高中数学专练：数列专题练习

数列专题练习
　　一、选择题（每题4分，共32分）　　1.数列1，3，6，10，15，…的通项 等于（　　　 ）　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 　　2.已知等差数列｛ ｝中， ＋ ＝16， ＝1，则 的值是（　　 ）　　A. 15　　　　 B.30　　　　　　 C.31　　　　　　 D. 64　　3.在等差数列｛ ｝中， ＋3 ＋ ＝120 ，则3 － 的值为（　　　　 ）　　A.6　　　　　 B. 12　　　　　　 C. 24　　　　　　　　 D.48　　4.在各项都为正数的等比数列｛ ｝中，首项 ＝3，前三项的和为21，则 ＋ ＋ 等于（　　 ）　　A.33　　　　　　　　 B. 72　　　　　　 C. 84　　　　　　　　 D. 189　　5.在数列｛ ｝中， ＝1，当n≥2时，恒有 ，则 等于（　　　　 ）　　A. 　　　　　　　　B. 　　　　　　　　C. 　　　　　　　　D. 　　6.在数列｛ ｝中，已知 ＝1， ＝5， ＝ － （n∈N※），则 等于（　　 ）　　A. －4　　　　　　 B. －5　　　　　　 C. 4　　　　　　　　 D. 5　　7.已知等比数列｛ ｝中， ＝a， ＝b（m∈N※）则 等于（　　 ）　　A. 　　　　　　　　B. 　　　　C. 　　　　　　D. 3b－2a　　8.已知等差数列｛ ｝中， ≠0，若m>1，且 － ＋ ＝0， ＝38，则m的值为（　　 ）　　A.　　 38　　　　　　 B. 20　　　　　　 C.　　 19　　　　　　　　 D. 10　　二、填空题（每题5分，共20分）　　1.已知等比数列的公比为2，且前4项之和等于1，那么它的前8项之和等于　　　　　　 。　　2.设｛ ｝是公比为q的等比数列， 是它的前n项和，若｛ ｝是等差数列，则q=　　　　 。　　3.各项都是正数的等比数列｛ ｝的公比q≠1，且 ， ， 成等差数列，则 =　　　　　　　　　　 。　　4.设数列｛ ｝的前n项和为 ， ，且 ＝54，则 =　　　　　　 。　　三、解答题（本大题共有4题，满分48分）　　1.（本题满分12分）已知三个数的积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，试求这三个数排成的等差数列.　　2.（本题满分12分）已知数列｛lg ｝是等差数列，且第s项为r，第r项为s（0 ，求n的取值范围.　　答案与解析　　一、选择题　　1、选C.　解析：由 ＝3否定B,D;　　由 ＝6否定A，　　故应选C.　　2、选A.　解析：设公差为d，则有 　　∴ ＝ ＋11d＝15，故选A.　　3、选D.　解析：由 ＋3 ＋ ＝120得5 ＝120， ＝24.　　∴3 － ＝3（ ＋8d）－（ ＋10d）（d为公差）＝2 ＋14d＝2（ ＋7d）＝2 ＝48.　故选D.　　4、选C.　解析：设公比为q，则由 ＋ ＋ ＝21得 （1＋q＋ ）＝21　∵ ＝3，∴1＋q＋ ＝7　　由此解得q＝2（q＝－3舍去）　∴ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ＋ ）＝84　　5、选D.　　解析：当n≥2， ＝ ，故选D.　　6、选D.　解析：由已知递推式得 　∴ 　　由此得 ，故应选D.　7、选C.　解法一（利用通项公式）设｛ ｝的公比为q， 则由已知得 ∴ ①　又 ②∴由①②得x＝b ＝b 　应选C.　　解法二（利用等比数列的性质）由等比数列性质得　 　　∵m+5，m+30,m+55,m+80，m+105,m+130成等差数列.　∴ 成等比数列.　　其公比 　∴ 　　∴ 　应选C.　　8、选D.　解析：由｛ ｝为等差数列得 　又这里 　　故得 　而这里①　再由 　　 ②　　①代入②得 2m－1＝19，解得m＝10.故应选D.　　二、填空题　　1、答案：17　解法一（利用求和公式）：由已知得 　　∴ 即 　　∴ 　　解法二（利用通项公式）：∵ 　　∴ ＝ ( )　=1+2 =17　　2、答案：1　　解析：注意到 ＝ 　又｛ ｝为等差数列　　∴当n≥2时， 　∴ 　而 即q＝1.　　解法二：由已知得 　∴2 　∴ 　由此得q＝1.　　3、答案： 　　解析：注意到 ＝　只要求出q；由已知条件得 　　∴ 由此解得q＝ 　∵ >0，∴q>0　　∴q＝ 　　于是得 ＝ 　　4、答案：2　解析：由已知得 ∴ 　　∴54 ＝108　　∴ ＝2.　　故应填2.　　三、解答题　　1、分析：为减少引入的参数的个数，运用“对称设法”；由题意设这三个数为 、－2、－2q，只是不知道如何排列后三个数才能依次成等差数列，由此引入讨论。　　解：由题意设这三个数为 ，－2，－2q　（1）若－2为 及－2q的等差中项，则有（ ）＋(－2q)＝－4　　∴ －2q＋1＝0，即q＝1　此时，三个数分别为－2，－2，－2，满足题意.　　（2）若 为－2及－2q的等差中项，则有（－2）＋（－2q）＝－ ∴ ＋q－2＝0　（q＋2）（q－1）＝0∴q＝－2或q＝1。当q＝－2时，三个数分别为－2，1，4，满足题意；当q＝1时三个数分别为－2，－2，－2.亦满足题意.　　（3）若－2q为 －2及 的等差中项，则有（－2）＋（ ）＝－4q　2 －q－1＝0（q－1）（2q＋1）＝0∴q＝－ 或q＝1。当q＝－ 时，三个数分别为4，1，－2.满足题意；当q＝1时，三个数分别为－2，－2，－2.满足题意.于是综合（1）、（2）、（3）可得，所求这三个数排成的等差数列分别为：－2，－2，－2；－2，1，4；4，1，－2.　　点评：以所设三个数中哪个数作等差中项为主线展开讨论，分类清晰，层次分明，值得今后解题时学习、借鉴.　　2、分析：由等差数列与等比数列的联系可知，这里的数列｛ ｝为等比数列.因此，欲求 ，先求等比数列｛ ｝的首项和公比.　　解：设数列｛lg ｝的公差为d，则有　lg －lg ＝d（n∈N※），　∴ （n∈N※），　　∴数列｛ ｝为等比数列.　　设数列｛ ｝的公比为q，则由已知得　　 　　∴由 　　又01即n≥2　　∴所求n的取值范围为｛n|n≥2，n∈N※｝.　　点评：由已知条件解出Sn进而由Sn入手求an，这一突破口选择适当，则解题思路清晰，解题过程层次分明.