2024 年秋期高中教育阶段学业质量监测
高二数学参考答案及评分意见
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B D C C A B A C AD BC ACD BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 1
13． 14． 2 2 15．0.037 16． ( ，+ )
3 eln 2
四、解答题：本题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．解：（1）因为 an+1 = an + 3，即 an+1 an = 3． ··········································· 1 分
所以{an}是等差数列，且首项为 a1 = 3，公差为3． ········································ 2 分
于是， an = a1 + (n 1)d = 3+ (n 1) 3= 3n． ················································ 5 分
（2）因为bn = 3n + 3
n ． ············································································ 6 分
n(3+ 3n) 3(1 3n ) 3n2 + 3n + 3n+1 3
所以 Sn = b1 + b2 +…+ bn = + = ． ··················· 10 分
2 1 3 2
5 6 (6 +8) 8 6 (8+14)
18．解：（1）由题知，剔除数据后 x = = 4 ， y = = 6.5 ．4 分
4 4
4
（2） xi yi = 336 (6 8+ 8 14) =176． ····················································· 5 分
i=1
4
x 2 = 214 (62i + 8
2 ) =114． ···································································· 6 分
i=1
4
xi yi 4x y
i=1 176 4 4 6.5所以b = = =1.444 2 ． ············································ 8 分
2 2 114 4 4 xi 4x
i=1
a = y b x = 6.5 1.44 4 = 0.74． ································································ 10 分
所以 y = b x + a =1.44x + 0.74 ······································································ 11 分
当 x = 20时， y =1.44 20+ 0.74 = 29.54． ···················································· 12 分
19．解：（1）过点C 作CF ⊥ AD，所以CF = AF = 2
5
在△CFD中，因为 cos FDC = ，所以DF =1
5
高二数学参考答案 第 1 页 共 4 页
{#{QQABDYKAggioAJBAAAhCUQVaCkCQkAEAAagOwFAAoAAAAANABAA=}#}
于是， AD = 3，过点 E 作 EG AD交 PA于点G P
因为 PE = 2ED，所以 EG = 2，所以 EG BC且
EG = BC ，于是，四边形 BCGE 是平行四边形
所以CE GB，CE 平面 PAB ，GB 平面 EPAB ， G
所以CE 平面 PAB ································ 6 分 F
D
（2）法一：因为 PA ⊥平面 ABCD，所以 PA⊥ BC A
因为 BC ⊥ AB，所以 BC ⊥平面 PAB
所以平面 BCEG ⊥平面 PAB
B C
过点 P 作 PH ⊥ BG交 BG 于 H ，
所以 PH ⊥平面 BCEG ，过点H 作HK BC 交CE 于点K
连接 PK ，所以 PKH 为二面角P CE B的平面角 P
在 Rt△PHK 中， PH = 2，HK = 2， PK = 2 2 K
H
2
所以 cos PKH = ······································ 12 分 E
2 G
（2）法 2：如图建系 A xyz ， F
D
因为 A(0，0，0) ， B(2，0，0) ，C(2，2，0)， P(0，0，2 3)， A
2 3
D(0，3，0)， E(0，2， )．
3 B C
2 3 4 3
所以 BE = ( 2，2， )， BC = (0，2，0) ， PC = (2，2， 2 3)， PE = (0，2， )
3 3
2 3
设平面 BCE 的法向量 n1 = (x1，y1，z1)，所以 n1 BE = 2x1+2y1+ z1 = 0； n1 BC = 2y = 0 1
3
不妨设 x = 3 ，于是， y1 = 0， z1 = 3，所以 n 1 1 = ( 3，0，3)
4 3
设平面 PCE 的法向量 n2 = (x2，y2，z2 )，所以 n1 PE = 2y2 z2 = 0，
3
n1 PC = 2x + 2y 2 3z = 0，不妨设 y2 = 2 ，于是， z ， x =1 2 2 2 2 = 3 2
n1 n2 4 3 2
所以 n = (1，2， 3)，于是 cos n2 1，n2 = = = n1 n2 2 3 2 2 2
2
所以二面角 P CE B的余弦值为 ． ······················································ 12 分
2
20．解：（1）填表如下：
成绩
性别 合计
A 等 B 等
女生 7 3 10
男生 2 8 10
合计 9 11 20
高二数学参考答案 第 2 页 共 4 页
{#{QQABDYKAggioAJBAAAhCUQVaCkCQkAEAAagOwFAAoAAAAANABAA=}#}
假设 H0 ：体能测试成绩与性别无关． ··················································· 3 分
2 2
2
n(ad bc) 20(7 8 3 2)
= = 5.051 3.841． ················ 5 分
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d) 10 10 9 11
假设 H0 不成立，认为体能测试成绩与性别有关． ···································· 6 分
CkC3 k2 7
（2）由题知 X H(9，3，2)且 P(X = k) = (k = 0，1，2)．
C39
C0C3 35
P(X = 0) = 2 7 =
3 C9 84
C1C2 42
P(X =1) = 2 7 =
C39 84
C2C1 7
P(X = 2) =
2 7 =
3 ········································································ 10 分 C9 84
于是， X 的分布列为
X 0 1 2
35 42 7
P 84 84 84
2 2
所以 X 的数学期望 E(X ) = 3 = ． ·························································· 12 分
9 3
p
21．解：（1）由题知， =1，所以 p = 2 ． ·················································· 2 分
2
于是，抛物线C 的方程为 y2 = 4x ． ··················································· 4 分
（2）设 AB 方程为 x =my +1． A(x1，y1)， B(x2，y2 )
x = my +1
由 联立得： y2 4my 4 = 0．于是， y1 + y2 = 4m， 2
y = 4x
于是， x1 + x2 =m(y1 + y2 ) + 2 = 4m
2 + 2 ························································· 5 分
AB = x 21 + x2 + p = 4(m +1)． ···································································· 6 分
直线OC方程为 y = mx．
y = mx
由 联立得：m2x2
4
4x = 0．解得 x = 0 或 x = ． ····························· 7 分
y
2 = 4x m
2
4 4 4
于是，点C( ， ) ，所以 OC = 1+m2 ············································ 8 分
m2 m m
2
1 8(m2 +1)
所以四边形OACB的面积 S = AB OC = m2 +1 =16 2 ················ 9 分
2 m2
高二数学参考答案 第 3 页 共 4 页
{#{QQABDYKAggioAJBAAAhCUQVaCkCQkAEAAagOwFAAoAAAAANABAA=}#}
即 (m2 +1) m2 +1 = 2 2m2，令 t = m2 +1，则m2 = t2 1 0，所以 t2 1
于是， t3 2 2t2 + 2 2 = 0． ···································································· 10 分
即 t3 2t2 2t2 + 2 2 = t2 (t 2) 2(t2 2) = 0
2 + 10
即 (t 2)(t2 2t 2) = 0(t 1)解得 t1 = 2 或 t 2 =
2
于是，m = 1或m = 2+ 5 ·································································· 11 分
所以直线 AB的方程为 x = y +1或 x = 2+ 5 y +1 ····································· 12 分
22．解：（1）当 a =1时， f (x) = x ln x = (ln x +1)(x 0) ······························ 1 分
1 1
当 x (0， )时， f (x) 0，当 x ( ，+ ) 时， f (x) 0．
e e
1 1
所以 f (x)的单调递减区间为 (0， ) ；单调递增区间为 ( ，+ ) ························ 4 分
e e
（2）因为对任意 x 1， xa ln x x +1 0成立．设 (x) = xa ln x x +1(x 1)．
所以 (x) = axa 1 ln x + xa 1 1= xa 1(a ln x +1) 1(x 1)．
分类：①当 a≥1时， (x) 0，知 (x)在 (1，+ )单调递增，
所以 x 1， (x) (1) = 0，不成立． ······················································ 7 分
②当 a≤0时， (x) 0，知 (x)在 (1，+ )单调递减，所以 x 1， (x) (1) = 0成立．
③当0 a 1时，令 p(x) = (x) = xa 1(a ln x +1) 1(x 1)． ······························ 8 分
所以 p (x) = xa 1[(a2 a)ln x + (2a 1)](x 1，0 a 1) ． ···································· 9 分
1
（i）若 2a 1≤0即 0 a≤ 时， p (x) 0，知 p(x)在 (1，+ )单调递减，所以 p(x) p(1) = 0，
2
所以 (x) 0，所以 (x)在 (1，+ )单调递减，所以对任意 x (1，+ ) 时， (x) (1) = 0成立．
1 2a 1 2a
1 2
（ii）若 2a 1 0 即 a 1时，由 p (x) = 0 可得 x = ea a
2
1，所以当 x (1，ea a )时，p (x) 0 ，
2
1 2a 1 2a
2 2
于是，p(x)在 (1，ea a ) 单调递增，所以对任意 x (1，ea a )时，p(x) p(1) = 0，所以 (x) 0，
1 2a 1 2a
2 2
所以 (x)在 (1，ea a ) 单调递增，所以对任意 (1，ea a ) 时， (x) (1) = 0成不成立．
1
综上所述： a的取值范围是 ( ， ]． ························································ 12 分
2
高二数学参考答案 第 4 页 共 4 页
{#{QQABDYKAggioAJBAAAhCUQVaCkCQkAEAAagOwFAAoAAAAANABAA=}#}2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测
高二年级 数学
（考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设 i 为虚数单位，复数 z = 2 i的模为
A． 2 B． 5 C．3 D．5
2．下列运算不正确的是
1
A． (sin x) = cos x B． (log x) = C． (2
x ) 2 = 2
x ln 2 D． (cos x) = sin x
x ln 2
3．在建立两个变量 y 与 x的回归模型时，分别选择了 4 个不同的模型，模型1、2、3、4 的相关系数 R2
依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是
A．模型1 B．模型 2 C．模型3 D．模型 4
4． (2x y)5 展开式中含 xy4的项的系数是
A． 10 B． 5 C．10 D．5
3
f (x) = x3 ax2
1
5．已知函数 +1的极小值为 ，则 a =
2 2
A．1 B． 1 C．1或 1 D．0
6．3 名男生和 2 名女生共 5 位同学站成一排照相，且 2 位女生不相邻，则不同排法的种数为
A．120 B．72 C．36 D．12
11 1 3
7．若随机事件 A， B满足 P(A) = ， P(B) = ， P(A+ B) = ，则P(A B) =
16 4 4
3 3 1 1
A． B． C． D．
4 8 4 8
8．已知函数 f (x) 在R 上可导，且 f (x) f (x) ，若 ea 1 f (1) f (a)成立，则 a的取值范围是
A． ( ，1) B． (1，e) C． (1，+ ) D． (e，+ )
高二年级 数学卷题 第 1 页 共 4 页
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分．
9．随机变量 X N(4，1) ，则
A． E(X +1) = 5 B．D(2X +1) = 5
C． P(X≤3) = P(X≥4) D．P(X≤1) P(X≥6)
10．已知函数 f (x) = xsin x + cos x，x (0，2π)，则
π
A． f (x) 有唯一极值点 B． f (x) 在 (0， ) 单调递增
2
π
C． f (x) 的最大值为 D． f (x) 在 x = π处的切线方程为 y = 1
2
11．设 (x +1)5 = a0 + a x + a x
2 5
1 2 +…+ a5x ，则
A． a0 =1 B．展开式中系数最大值为 a5
C． a1 + a3 + a5 =16 D． a0 + 2a1 + 4a2 +…+32a5 = 243
12．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 、Q分别为CC1 ， BC 的中点，则
A． BP ⊥ AQ
B．平面 ABP ⊥平面 A1B1Q
A 4 5 C．点 1到平面 ABP的距离为
5
14
D．该正方体的外接球被平面 ABP截得的截面圆的面积为 π
5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若随机变量 B(3，p)，且 E( ) =1，则 p = _______．
x2 y2
14．已知双曲线 E ： =1 (b 0)的离心率为 3 ，则b = _______．
4 b2
15．有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1、2、3 台车床加工的次品率依次为 5％、4％、3％，
加工出来的零件混放在一起，已知第 1、2、3 台车床加工的零件数分别占总数的 20％、30％、
50％，任取一个零件，则它是次品的概率为_______．
16．若函数 f (x) = a2ax log2 x无零点，则 a的取值范围是_______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知数列{an}满足： a1 = 3，点 (an，an+1)在直线 y = x +3上．
（1）求{an}的通项公式；
b = a +3n （2）若 n n ，求数列{bn}的前 n项和 Sn ．
高二年级 数学卷题 第 2 页 共 4 页
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18．（12 分）
通过对某商品在 A，B，C，D，E，F 六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得
到一些统计量的值（如下表）．并发现该商品的销售额 y（单位：百万元）与其广告费 x（单位：
万元）成线性相关．用模型 y = bx + a 进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制
了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏．
6 6
城市 A B C D E F 2
x y xi yi xi
广告费 x /万元 3 6 8 10 i=1 i=1
销售额 y /百万元 6 8 14 15 5 8 336 214
残差
1
A B
0 D
F
C E 城市
-1
现将残差绝对值大于 1的数据被视为异常数据，需要剔除．
（1）剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值；
（2）求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为 20万元时，销售额为多少．
n
xi yi nx y
b = i=1 参考公式： n ， a = y b x
x 2i nx
2
i=1
19．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，PA ⊥平面 ABCD，BC AD ， BAD = 90°，AB = BC = 2 ，
5
PA = 2 3， cos ADC = ， PE = 2ED． P
5
（1）证明：CE 平面 PAB ；
（2）求平面PCE 与平面BCE 夹角的余弦值．
E
A D
B C
高二年级 数学卷题 第 3 页 共 4 页
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20．（12 分）
某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为 20 的样本数据
进行统计分析，样本数据整理如下（满分 100 分）：
女生 75 70 75 70 75 95 85 75 90 75
男生 75 70 80 85 90 80 85 80 90 80
若规定成绩不低于 80 为 A 等，成绩低于 80 为 B 等．
成绩
性别 合计
A 等 B 等
女生 10
男生 10
合计 20
（1）完成上表，依据 = 0.05的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联？
（2）从这 20 名体能测试成绩为 B 等的学生中随机挑选 3 名，求挑选出男生成绩为 B 等的人
数 X 的分布列与数学期望．
0.05 0.005
n(ad bc)2
附： 2 = ，其中 n = a +b+ c + d ． x 3.841 7.897
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
21．（12 分）
2
已知 F 为抛物线 E ： y = 2px(p 0)的焦点， P 是抛物线 E 上一点，且 PF 的最小值为1．
（1）求 E 的方程；
（2）过 F 的直线 l 与 E 交于 A， B 两点，过原点O 作直线 l 的垂线 l 交 E 于点C （异于点
O）．当四边形OACB的面积为16 2 时，求直线 AB的方程．
22．（12 分）
已知函数 f (x) = xa ln x（ a R ）．
（1）当 a =1时，求 f (x) 的单调区间；
（2）当 x 1时， f (x) x 1，求 a的取值范围．
高二年级 数学卷题 第 4 页 共 4 页
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