高中数学教案：三角函数式的化简与求值

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
三角函数式的化简与求值
　　知识网络
　　三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
　　以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：
　　1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
　　2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
　　3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
　　二、知识要点
　　（一）三角函数坐标定义的推论
　　1、三角函数值的符号　　2、特殊角的三角函数值　　3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
　　（1）课本中的公式：
　　
　　（2）同角公式“全家福”
　　①平方关系： .
　　②商数关系： .
　　③倒数关系：
　　4、 诱导公式：
　　（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
　　① k·360°＋ （k∈Z），－ ，180°± ，360°－ （共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值，等于 的同名函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号；
　　② 90°± ，270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值，等于 的相应余函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号。　
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
　　（2）诱导公式的引申
； ； .
　　（二）两角和与差的三角函数
　　1、两角和的三角函数 　　两角差的三角函数
　　 　　　
　　
　　 　　　
　　
　　 　　　　　　　
　　
　　令 ＝
　　2、倍角公式
　　 ；
　　 ＝ ＝ ；
　　
　　
　　3、倍角公式的推论
　　推论1（降幂公式）：　　
　　 ；　 ；　 .
　　推论2（万能公式）：
　　 ；　 .
　　推论3（半角公式）：
　　 ；　　 ；　　 .
　　其中根号的符号由 所在的象限决定.
　　三、经典例题
　　例1、填空：
　　（1）已知 的取值范围为　　　　　　
　　（2）已知 的取值范围为　　　　　　　　　　　　
　　分析：　（1）从已知条件分析与转化入手
　　 　　 ①
　　又②　∴由①、②得 ，
　　∴应填
　　（2）首先致力于左右两边的靠拢：
　　左边＝①　　右边＝ ②
　　∴由左边＝右边得
　　 ，　　∴应填
　　点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得 ，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.
　　例2.化简或求值：
　　（1） 　（2）
　　分析：
　　（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
　　（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外 ，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.
　　解：（1）原式＝
　　（2）　解法一（利用关于正切的倍角公式）：
　　注意到 　∴
∴原式＝ ＝＝ ＝ ＝cot20°
　　解法二（利用掌握的典型关系式）：
　　注意到 （证明从略）
　　∴原式＝ ＝
　　＝ ＝cot20°
　　点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.
　例3.（1）已知 ，求 的值；
　　（2）已知
　　分析：　对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；
　　对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入， 以准确已知的延伸方向.
　　解：　（1）由已知得
　　∴ 　注意到
　　∴由已知得 （至此，目标的变形方向明确）
　　于是有　　 原式＝ ＝
　　（2）由已知得原式＝ ＝ ＝ ①
　　（至此寻求的目标明确）　又∵ 　∴
　　∴ 　②　　于是②代入①得，原式＝ .
　　点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性.
　　例4.　　（1）已知
　　（2）已知
　　（3）已知
　　（4）已知
　　分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
　　解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式： （和差与倍半的综合关系）
　　∴ ＝ 　 ①
　　∵ 　　∴
　　∴ ②
　　 　 ③
　　∴将②③代入①得　　
　　（2）注意到这里有关各角的关系式：　　 （和差与倍半的综合关系）
　　∴ ＝①
　　∵ 　∴ 　　∴
　　又②　　∴③
　　∴将②③代入①得
　　于是有 .
　　（3）注意到这里有关各角之间的关系式
　　 　　∴
　　∴ 　　 ①
　　∵ 　∴
　　又②　　∴③
　　∴将②③代入①得 ，　　故得
　　（4）　　解法一（从寻找两角 与 的联系切入）：　由已知得：①
　　∵ 　　∴②　　 ③
　　此时注意到 在 内单调递增.　　∴由①②③得 　　∴
　　于是得 .
　　解法二（从已知式的化简切入）　　由已知得　　
　　④
　　∵ 　∴ ∴由④得⑤ 于是再由 及⑤得 .
　　点评：　对于（1）（2），侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系；
　　对于（3），侧重特殊角来建立有关各角的关系式；
　　对于（4），既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值 　　未知三角函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值 有关角的量值 未知三角函数值
　　例5、　　(1)设
　　（2）设
　　分析：（1）注意到未知式的复杂，考虑从化简和认知目标切入，以明确已知条件的延伸方向：
　　原式＝ ，故解题从求 突破.
　　（2）在分析与变形目标中发现上，下面两式的联系：
　　原式＝ ，故解题从求 突破.
　　解：　（1）原式＝ ①　∵ 　　 ∴
　　∴由 得
　　∴ 　　 ②
　　
　　∴ ③　　 ④
　　于是将②③④代入①得　　 原式＝
　　（2）原式＝ ⑤　　∵ ∴
　　∴由 得 　　∴⑥
又注意到⑦　∴将⑥⑦代入⑤得，原式＝
　　点评：（1）（2）两题的条件与目标相似，此时解题可谓“仁者见仁，智者见智”，不同的关注点，引出不同的切入点和突破口.
　　例6、　（1）已知 ， 且
　　（2）已知
　　（3）已知
　　分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决.
　　对于（1）着眼于目标 ，故从求 切入；
　　对于（2）着眼于目标 ，故从求 切入与突破；
　　对于（3），由已知导出 的函数值，方向不明，此时注意到 ，故转而考虑从寻觅 的方程与求解入手.
　　解：
　　（1）∵ ，①　　　②　　则①2＋②2得
　　∴③　　又
此时注意到①中 ，　故得 ④
　　于是由③④得 　　因此有
　　点评1：本题容易引发的错解为由③得 ，因而有 ，错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值，而未能利用已知数据的符号.事实上，三角条件求值的特色之一，是在求解过程中常常将已知数据的绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一“分开使用”的示范.
　　（2） ①　　由 　　 ②
　　 ③　　∴②2＋③2得 　　∴④
又③2－②2得 　 ⑤
　　∴④代入⑤得 ⑥　于是将④⑤代入①得，原式＝
　　（3）由①　　∴
　　又由②　　∴将①②联立方程组，解得
　　∴
　　点评2：求解（2）（3）的共同之处，是首先认知目标，而后有的放矢地去求索，认知目标以明确寻求的方向，此为条件求值的基本原则；不过，当目标有不同的“面孔”时，需仔细斟酌与选择追求的对象.
　　四、高考真题
　　（一）选择题
　　1、（江苏卷）若
　　 　　　　 B. 　　　　　　　　C. 　　　　　　D.
分析：由 ∴
　　∴应选A.
　　2、（浙江卷）已知k<－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（　　 ）
　　A. 1　　　　　　　　　　 B. －1　　　　　　　　 C. 2k+1　　　　　　　　 D. –2k+1
　　分析：y＝2cos2x＋kcosx－k－1＝2（cosx＋ ）2－（ ）　∵k<－4，　　 ∴－ >1
　　又－1≤cosx≤1　　∴当cosx＝1时，y取最小值1，故选A.　　应选A.
　　（二）填空题
　　1、（全国卷 II ）设 　　　　　　　　　　
　　分析：注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系
　　 　由已知得
　　 　　
　　∴ ①　　∴ 　∵②
　　又 为第四象限角　　∴由②得 ③　　于是由①③得，
　　（三）解答题
　　1、化简 ，并求函数f（x）的值域和最小正周期.
　　分析：欲求f（x）的值域和最小正周期，第一选择是将f（x）化为 的形式.
　　解：
　　＝ 　＝
　　＝ 　＝ 　＝ 　＝4cos2x
　即f（x）＝4cos2x（x∈R）　∴f（x）的最小正周期T= ；　又－1≤cos2x≤1（x∈R）∴f（x）的值域[－4，4]。
　　点评：本题从考查三角函数的诱导公式、和（差）角公式、以及三角函数的周期和值域切入，重点考查f（x）向一般形式的化归和转化能力.
　　2、已知函数f（x）＝
　　（1）求 的值；　（2）设
　　分析：为便于计算或化简，在可能的情况下，以首先将f（x）化为 的形式为上策.
　　解：运用倍角公式得 ＝ ＝
　　（1） ＝ 　＝ 　＝0
　　（2） 　　∴
　　∴ 　＝ 　＝
　　∵ 　　　　 ∴ 　　∴
　　点评：若f（x）是形如 的sinx，cosx的二次齐次式，则一般要将f（x）化为 的形式后求解.
　　3、已知
　　（1）求 的值；　　（2）求 的值.
　　分析：已知 的值，要求sinx，cosx或可用sinx，cosx表出的三角式的值，典型解法之一是“配对”解法，即先求 的值，而后将上述两式联合，解出sinx，cosx的值再作道理.而本题恰是为了解（2）作了铺垫.
　　解：　（1）对于①　　由①式两边平方得　　
　　∴②　　∵ ，∴cosx＞0，sinx＜0　　∴sinx－cosx<0
　　∴由②得sinx－cosx＝－ ③
　　（2）将①③联立，解得 　∴原式＝
　　点评：注意到由①2得 ，故这里只利用了已知数值 的绝对值，对于比较复杂的问题，还要注意利用这里的 或 的符号，据此来进行筛选或认定相关三角式的取值.对此，请大家参见本专题经典例题，以强化这一方面的认知.
　　4、条件求值系列：
　　（1）已知
　　（2）已知
　　（3）已知 ，（ⅰ）求 的值；（ⅱ）求 的值.
　　分析：
　　注意到（1）中已知等式复杂，故从化简和认知“已知”切入；
　　而（2）中“已知”与目标疏远，故首先从已知中角的关系入手主动靠拢目标，而后视具体情况再决定下一步的动作；
　　至于（3），易见应从化简和认知目标切入，利用（ⅰ）的结果更为简便.
　解：（1）由已知得 ∴①
　　由已知得 ， ，∴ ， 即 　　∴tan ，∴由①得
　　∴ 　＝
　　＝ 　　＝
　　（2）注意到 互为余角，由已知得
　　 ②　　∵ ∴
　∴由②得于是有原式＝ ＝
　　＝ 　＝　＝ 　　=
　　(3)　　(ⅰ)由已知得 ，由此解得
　　(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝
　　点评：
　　对于（1），解题有两大障碍：一是，认知与化简已知，导出 ；二是，自行推导 关于 的表达式（即人们常说的万能公式）.解题策略值得领悟与借鉴.
　　对于（2），从 互为余角切入，乃是简化解题过程的关键环节.此外，因势利导求出角 ，虽属特例，但也展示了三角解题的灵活性.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网