参考答案：
1．B
2．B
3．B
4．C
5．A
6．A
7．B
8．D
9．BD
10．AD
11．AD
12．BCD
13．
【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果.
【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连，
因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且，
在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.
故答案为：.
14．
【分析】利用共线向量的定义以及向量的线性运算性质，模的定义求解.
【详解】∵，且为非零向量，∴存在实数使得成立，
又∵，∴，∴，
∴，解得或0（舍去），则非零向量的坐标为，
故答案为：.
15．
【分析】根据线面角的定义结合勾股定理和正切的定义即可得到答案.
【详解】因为面，面，所以，
所以直线与平面所成角即为，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
17．(1)2
(2)
【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；
（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.
【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC 面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中点，故侧棱长为2.
（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出的值，即可得解；
（2）首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴且，∴，
∴，则.
（2）∵，
又为纯虚数，∴且，
∴.
19．(1)或.
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；
（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】（1）已知，
所以.
又因为，所以有，
所以，解得或.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
20．(1)
(2)．
【分析】（1）应用诱导公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求值域；
（2）由已知可得，结合三角形面积公式、余弦定理求，进而求周长.
【详解】（1）由题意，函数
，
，
当时，可得，
∴，故，
所以函数的值域为．
（2）由（1）得，所以，
因为，得，所以，解得，
又，可得，
由余弦定理得，
因为，所以，所以的周长为．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证明，，然后证明平面ADEF即可；
（2）根据垂直关系可得就是二面角的平面角，进而可得结果.
【详解】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，
则，可得，
连接AC，则，
因为，可得，
由，可得，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，
且，，平面，可得平面，
且平面，可得，
又，可知就是二面角的平面角，
在，可得，
所以二面角的余弦值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；
若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.
（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．
【详解】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得
，又因为，则，，
故.
若选②，因为，由正弦定理可得，，
且，则，且，
所以，其中，
所以，则.
（2）由题意可得，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
则，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，所以；
当为锐角，则，即，
则，即，所以；
综上可得，
又因为，
则，
因为，则，
且在上单调递减，，
所以，即，
所以．东煌学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
3．已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ）
A． B． C． D．
5．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．的内角，所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则
10．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是 B．的虚部是
C． D．
12．已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ）
A．直线与所成角的正切值为
B．直线平面
C．平面平面
D．到直线的距离为
三、填空题
13．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 .
14．已知，，且，则非零向量的坐标为 ．
15．在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为 .
16．函数的值域为 ．
四、解答题
17．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
18．已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．
(1)求；
(2)复数，若为纯虚数，求实数的值．
19．已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
20．已知
(1)若，求函数的值域；
(2)在，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，当时，求的周长．
21．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值；
22．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围.
