高中数学专练：解析几何

解析几何专题练习
　　一、选择题（每题4分，共32分）　　1、若椭圆 的一个焦点是（－2，0），则a等于（　　 ）　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　2、若双曲线 的焦点到它相对应的准线的距离为2，则k等于（　　 ）　　A．1　　　　　　　 B. 4　　　　　　 C. 6　　　　　　　 D. 83、在椭圆 中，短轴的两个端点与一个焦点恰好构成正三角形，若短轴长为2，则两准线间的距离为（　　）　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　 4、已知双曲线 ，则点M到x轴的距离为（　）　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　5、双曲线 的焦点分别为 以线段 为边长作等边三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两边，则双曲线的离心率为（　 ）　　 　　　　　 　　　　 　　　　　 　　6、椭圆 长轴上的一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为（　　　）　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　 　　7、若椭圆 的左、右焦点分别为 线段 被抛物线 的焦点分成5：3两段，则椭圆的离心率为（　　 ）　　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　 　　8、点P（－3，1）在椭圆 的左准线上，过点P且方向为 的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（　　 ）　　 　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　 　　二、填空题（每题5分，共20分）　　1、若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程为　　　　　　 。　　2、若抛物线 上一点M与该抛物线的焦点F的距离 ，则点M到x轴的距离为　　　　　　 。　　3、抛物线 的焦点到准线的距离为　　　　　　　　　　　　 。　　4、抛物线 在点P和Q处的切线斜率分别为1和－1，则 　　　　　　　　 。　　三、解答题（本大题共有4题，满分48分）　　1、经过抛物线 的焦点的直线l与抛物线交于点A、B，若抛物线的准线上存在一点C，使△ABC为等边三角形，求直线l的斜率的取值范围.　　2、已知曲线 ，一条长为8的弦AB的两个端点在H上运动，弦AB的中点为M，求距y轴最近的点M的坐标.　　3、已知点 为椭圆 上一定点，过点A作两条直线与椭圆交于B、C两点.若直线AB、AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求直线BC的斜率，并求在什么条件下△ABC的面积最大？最大面积是多少？　　4、如图，直角三角形PAQ的顶点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，∠PAQ＝90°.在AQ的延长线上取点M，使 .　　（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C；　　（2）设轨迹C的准线为l，焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G、H两点，过点G作平行轨迹C的对称轴的直线n且n∩l＝E.试问：点E、O、H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？说理由.　　答案与解析：　　一、 选择题　　1、选B　　解析：从椭圆的标准方程切入，由题设知，所给方程为椭圆第一标准方程：　 　　∴这里有 　　于是可得 ，应选B.　　2、选C.　解析：双曲线标准方程为 　∴ 　　∴双曲线的焦点到相应准线的距离 　∴由题设得 　　∴应选C.　　3、选A.　　解析：由题设得a＝2b　又b＝1，∴a＝2， 　∴两准线间的距离　∴应选A.　　4、选C.　　解析：应用双曲线定义.　 　　设 得，　　①　　又②　　∴由①②得 　③　　∴ 　　∴ 　∴ 　即点M到x轴的距离为 ，应选C.　　5、选A.　　解析：由题设易知等边三角形的另一顶点P在y轴上，且中线OP的长为 　　设 　　故有 　　 　　由此解得 或 （舍去）　∴ 　　应选A.　　6、选A.　　解析：椭圆标准方程为 　　 　　取A(－2,0)，由题设易知以A为顶点的等腰直角三角形BAC的顶点B、C关于x轴对称.　　不妨设B点坐标为 　则由等腰直角三角形ABC得 　　∴将点B坐标 代入椭圆方程 得 　　 　　∴ 或 　　于是有 　　∴应选A.　　7、选D.　　解析：由题设得 ①　 ②∴由①②得 　　 　故应选D.　　8、选A.　　解析：从确立反射光线的方程突破.　椭圆左准线方程 ，左焦点 　　由题意得 ①　　又过点p方向为 点（－3，1）关于直线y＝－2的对称点为（－3，－5）∴由光学知识得反射光线斜率为 ，反射光线经过点（－3，－5）　　∴反射光线方程为②　　在②中令y＝0得x＝－1，即反射光线与x轴的交点为（－1，0），　　∴椭圆左焦点坐标为（－1，0），即c＝1③　于是由①③得 　应选A.　　二、填空题　　1、答案： 　　解析：由题意得 ①　　 ②　　∴将①②代入 　∴ 　∴双曲线方程为 　　2、答案： 　　解析：这里 　令 　则由抛物线定义得 　　∴ 　∴ 　∴点M到x轴的距离为 .　　3、答案： .　　解析：抛物线方程为 　∴当a>0时，焦点到准线的距离 ；　　当a<0时，焦点到准线的距离 ；　当a≠0时，焦点到准线的距离 .　　4、答案：2p.　　解析：设过点p的抛物线的切线方程为y＝x+b　　　　　 ①　　则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为y＝－x－b　　　 ②　　又设 　将①代入 　　　 ③　　∴由直线①与抛物线相切得 　∴ 　∴由③得 　　由此解得 　∴ 　因此得 　　点评：根据已知条件与抛物线 关于x轴的对称性，两切线经过x轴上的同一点，它们在y轴上的截距互为相反数.由此断定 .这是求解本题的关键.　　三、解答题.　　1、分析：注意到本题的目标，首选对交点A、B的坐标“既设又解”，对点C坐标“解而不设”.对于△ABC为正三角形的条件，则考虑利用正三角形的性质转化，为此，在循着熟悉的思路奠基之后，从寻求弦AB的垂直平分线方程突破.　　解：抛物线 的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.　　由题意设直线l的方程为y＝k(x－1) ①　　 　　把①代入 得 　 　　且 ②　　∴ 　 　即 　　∴弦AB的垂直平分线方程为 ，　∴它与准线x＝－1的交点C的坐标为 　　注意到△ABC为正三角形　∴③　　又由抛物线定义得 　④　　 　⑤　　∴④⑤代入③解得 　∴所求直线l的斜率的取值范围为 .　点评：这里对A、B坐标的求解是“半心半意”，解题中途运用常用定理，因此，为避免引入新的参数，我们对点C坐标采取“解而不设”，以便于实现用同一参数k表示△ABC为正三角形的条件的设想.我们的这一设想一旦实现，解题便胜券在握.　　2、分析：体现点M到y轴的距离的线段MM′平行于双曲线的对称轴.注意到线段MM′与表示A、B到（右）准线的距离的线段之间的密切联系，考虑运用双曲线第二定义，故而对A、B坐标“设而不解”.　　解：曲线 为双曲线 的右支.　　这里 　　 ∴e＝2　　右准线l： 　设 　作 　　则 　∴ 　∴ 　①　　又双曲线右焦点 由双曲线第二定义得　 　②　　∴②代入①得 ③当且仅当 ，即AB为焦点弦时等号成立.　　∴由③ 当且仅当弦AB通过焦点 时等号成立.　　注意到曲线H过焦点垂直于对称轴的弦长为6<8，故条件可以满足.　∴ 　　④　　此时， ， ，　而 ，　　于是有⑤　　因此由④⑤得，距y轴最近的点M的坐标为 .　　点评：　　（1）解析几何中寻求某量的最值或寻求某量取何最值的有关曲线上的点的坐标，基本解法之一是“先找后解”，即首先利用曲线的性质或平面几何知识寻求该量取得最值时的点（或线段），而后运用代数求解的手段解出这一量或这一点的坐标，本题的求解便是运用了这一手法.　　（2）这里应用了焦点弦的命题： ，同学们不妨给予证明，或寻找解题的另一途径.　　3、分析：由题设容易确定椭圆的方程.由直线AB、AC与x轴围成以A为顶点的等腰三角形知直线AB与AC的倾斜角互补，因而它们的斜率互为相反数（即两斜率之和为0）这便是我们求解目标的一个等量关系.为便于由这一等量关系求解 ，我们在第一阶段对B、C坐标“解而不设”.当求出直线BC的斜率之后，进而研究△ABC面积的最大值时再考虑对B、C坐标“既设又解”（半心半意地“解”）.　　解：　（1）将点 坐标代入椭圆方程得n＝6　∴椭圆方程为 ①　　由题设知等腰三角形ABC的两腰不能与x轴垂直，故设两腰AB、AC所在直线的斜率分别为 ， ，　　　　　　 　　则直线AB的方程为 ②　　直线AC的方程为③∴由①②联立解得点B坐标为 ∴由①③联立解得点C坐标为 　　由题设知 ∴直线BC的斜率 　　（2）设直线BC的方程为④　　 　　④代入椭圆方程 得 　　∴判别式△>0 　 ⑤　且 ∴ ⑥　　又点A到直线BC的距离 　　∴△ABC的面积 　　当且仅当 时等号成立　∴ ，当且仅当 （满足⑤式）时取得.　　于是可知，当 或 时，△ABC的面积S取得最大值 ，　　此时，直线BC的方程为 ，即 .　　此时又易知BC∥OA（O为原点），B、C两点恰好分别为长轴、短轴的端点.　　点评：本题的难点在于求直线BC的斜率.对此，从已知条件中认识到直线AB和AC的倾角互补，进而 是解题的关键环节.对于B、C两点坐标，立足于“求解”，虽然计算量大一些，但思路简明，解题的技术含量较低，反而容易寻出目标.对于直线与圆锥曲线相交的问题，在适宜的条件下以“求解”回避审题需要的深刻与细腻，也是解题的基本方略.　　4、分析：（1）条件 的转化，化繁为简的策略之一，是线段向x轴或向y轴的投影转化.注意到这里点A在y轴上，故考虑运用这一策略进行转化.　　（2）此为常见的直线与抛物线相交的问题，故考虑对点G、H、E的坐标“既设又解”.　　解：　（1）设M(x,y)，且过点M作MN⊥OY于N　则 　　∴ 　∴点A坐标为 由题设得PA⊥AM　 　 　化简得①　　注意到当x＝0时，点M与点N重合，点Q与原点重合，这与已知条件不符　　因此，动点M的轨迹方程为 ，　其轨迹是顶点在原点，焦点为F(1,0)的抛物线（不含顶点）.　　(2)由（1）知，轨迹C的焦点F(1,0)，准线l：x＝－1　　（ⅰ）当直线m不与x轴垂直时，　　设直线m的方程为y＝k(x-1)（k≠0）①　　 　　将①与 联立，消去x得 　　∴由韦达定理得 ②　　又直线n的方程为 　∴ 　∴ 　　∴ 　∴点E、O、H三点共线　　（ⅱ）当直线m⊥ox时，直线m的方程为x＝1，此时易证点E、O、H三点共线.于是，由（ⅰ）（ⅱ）知，题设条件下的点E、O、H一定在同一条直线上.　　点评：对于（1），已知条件的投影转化促使点M，A的关系明朗，从而为运用“直接法”求轨迹方程奠定基础.　　对于（2），要证点E、O、H三点共线，重点证 也是常用方法.只是不可忽略直线m⊥x轴的情形.“一般”与“特殊”共同组成解题或证明的完整过程.此题的求解也是展示一般与特殊之间辩证关系的一个范例.