昆明市2023~2024学年高一期末质量检测
数学参考答案及评分标准
二、选择题
题号
1
2
9
10
11
答案
D
D
B
C
BD
ABC
AC
三、填空题
12.{0,1}
13.(0,+0o)
14.(2,2+V3),(3cos0-sin0,V5sin0+cos0(第一空2分，第二空3分)
四、解答题
15.解：(1)√3b=2 asin B,由正弦定理可得√3sinB=2 sin Bsin A,
又sinB≠0，所以sinA=
2
因为△ABC为锐角三角形，故A=
…5分
(2)△ABC的面积为Sac=)besin=V5,所以bc=4,
2
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即4=b2+c2-2 bccos
3
整理得4=b2+c2-bC,所以(b+c)2-3bc=4,即(b+c)2=4+3bc=16,所以b+c=4,
所以△ABC的周长为a+b+c=6.
…13分
16.解：(1)记这80家企业2023年销售额的众数、平均数分别为x众、x,
由频率分布直方图可得
80+90=85,
2
x=65×0.1+75×0.15+85×0.45+95×0.25+105×0.05=85,
所以估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85.…6分
数学参考答案及评分标准·第1页（共4页）
(2)由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为65~105之间，
估计该地区企业净利润在65~105之间的概率为1-0.01×5-0.005×5=0.925，
所以0.925×1000=925（家），
估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内，…15分
17.解：(1)证明：如图，连结CD交DC于P,连结EP,
N
A
B
E
在长方体中，由CDDC为矩形得P为CD的中点，
由E为BC的中点，得EP∥BD,
又EPC平面EDC,BD丈平面EDC,
所以BD,∥平面EDC.
…6分
(2)α与长方体的面的交线如图所示，
…9分
交线围成平行四边形BMD,N,其中M,N分别为AD,B,C的中点，
由已知得MD=2W2,MB=2N5,BD=V42+42+22=6,
所以mLBn-t56-D,am=
3v10
2×2√2×2V5
10
10
所以四边形BMD,N的面积为
S=MD·MB-sin∠BMD,=2W2x2N5×3i
10
=12.…15分
数学参考答案及评分标准·第2页（共4页）秘密★启用前 【考试时间: 7 月 4 日 】
昆明市2023-2024学年高一下学期7月期末考试
数 学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上, 并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目, 在规定的位置贴好条形码。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 的 分位数是（ ）
A. 12 B. 13 C. 30 D. 34
2. 已知 ,则 （ ）
A. B. C. 7 D. -7
3. 已知向量 满足 ,且 ,则 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是两个平面, 是两条直线,则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. “函数 为奇函数” 是 “函数 为偶函数” 的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知某圆台的两底面半径分别为 1 和 4,侧面积为 ,则该圆台的体积等于（ ）
A. B. C. D.
7. 点 是以 为直径的单位圆上的动点, 到 的距离分别为 ,则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 某班同学身高的平均数为 ,方差为 ,其中女生身高 的平均数为 ,方差为 ,男生身高 的平均数为 ,方差为 ,下列说法错误的是（ ）
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在复数范围内,方程 的两个根分别为 ,则（ ）
A. B.
C. D.
10. 掷一枚质地均匀的骰子两次,设 “第一次骰子点数为奇数”, “第二次骰子点数为偶数”, “两次骰子点数之和为奇数”, “两次骰子点数之和为偶数”,则（ ）
A. 与 互为对立事件 B. 与 相互独立
C. D.
11. 函数 ,则下列说法正确的是（ ）
A. ,使得 为单调函数 B. ,使得 有三个零点
C. ,使得 有最大值 D. ,使得 的值域为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知集合 ,则 .
13. 设函数 ,若曲线 与曲线 有两个交点, 则实数 的取值范围是 .
14. 已知 绕点 逆时针旋转 得到 ,则点 的坐标为 ;
一般地, 绕 逆时针旋转 得到 ,则 的坐标为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设锐角 的内角 的对边分别为 .
（1）求 ;
（2）若 ,且 的面积为 ,求 的周长.
16. (15 分)
为了解某地区 1000 家中小型企业 2023 年的净利润 (单位: 万元) 情况, 从中随机抽取 80 家企业的净利润数据, 画出频率分布直方图, 如图所示.
（1）估计该地区中小型企业 2023 年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
（2）已知这 80 家企业 2023 年净利润的标准差为 10 , 估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、 2 倍标准差的范围内.
17. (15 分)
如图,已知长方体 中, 为 的中点, .
（1）证明: 平面 ;
（2）设平面 平面 ,且 ,在图中作出 与长方体表面的交线 (不必说明作法和理由), 并求交线围成图形的面积.
18. (17 分)
已知函数 .
（1） 讨论 的单调性 (不需证明);
（2）若 ,
(i) 解不等式 ;
(ii) 若 在区间 上的最小值为 ,求 的值.
19. (17 分)
平面区域 是平面区域 的一部分,在 内随机取一点,事件 表示所取点在区域 内,则 .
大量试验表明,随着试验次数 的增大,事件 发生的频率 逐渐稳定于事件 发生的概率,这个性质称为频率的稳定性,我们可以用频率 估计概率 .
（1）为了估算曲线 与 轴围成的区域 的面积,记点集 表示的区域为 (矩形及内部),如图 1 所示. 利用计算机在区域 内随机生成 10000 个点,统计后发现,有 6400 个点落在区域 内. 试估算 的面积. ( ,结果保留一位小数)
（2）1777 年, 蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法. 在平面上有一组平行直线, 相邻两条平行直线距离均为 6 , 向平面上随机投下一根质地均匀, 长度为 2 的细针, 记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为 ,细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为 ,如图 2 所示. 特别地,细针所在直线与平行直线平行或重合时, .
(i) 针与平行直线有公共点时,写出 与 满足的不等关系式;
(ii) 记录投针次数为 ( 足够大),针与平行直线有公共点次数为 .一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点 ,利用 (1) 的结论,求圆周率 的近似值 (用 表示).
图 1
图 2
