式）：在△ABC中由三角面积公式得
③ ∵ ，
∴由③得
点评：当已知式或目标式为三角形边角混合式时，通常首选正弦定理.但是，在条件适宜时利用三角形及其面积公式推理，也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.
3、解：由A,B,C成等差数列得2B=A+C 又 ∴
（1） ＝
＝ （运用和差化积公式）＝
＝① ∵ ∴
∴ ∴
∴由①得 即所求 的取值范围为
（2）不妨设A 则 ＝ ∵ 且A ∴cosC cosA即 cosA ∴ cosA ∴ ②
于是由正弦定理得：
＝ ＝ ＝ ③
∴由②得 ∴由③得 ∴m>1 ∴所求m的取值范围为（1，+∞）.
点评：已知A,B,C成等差数列，既要想到利用由此导出的等量关系： ；又要想到由此导出的不等关系 ，这里在A,B,C成等差数列的条件下，寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
PAGE
- 1 -
一、范例研究：
设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
范例1：已知a，b，c成等差数列
（1）证明： ； （2）证明： ； （3）求角B的范围.
范例2：已知a，b，c成等比数列
（1）证明：cos（A－C）＋cosB＋cos2B＝1；（2）证明： ； （3）求角B的范围.
1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.
（1）第一次探索
a，b，c成等差数列
①
② ③
注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考
（2）第二次探索
a，b，c成等比数列 (第一阶段的转化与延伸)
（第二阶段转化与延伸的开始）
（第二阶段的转化与延伸）
∴
注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习
2、小结
小结1：在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有
（1）2b＝a＋c； （2） ； （3） .
小结2：在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则有
（1） ；（2） ； （3） .
二、联想
联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？
循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？
注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.
三、再探索
立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.
1、第三次探索：解决联想1提出的问题 在△ABC中，若a，b，c成等比数列
得：
： 由第一次探索过程改造而成
： 由第二次探索过程改造而成
2、第四次探索：解决联想2提出的问题
在△ABC中，若a，b，c成等差数列 2b＝a＋c
（1）2b＝a＋c 即
（2） ： 由第二次探索过程改造而成
（3） 可由命题1的证明改造而成
四、再认知
有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.
1、比较、品悟
在△ABC中，若a，b，c成 在△ABC中，若a，b，c成
等差数列，则有 等比数列，则有
（1）2b＝a＋c a+c
（2）
2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.
五、总结与自我训练
1、总结
（1）联想： 亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方； 对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.
（2）收获（思维、经验、认知等）
2、练习：
设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
1、若a，b，c依次成等比数列
试求：（1）角B的取值范围；
（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围； （3）设 ，求y的取值范围.
2、若a,b,c成等比数列，且
3、若A,B,C成等差数列
（1） 的取值范围； （2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.
参考答案：
1、解：由题意得 ① （1）由余弦定理得②
∴由①②得③ 又 ④ ∴由③④得 ∴
注意到 ， 即所求B的取值范围为 .
（2） ∵ ，∴ ∴
∴ 即所求t的取值范围为 .
（3）设t＝sinB＋cosB，则 且
∴ （ ） （ ） ∵ ∴
∴ 即 即所求y的取值范围为 .
点评：在已知条件下求出角B的取值范围，由此为求t及y的取值范围奠定了必要基础.
2、解： （1）由a,b,c成等比数列得 又 ∴
在△ABC中由余弦定理得 ∴
（2） 解法一（运用正弦定理）在△ABC中由正弦定理得 ①
∵ ， ② ∴由①②得
解法二（运用三角形面积公式）：在△ABC中由三角面积公式得
③ ∵ ，
∴由③得
点评：当已知式或目标式为三角形边角混合式时，通常首选正弦定理.但是，在条件适宜时利用三角形及其面积公式推理，也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.
3、解：由A,B,C成等差数列得2B=A+C 又 ∴
（1） ＝
＝ （运用和差化积公式）＝
＝① ∵ ∴
∴ ∴
∴由①得 即所求 的取值范围为
（2）不妨设A
于是由正弦定理得：
＝ ＝ ＝ ③
∴由②得 ∴由③得 ∴m>1 ∴所求m的取值范围为（1，+∞）.
点评：已知A,B,C成等差数列，既要想到利用由此导出的等量关系： ；又要想到由此导出的不等关系 ，这里在A,B,C成等差数列的条件下，寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
PAGE
- 1 -