数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共30张ppt）

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新授课
1.1.1 空间向量及其线性运算
第一章 空间向量与立体几何
上个学期，我们学习了向量在平面中的应用，那么向量在空间中又有怎样的理解呢
情境导入
图1 线缆同时受到来
自不同方向的支持力
图2 跳伞运动员同时受到
重力、风力、绳索牵拉力
新知探究
1.空间向量定义：如图，与平面向量一样，在空间中我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
3.表示方法
（1）符号表示：例如 空间向量
（2）几何表示：三条有向线段表示的三个向量为
4.零向量：与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，
记作 0（或 ）.
5.单位向量：模为1的向量叫做单位向量，
通常用 表示，即 .
注：任何一个非零向量 都有它的单位向量，
且
几类特殊的空间向量
几类特殊的空间向量
6.相等向量
方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 如图 向量为相等向量，记作 .
空间向量具有平移不变性.
7.相反向量
如图，与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 .
8.共线向量(或平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
共线向量(或平行向量)
几类特殊的空间向量
辨析.判断正误.
(1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ）
(2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ）
(3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ）
(4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ）
× × × ×
[例1]　(多选)下列命题中错误的是 (　　)
A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b
C．空间中任意两个单位向量必相等
D．在如图所示的正方体AC1中，必有＝
[答案]　ABC
新知探究
思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？
a
b
a
b
O
A
B
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算.
空间向量的运算法则
9. 空间向量的加减运算
A
B
C
O
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） 的长度为：
（2） 的方向为：
①当时， 的方向与的方向相同；
②当 时， 的方向与的方向相反；
③当 时，＝.
10、空间向量的数乘运算
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）：
交换律：
结合律：
分配律：
11、空间向量的有关概念
b
c
a
a + b + c
a + b
b
a
a + b + c
b + c
c
练一练：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(1)
(2)
(3)
(4)
练一练：已知空间四边形中，向量 ， ，若为的中点，为的重心，试用， ， 表示下列向量：
（1） ； （2） .
A
M
C
G
D
B
共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
探究共线向量定理
例3 (1)已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
(2)若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为　　　　.
探究方向向量
是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量
P
注1：与直线平行的任意非零向量 都叫做直线的非零向量；
注2：因为的方向是任意的，所以 不能作为直线的方向向量.
探究共面向量
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
参考上述定理，思考共面向量的定理？
O
A
B
共面向量：
因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
如图，已知空间向量，以任意点〇为起点，作向量 ，我们就可以把它们平移到同一个平面内.
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.
d
b
a
c
共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
三个空间向量共线的充要条件
由平面向量基本定理可知，
如果空间中两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
与不共线向量，共面
例4：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.
求证：，，，四点共面.
证明：因为，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
因此
由向量共面的充要条件可知，，共面，又
过同一点，从而，，，四点共面.
、、三点共线
、、、 点共面
练习1：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________
【答案】
，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
练习2：在空间四边形OABC中，M为OA中点，N为BC的中点，
若 ，则使G、M、N三点共线的x的值是 　．
练习3：已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为________
课堂小结
1、空间向量的相关概念
2、空间向量的线性运算
3、空间向量的共线、共面的表示