四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期末校际联考数学试题（含答案）

仁寿县2023-2024学年高二下学期期末校际联考
数学试题卷
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A．12 B． C．3 D．6
2．某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ）
A．120种 B．240种 C．216种 D．256种
3．（ ）
A．36 B．64 C．128 D．256
4．已知随机变量，，则等于（ ）
A．0.85 B．0.15 C．0.35 D．0.30
5．展开式的常数项为（ ）
A． B． C．42 D．43
6．根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有的把握认为变量与独立
B．有的把握认为变量与不独立
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
7．已知随机变量的分布列如表所示：其中，若，且，则（ ）
0
A．，
B．，
C．，
D．，
8．若函数的定义域为，满足，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列有关回归分析的结论中，正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量与负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C．若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D．若散点图中所有点都在直线，则相关系数
10．一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”，“向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互独立
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值为
B．有两个不同的零点
C．
D．若在区间上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则________．
13．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是________．
14．设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）用二项式定理展开，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
16．（15分）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．
17．（15分）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号 1 2 3 4 5 6
销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．（，，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数
参考数据：，．
18．（17分）已知函数，．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
19．（17分）对于无穷数列，若对任意，，且，存在，使得成立，则称为“数列”．
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．
仁寿县2023-2024学年高二下学期期末校际联考
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C C B D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AB 10．BC 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）展开式的通项公式为， 3分
令，解得，
则展开式的常数项为 6分
（2）设第项的系数最大，
则，解得， 10分
由于为整数，所以，
所以展开式中系数最大的项为 13分
16．（15分）
【解析】（1）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，
，，
，，
所以，的分布列为：．．．8分
0 1 2 3
（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，
每次抽取到黑球的概率均为， 10分
由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，
，，
，，
所以，的分布列为： 16分
0 1 2 3
17．（15分）
【解析】（1），，
， 4分
所以 7分
（2）由题意，
所以， 10分
所以关于的经验回归方程为， 12分
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元 15分
18．（17分）
【解析】（1）当时，，则，
令，得或， 3分
由于，所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增， 6分
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为0 8分
（2）因为，，所以，，
当，即时，
在单调递增， 10分
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增 15分
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，
在单调递减 17分
19．（17分）
【解析】（1）数列的通项公式为，
对任意的，，，都有，，，
取，则，所以是“数列” 3分
（2）数列为等差数列，
①若是“数列”，，，且，，，
则， 5分
对任意的，，，，，
，
由题意存在，使得，即，
显然，所以，即，
．所以是8的正约数，即1，2，4，8，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，．
综上，的可能值为9，10，12，16 10分
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，，，
设数列公差为，则，，
可得，
对任意，，，，，
则，取，
可得，
所以数列是“数列” 17分