兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量检测（2）
数 学
时长：120分钟 总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
3．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4.若，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．若双曲线的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
6．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。
A、 B、 C、 D、
7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
8．已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、
C、 D、
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
10．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
11．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
12．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的最小值
C． D．
三、填空（每题5分，共20分）
13.若，且，则__________.
14．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则______.
15．对任意都有.数列满足：，则__________.
16．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.
三、计算题（70分）
17．（本小题满分10分）
已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。
(1)求线段中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程。
18．（本小题满分12分）已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
（2）若数列满足，求数列的前项和.
（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知等差数列满足，前7项和为
（1）求的通项公式
（2）设数列满足，求的前项和.
22．（本小题满分12分）已知函数有极小值.
（1）求实数b的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量检测
数 学 答案
时长：120分钟 总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
【答案】A
3．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
4.若，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
5．若双曲线的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
6．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
8．已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BCD
10．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
11．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
【答案】BCD
12．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的最小值
C． D．
【答案】AC
三、填空（每题5分，共20分）
13.若，且，则__________.
【答案】
14．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则______.
【答案】14
15．对任意都有.数列满足：，则__________.
【答案】
16．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.
【答案】
三、计算题（70分）
17．（本小题满分10分）
已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。
(1)求线段中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程。
【解析】(1)设的中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为， 2分
∵点在圆上，∴， 4分
故线段中点的轨迹方程为； 5分
(2)设的中点为，在中，， 6分
设为坐标原点，连接，则，
∴， 8分
∴，
故线段中点的轨迹方程为。 10分
18．（本小题满分12分）已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析 ；（2） .
（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）
20．（本小题满分12分）
已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。
【解析】(1)由题意知：，，∴， 2分
∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为； 3分
(2)设、，则将直线与椭圆的方程联立得，消去得： 5分
，由得：，① 7分
∴，， 8分
∵原点总在以为直径的圆的内部，∴，即， 9分
而，∴， 10分
即，∴，且满足①式的取值范围是。 12分
21．（本小题满分12分）已知等差数列满足，前7项和为
（1）求的通项公式
（2）设数列满足，求的前项和.
【解析】（1）由，得，
因为所以，
；
（2），
，
.
22．（本小题满分12分）已知函数有极小值.
（1）求实数b的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1），由得：或，则：
时：，f（x）递增；
时：，f（x）递减；
时：，f（x）递增；
函数f（x）在取得极小值，即，
解得所求；
（2）由以上可知函数f（x）在取得极大值
又，
故所求最小值为，最大值为.
