北京市西城区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（PDF版含答案）

2024北京西城高二（下）期末
数 学
本试卷共 9 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列 an 中， a1 = 3， a3 = 5，则 a10 =
A. 8 B.10 C.12 D.14
2. 设函数 f (x) = sin x 的导函数为 g(x) ，则 g(x) 为
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
3. 袋中有 5 个形状相同的乒乓球，其中 3个黄色 2 个白色，现从袋中随机取出 3个球，则恰好有 2 个黄色乒
乓球的概率是
1 3 1 3
A. B. C. D.
10 10 5 5
4. 在等比数列 an 中，若 a1 =1， a4 = 4，则 a2a3 =
A. 4 B. 6 C. 2 D. 6
5. 投掷 2 枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为 X ，则方差 D(X ) =
5 1 5 5
A. B. C. D.
18 3 3 36
6. 设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 = 1，32S10 = 31S5 ，则 a6 =
1 1 1 1
A. B. C. D.
32 64 32 64
7. 设函数 f (x) = ln x的导函数为 f (x)，则
A. f (3) f (2) f (3) f (2) B. f (3) f (3) f (2) f (2)
C. f (2) f (3) f (3) f (2) D. f (2) f (3) f (2) f (3)
8. 设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，则“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x
9. 如果 f (x) = ax e 在区间 ( 1,0) 上是单调函数，那么实数 a的取值范围为
1 1
A. ( , ] [1,+ ) B.[ ,1]
e e
1
C. ( , ] D. [1,+ )
e
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10. 在数列 a a = 2 (c 0)n 中， 1 ，若存在常数 c ，使得对于任意的正整数m,n 等式
am+n = am + can 成立，则
A.符合条件的数列 an 有无数个
B.存在符合条件的递减数列 an
C.存在符合条件的等比数列 an
D.存在正整数 N ，当 n N 时， an 2024
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
11. 函数 f (x) = + x + 2 的定义域为_________.
x
12. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率
3 1
是 ，甲、乙两人都回答错误的概率是是 . 假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立，那么乙答对这
4 12
道题的概率为_________.
13. 设随机变量 的分布列如下，其中 a1,a2 ,a3 成等差数列，且 a1,a2 ,a3 (0,1) .
0 1 2
P a1 a2 a3
则 a2 = _________；符合条件的 E( )的一个值为_________.
14. 设数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a2 = 7 ， a4 = 8 ，且 an + an+1 + an+2 =10 (n
*
N ) .
则 a3 = _________；使得 Sn 2024成立的 n的最小值为_________.
ln x, x 0
15. 已知函数 f (x) = ，其中 a R . 给出下列四个结论： 2
x + 2ax 2, x 0
①当 a 0 时，函数 f (x) 有极大值，无极小值；
②若方程 f (x) = a 存在三个根，则 a [ 2, 1) ；
③当 a 0 时，函数 f (x) 的图象上存在关于原点对称的两个点；
2 3 1
④当 a = 时，存在 x1, x2 (x1 x2 )使得函数 f (x) 的图象在点 (x1, f (x1)) 和点 (x2 , f (x2 )) 处的切线是同
2
一条直线.
其中所有正确结论的序号是_________.
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题 13 分）
x
函数 f (x) = + m，其中m R .
ex
（Ⅰ）当m = 0时，求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 f (x) 在区间 [0,3]上有两个零点，求m 的取值范围.
17.（本小题 13 分）
设数列 a 的前 n项和为 Sn ， a1 =1，且对于任意 n
*
N 都有 Sn = an n+1 1成立.
（Ⅰ）写出 a2 ,a3 的值，并求数列 an 的通项公式；
a
（Ⅱ）若等差数列 b 的首项 bn 1 = S4 ，公差 d =
2 ，求数列 bn 的前 n项和Tn 的最小值.
a1
18.（本小题 15 分）
为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天
户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位： 25， 26， 32 ， 33 ， 34 ， 36 ， 46， 47， 50 ， 55 ；
乙单位：15 ，16 ， 22， 23， 24， 26， 36 ， 37 ， 40 .
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.
（Ⅰ）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足 20 小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800 名职工，试
估计乙单位此次参加体检的职工人数；
（Ⅱ）从甲单位职工中随机抽取 2 人、乙单位职工中随机抽取1人，记 X 为这 3人中夏天户外运动时长不
少于 35 小时的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为 s 2 21 、乙单位职工户外运动时长的方差为 s2 ，写出 s
2
1 与
s 22 的大小关系.（结论不要求证明）
19.（本小题 14 分）
为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水
池最大储水量为 6m3 2 . 已知水池底面的造价为 600 元/m ，侧面的造价为 400 元/m2 .（注：衔接处材料损
耗忽略不计）
（Ⅰ）把水池的造价 S （单位：元）表示为水池底面边长 x（单位：m）的函数；
（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
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20.（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = x ln(x + a) ，其中 a 0 .
（Ⅰ）当 a = 2时，求曲线 y = f (x) 在点 ( 1, f ( 1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f (x) 的极小值为 0 ，求 a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的 x [0,+ ) ， f (x) kx2 成立，求实数 k 的最小值.
21.（本小题 15 分）
设 an 和 bn 均为各项互不相等的 N 项数列，其中 ai ,bi 1,2, , N ， i =1,2, , N .
记数列C : c1,c2 , ,cN ，其中 ck = ak bk ， k =1,2, , N .
（Ⅰ）写出所有满足条件的数列 a 和 b ，使得数列C : 1, 1,0,2n n ；
（Ⅱ）若 N = 2024，C 是公差不为 0 的等差数列，求证： ai + bi 为定值；
（Ⅲ）若C 为各项互不相等的数列，记C 中最大的数为 P ，最小的数为Q ，求 P Q 的最小值.
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