2023-2024学年度大连八中下学期高二年级6月阶段测试
数学试题
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A＝{x|1＜x≤6}，，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6＜x＜7}
C．{x|x＜1或6≤x＜7} D．{x|x≤1或6＜x≤7}
2．“x＞2”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要分件
3．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若f（x）＝f'（1）x2﹣x，则f'（1）＝1
4．据一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点（1.2，0.5）和（4.8，7.5）误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则a＝（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．已知随机变量X～B（4，p），若，则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an﹣1+n（n≥2），且，则数列{bn}前n项的和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）在上单调递减
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
10．已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有两个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．过点（0，0）可作曲线y＝f（x）的两条切线
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn+1＝2Sn+n，则下列结论正确的是（ ）
A．an+1＞Sn
B．{an+1}是等比数列
C．是单调递增数列
D．Sn≥2an
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）＝0.3，则P（X≥5）＝ ．
13．已知等比数列{an}满足a5a6a7＝﹣27，则a2a6+a2a10+a6a10的最小值是 ．
14．已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点M（1，t）可作3条与曲线y＝f（x）相切的直线，则实数t的取值范围是 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分
15．已知公差为正的等差数列{an}中，a2 a4＝40，a1+a5＝14．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{bn+an}是等比数列，且b1＝0，b2＝﹣2，求数列{bn}的前n项和Sn．
16．2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚．某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如表表格：
单位：人
市民 春节旅游意愿
愿意 不愿意
青年人 80 20
老年人 40 60
（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联．
（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X，试求X的分布列和数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知函数f（x）＝x lnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax﹣1，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝x（ex﹣kx），k∈R．
（1）当k＝0时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上仅有两个零点，求实数k的取值范围．
19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．
（1）已知等比数列{an}满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0．求证：数列{an}为“M﹣数列”；
（2）已知各项为正数的数列{bn}满足：b1＝1，Sn＝，其中Sn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②已知{cn}是“M﹣数列”（n∈N*），对任意正整数k，都有bk≤ck+1成立，求数列{cn}公比q的取值范围．2023-2024学年度大连八中下学期高二年级6月阶段测试
数学试题参考答案与试题解析
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A＝{x|1＜x≤6}，，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6＜x＜7}
C．{x|x＜1或6≤x＜7} D．{x|x≤1或6＜x≤7}
【解答】解：集合A＝{x|1＜x≤6}，＝{x|x＜7}，
∴ UA＝{x|x≤1或x＞6}，
则（ RA）∩B＝{x|x≤1或6＜x＜7}．
故选：B．
2．“x＞2”是“2．“x＞2”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要分件
【解答】解：由不等式，解得x＜-1或x＞2，
由“x＞2”可以推出“x＜-1或x＞2”，反之，由“x＜-1或x＞2”不能得到“x＞2”．
所以“x＞2”是“”充分不必要条件．
故选：A．
3．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若f（x）＝f'（1）x2﹣x，则f'（1）＝1
【解答】解：，A错误；
＝，B错误；
，则y′＝0，C错误；
f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（x）＝2f′（1）x﹣1，f′（1）＝2f′（1）﹣1，则f′（1）＝1，D正确．
故选：D．
4．据一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点（1.2，0.5）和（4.8，7.5）误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则a＝（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解答】解：因为原来的经验回归方程为，且平均数，
所以＝1.2×3+0.4＝4，
因为去除的两个样本点（1.2，0.5）和（4.8，7.5），并且＝3，＝4，
所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为（3，4），
代入重新求得的经验回归方程，可得4＝1.1×3+a，
解得a＝0.7．
故选：C．
5．已知随机变量X～B（4，p），若，则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为随机变量X～B（4，p），且，
所以P（X＝0）＝（1﹣p）4＝1﹣P（X≥1）＝，
所以1﹣p＝，解得p＝，
所以P（X＝2）＝ ＝．
故选：C．
6．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an﹣1+n（n≥2），且，则数列{bn}前n项的和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由an＝an﹣1+n（n≥2）得a2＝a1+2，a3＝a2+3，a4＝a3+4，…，an﹣1＝an﹣2+n﹣1，an＝an﹣1+n（n≥2），
叠加得an＝a1+2+3+4+...+n＝1+2+3+4+...+n＝，n≥2，
由题可知a1＝1也适合上式，故；
所以＝＝，
则数列{bn}前n项的和Sn＝b1+b2+b3+...+bn﹣1+bn
＝
＝＝．
故选：B．
7．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，
事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，
事件C表示先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，取出的球是红球，
则P（A）＝，P（C|A）＝，P（B）＝，P（C|B）＝，
∴P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝＝．
故选：B．
8．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
【解答】解：因为f（x）＝x+ex，所以f'（x）＝1+ex＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，g（x）＝x+lnx＝f（lnx），
因为f（x1）＝g（x2）＝f（lnx2），所以x1＝lnx2，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|，
令h（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝0，所以lnx≤x﹣1＜x，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|＝x2﹣lnx2≥x2﹣（x2﹣1）＝1．
故选：B．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．f（x）的定义域为{x|x≠±2}
B．f（x）在上单调递减
C．f（f（﹣5））＝﹣6
D．f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【解答】解：由|x|﹣2≠0，可得x≠±2，所以f（x）的定义域为{x|x≠±2}，则A正确；
因为，则B正确；
因为，所以f（f（﹣5））＝﹣6，则C正确；
因为x≠±2，所以|x|≥0，且|x|≠2，
所以|x|﹣2≥﹣2，且|x|﹣2≠0，
当﹣2≤|x|﹣2＜0时，，即f（x）≤﹣2，
当|x|﹣2＞0时，，即f（x）＞0，
所以f（x）的值域是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞），故D错误．
故选：ABC．
10．已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有两个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．过点（0，0）可作曲线y＝f（x）的两条切线
【解答】解：由题意，在f（x）＝x3﹣2x+1中，f′（x）＝3x2﹣2，
令f′（x）＞0，得或，
令f′（x）＜0，得，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，A正确．
由f（x）的单调性且极大值，极小值，
又f（2）＝5＞0，f（﹣2）＝﹣3＜0，
所以函数f（x）在定义域上有3个零点，B错误．
令h（x）＝x3﹣2x，
因为h（﹣x）＝（﹣x）3﹣2（﹣x）＝﹣x3+2x＝﹣h（x），则h（x）是奇函数，
所以（0，0）是h（x）图象的对称中心，
将h（x）的图象向上移动1个单位长度得到f（x）的图象，
所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，C正确．
设切点为（x0，y0），
则切线的方程为，
代入（0，0），可得，解得．
所以过点（0，0）的切线有1条，D错误．
故选：AC．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn+1＝2Sn+n，则下列结论正确的是（ ）
A．an+1＞Sn
B．{an+1}是等比数列
C．是单调递增数列
D．Sn≥2an
【解答】解：对于A：∵Sn+1＝2Sn+n，
∴an+1＝Sn+n，故an+1＞Sn，故A正确；
对于B：Sn+1＝2Sn+n，Sn＝2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），
两式相减得an+1＝2an+1，即an+1+1＝2（an+1）（n≥2），
又n＝1，则S2＝2S1+1 3+a1＝2a1+1 a1＝2，a2+1≠2（a1+1），
∴数列{an+1}从第二项开始成等比数列，公比为2，
故n≥2时，，即，
故an＝，故B错误；
对于C：由选项B得an＝，
∴当n＝1时，S1＝2，
当n≥2时，，
∴Sn＝，
令cn＝＝，
则n≥2时，，即cn+1＞cn，
又，则数列{cn}单调递增，即数列{}是单调递增数列，故C正确；
对于D：当n≥2时，，
S1＜2a1显然成立，故Sn＜2an恒成立，故D错误．
故选：AC．
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）＝0.3，则P（X≥5）＝ 0.2 ．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，δ2），
∴正态曲线的对称轴是x＝3，
∵P（1≤X≤3）＝0.3，
∴P（X≥5）＝P（X≤1）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故答案为：0.2．
13．已知等比数列{an}满足a5a6a7＝﹣27，则a2a6+a2a10+a6a10的最小值是 27
【解答】解：因为数列{an}是等比数列，
所以，
所以a6＝﹣3，
所以，当且仅当a4＝a8＝﹣3
14．已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点M（1，t）可作3条与曲线y＝f（x）相切的直线，则实数t的取值范围是 ．
【解答】解：依题意可设切点为（a，（a+1）ea），
由f（x）＝（x+1）ex，可得f′（x）＝ex+（x+1）ex＝（x+2）ex，
则切线的斜率为k＝f′（a）＝（a+2）ea，
故切线方程为y﹣（a+1）ea＝（a+2）ea（x﹣a），
因为点M（1，t）在切线上，故t﹣（a+1）ea＝（a+2）ea（1﹣a），
即t＝（3﹣a2）ea，令g（x）＝（3﹣x2）ex，则g′（x）＝（3﹣2x﹣x2）ex＝﹣（x﹣1）（x+3）ex，
当x＜﹣3或x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递减，
当﹣3＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣3，1）上单调递增，
则g（x）的极小值为，极大值为g（1）＝2e；
且当或时，g（x）＜0，当时，g（x）＞0，
当x趋向于负无穷时，g（x）无限接近于0，当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于负无穷，
由此可作出g（x）图象如图：
由题意可知过点M（1，t）可作3条与曲线y＝f（x）相切的直线，
即需直线y＝t与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
结合图象可知需，即实数t的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题：本题共5小题，共77分
15．已知公差为正的等差数列{an}中，a2 a4＝40，a1+a5＝14．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{bn+an}是等比数列，且b1＝0，b2＝﹣2，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，a1+a5＝14，则a2+a4＝a1+a5＝14，
又a2 a4＝40，解得或，
又{an}的公差d＞0，所以a2＜a4，则，
所以，
所以an＝a2+（n﹣2）d＝4+3（n﹣2）＝3n﹣2．
（2）由（1）可知a1＝1，a2＝4，又b1＝0，b2＝﹣2，
所以a1+b1＝1，a2+b2＝2，
因为{bn+an}是等比数列，所以公比为，
所以，所以．
所以
＝（20+21+ +2n﹣1）+2n﹣（3×1+3×2+ +3n），
即有．
16．2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚．某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如表表格：
单位：人
市民 春节旅游意愿
愿意 不愿意
青年人 80 20
老年人 40 60
（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联．
（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X，试求X的分布列和数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）零假设H0：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关，
依题意，得2×2列联表如下：
市民 春节旅游意愿 合计
愿意 不愿意
青年人 80 20 100
老年人 40 60 100
合计 120 80 200
所以，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，
即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；
（2）由分层抽样可得，青年人愿意出游、青年人不愿意出游、老年人愿意出游、老年人不愿意出游的人数分别为4、1、2、3，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＝．
17．已知函数f（x）＝x lnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax﹣1，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝xlnx，
所以，f'（1）＝ln1+1＝1．
又因为f（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．
（Ⅱ）函数f（x）＝xlnx定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可知，f'（x）＝lnx+1．
令f′（x）＝0，解得．
f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
x
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 减 极小值 增
所以，f（x）的单调递增区间是，f（x）的单调递减区间是．
（Ⅲ）当时，“f（x）≤ax﹣1”等价于“”．
令，，
，．
当时，g'（x）＜0，所以g（x）在区间单调递减．
当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，所以g（x）在区间（1，e）单调递增．
而g（＝lne+e＝e﹣1＞1.5，
．
所以g（x）在区间上的最大值为．
所以当a≥e﹣1时，对于任意，都有f（x）≤ax﹣1，
故a的取值范围为[e﹣1，+∞）．
18．已知函数f（x）＝x（ex﹣kx），k∈R．
（1）当k＝0时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）当k＝0时，f（x）＝xex（x∈R），
所以f'（x）＝（1+x）ex，
令f'（x）＝0，得x＝﹣1，
x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，+∞）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以，
当x→﹣∞时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以f（x）的极小值为，无极大值；
（2）函数f（x）＝x（ex﹣kx）在（0，+∞）上仅有两个零点，
令g（x）＝ex﹣kx，则问题等价于g（x）在（0，+∞）上仅有两个零点，
易知g'（x）＝ex﹣k，因为x∈（0，+∞），所以ex＞1．
①当k∈（﹣∞，1]时，g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝1，所以g（x）在（0，+∞）上没有零点，不符合题意；
②当k∈（1，+∞）时，令g'（x）＝0，得x＝lnk，
所以在（0，lnk）上，g'（x）＜0，在（lnk，+∞）上，g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（lnk）＝k﹣k lnk，
因为g（x）在（0，+∞）上有两个零点，所以g（lnk）＝k﹣k lnk＜0，
所以k＞e，
因为g（0）＝1＞0，g（lnk2）＝k2﹣k lnk2＝k（k﹣2lnk），
令h（x）＝x﹣2lnx，则，
所以在（0，2）上，h'（x）＜0，在（2，+∞）上，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥2﹣2ln2＝lne2﹣ln4＞0，所以g（lnk2）＝k（k﹣2lnk）＞0，
所以当k＞e时，g（x）在（0，lnk）和（lnk，+∞）内各有一个零点，
即当k＞e时，g（x）在（0，+∞）上仅有两个零点，
综上，实数k的取值范围是（e，+∞）．
19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．
（1）已知等比数列{an}满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0．求证：数列{an}为“M﹣数列”；
（2）已知各项为正数的数列{bn}满足：b1＝1，Sn＝，其中Sn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②已知{cn}是“M﹣数列”，对任意正整数k，都有bk≤ck+1成立，求数列{cn}公比q的取值范围．
【解答】解：（1）证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0，
由，得，解得，
所以数列{an}为“M﹣数列”；
（2）①因为b1＝1，Sn＝，则，则b2＝2，
当n＞2时，由bn＝Sn﹣Sn﹣1得，整理得bn+1+bn﹣1＝2bn，
所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝n；
②因为数列{cn}为“M﹣数列”，设公比为q，所以c1＝1，q＞0，
因为bk≤ck+1，所以k≤qk，其中k＝1，2，3，…，m，
当k＝1时，有q＞1；
当k＝2，3，…，m时，有
设，则，
当x∈（1，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以比较f（2）＝，f（3）＝的大小．
而f（2）＝＝，f（3）＝＝，可得f（2）＜f（3）．
所以f（x）≤f（3），即≤＝ln，因为≤lnq，所以ln≤lnq，可得q≥，
