河南省部分学校2024-2025学年新高三上学期7月联合质量检测
数学试卷
满分150分，考试用时120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ）
A．与独立 B．与独立
C．与独立 D．
2．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．下列对x的求导运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
8．设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ）
A．1 B． C． D．2
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随值的增加，值增加的速度变小
D．样本点似残差为0.1
10．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046
11．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．关于直线对称
C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）
支持 不支持
男生
女生
若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 .
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
13．已知分别为椭圆的左 右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 .
14．已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 个零点.
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
16.（本小题15分）
近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望.
17.（本小题15分）
已知数列的前项和，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为，求的最小值.
18.（本小题17分）
已知函数.
(1)当，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若有两个零点，则.
19.（本小题17分）
已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
(1)求的值及的方程；
(2)证明：线段的垂直平分线过定点；
(3)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．河南省部分学校2024-2025学年新高三上学期7月联合质量检测
数学试卷解析版
满分150分，考试用时120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ）
A．与独立 B．与独立
C．与独立 D．
【答案】D
【详解】，
有，
即两两独立，ABC正确；
但，故D错误.
故选：D.
2．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
由余弦定理得，
又，所以.
故选：D.
3．下列对x的求导运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.
故选：A
4．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】数列中，由，知，则，
又，于是，而，
所以.
故选：A
5．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，在中，由余弦定理，；
因为，所以，
在中，由正弦定理，
所以，解得，
故选：C
7．已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【详解】对于A， 令，则，得，
所以或，
当时，不恒成立，所以，所以A错误，
对于B，令，则，得，
所以，或，
由选项A可知，所以，所以B错误，
对于CD，令，则，由选项A可知，
所以，所以，
令，则，
所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，
故选：D
8．设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】
结合题意可知,设，则，
结合双曲线的定义可得，则，
又由双曲线的定义可得，则，解得，
所以，，，
在中，则余弦定理得：
，
所以，则，即.
故选：B.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随值的增加，值增加的速度变小
D．样本点似残差为0.1
【答案】ABD
【详解】对于A中，由回归方程为，可得回归系数，
可得正数知变量具有正相关关系，所以A正确；
对于B中，将，代入，可得，
所以去除点和后，得到新的样本平均数，
因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以，
所以新的经验回归方程为，所以B正确；
对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系，
又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误；
对于D中，由回归直线方程，当时，可得，
所以样本点似残差为，所以D正确.
故选：ABD.
10．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046
【答案】ACD
【详解】A选项，，，故或，
当时，由可知，
所以，但，互相矛盾，舍去，
当时，又，所以，
故满足要求，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，因为，，
故当时，取最大值，C正确；
D选项，由于，故当时，
，
，
，
使成立的最大自然数是4046，D正确.
故选：ACD
11．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．关于直线对称
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为的定义域为
对于选项A：令，可得，即，
令，可得，且不恒为零，
则，即，
所以是奇函数，故A错误；
对于选项B：令，可得，
即，即，可得，
令，可得，即，
当时，有，
所以；
当，有，
可得，
当，结合，有，
可得，所以；
综上所述：，
两边同时求导可得，可知关于直线对称，
所以关于直线对称，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
若，即，
可得，可知为的周期；
若，即，
可得，可知为的周期；
综上所述：为的周期.
且，所以，故C正确；
对于选项D：由选项B可知：，
令，可得，
可得，
结合周期性可得，故D正确.
故选：BCD.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）
支持 不支持
男生
女生
若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 .
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】66
【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即，
因为函数在时单调递增，
且，，，
所以的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
故答案为：66.
13．已知分别为椭圆的左 右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 .
【答案】
【详解】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，
易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
故答案为：；.
14．已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 个零点.
【答案】6
【详解】的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且，
又，即函数的图象关于直线对称，且，
，是函数的一个周期，.
当时，，所以在上单调递增，且，，
函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，
由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点，
是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，，
函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点，
函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点，
结合，得函数在区间上有6个零点.
故答案为：6.
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以，
又因为平面，，所以平面.
（2）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
由（1）可知，由题意可知，，，
则，，
由得，
所以，即与平面所成的角的正弦值为.
16.（本小题15分）
近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，.
【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率为：
；
（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，
则，，，，
由全概率公式得，
故丁周日选择B健身中心健身的概率为；
（3）已知从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，
则的可能取值为，
，，，，
，，
则X的分布列为：
1 2 3 …
…
故，
又，
两式相减得，
所以.
17.（本小题15分）
已知数列的前项和，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为.
所以当时，
当时，，
两式相减得
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则数列通项公式为
（2）记数列的前项乘积为，
所以，由（1）可知
则
令，开口向上且对称轴为，
所以或8时，取最小值且最小值为.
所以的最小值为.
18.（本小题17分）
已知函数.
(1)当，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若有两个零点，则.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【详解】（1）当，，
，
因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为.
（2）的定义域为，则，
令,得
当在上单调递减，
当在上单调递增，
，
若,则,即，
所以的取值范围为.
（3）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设，
要证,即证，
因为,即证，
又因为,故只需证，
即证，
即证当时，有成立，
下面证明时，，
设，
则
，
设，
所以，而，
所以，所以，
所以在单调递增，
即，所以，
令，
，
所以在单调递减，
即，所以；
综上, ，所以.
19.（本小题17分）
已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
(1)求的值及的方程；
(2)证明：线段的垂直平分线过定点；
(3)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)，抛物线方程为.
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以抛物线方程为；
（2）设直线的方程为：，
联立方程，消去得，，
由，得，
由韦达定理得，
根据抛物线定义：，可得，
此时，解得或，
设的中点坐标为，则，
可得的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：，
故的垂直平分线过定点；
（3）由（1）可得，
且点到直线的距离，
则的面积为，
可得，
设，设，则
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，的面积取最大值，此时，即．
此时.
