高中数学专练：计数原理
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文档简介
计数原理的应用
知识回顾
分类计数原理和分步计数原理
（1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
二基础练习
1 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.
A.24种 B.16种 C.12种 D.10种
2 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）A、125 B、243 C、60 D、10
3 某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是 （ ）
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97 C.9×107 D.81×106
4 .72的正约数共有____12______个.
5 从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有___18_________个，其中不同的偶函数共有______6______个.（用数字作答）
例题分析
例1x,y是满足的整数，则以（x,y)为坐标的点有多少个
当x=1,2时y=2,3,4,5,6,7 当x=3，，时，y=3，4，5，6，7，当x=4时，y=4，5，6，7，故共有21个
变式设，则以(x,y)为坐标的点，在第一象限的有___6__个，在第二象限的点有__3____个，在坐标轴上的有__4____个
例2. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11,故共有个
变题：上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 5=80
例3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____120_________种.（以数字作答）
例4. 关于正整数2160，求它有多少个不同的正因数？40
例5 若把两条异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有____24______对
例6有红.黄，蓝旗各3面，每次升一面，二面，三面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号 3+9+27=39
同步练习
1如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）A．96 B．84 C．60 D．48
2 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
3 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。
A．81 B．64 C．24 D．4
4如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二为____240_____种,图三为____320______种
5 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个
不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
6将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
7 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
9在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）
（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
10 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ )（A）280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
11从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个。（用数字作答）
12用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 40
13如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 16 种.
14 将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 42 种
15将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为________种30
知识回顾
分类计数原理和分步计数原理
（1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
二基础练习
1 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.
A.24种 B.16种 C.12种 D.10种
2 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）A、125 B、243 C、60 D、10
3 某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是 （ ）
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97 C.9×107 D.81×106
4 .72的正约数共有____12______个.
5 从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有___18_________个，其中不同的偶函数共有______6______个.（用数字作答）
例题分析
例1x,y是满足的整数，则以（x,y)为坐标的点有多少个
当x=1,2时y=2,3,4,5,6,7 当x=3，，时，y=3，4，5，6，7，当x=4时，y=4，5，6，7，故共有21个
变式设，则以(x,y)为坐标的点，在第一象限的有___6__个，在第二象限的点有__3____个，在坐标轴上的有__4____个
例2. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11,故共有个
变题：上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 5=80
例3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____120_________种.（以数字作答）
例4. 关于正整数2160，求它有多少个不同的正因数？40
例5 若把两条异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有____24______对
例6有红.黄，蓝旗各3面，每次升一面，二面，三面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号 3+9+27=39
同步练习
1如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）A．96 B．84 C．60 D．48
2 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
3 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。
A．81 B．64 C．24 D．4
4如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二为____240_____种,图三为____320______种
5 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个
不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
6将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
7 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
9在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）
（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
10 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ )（A）280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
11从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个。（用数字作答）
12用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 40
13如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 16 种.
14 将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 42 种
15将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为________种30