高中数学教案：等差数列与等比数列

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等差数列与等比数列
　　一、高考考点
　　1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.
　　2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 ；求 ；解决关于 或 的问题.
　　3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 ；求 ；解决有关 或 的问题.
　　4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.
　　5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.
　　6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。
　　二、知识要点
　　（一）、等差数列
　　1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
　　认知：｛ ｝为等差数列 － =d(n∈N※且d为常数)　 － =d (n 2, n∈N※且d为常数)
　　此为判断或证明数列｛ ｝为等差数列的主要依据.
　　2.公式 　（1）通项公式： = +（n－1）d：　　引申： = +（n－m）d　　 （注意：n=m+(n－m) ）
　　认知：｛ ｝为等差数列 为n的一次函数或 为常数 =kn+b　　 (n )
　　（2）前n项和公式： = 或 =n +
　　认知：｛ ｝为等差数列 为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )
　　3.重要性质
　　(1)｛ ｝为递增数列 d＞0;　　｛ ｝为递减数列 d＜0;　　｛ ｝为常数列 d=0
　　(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;
(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.
(4)设 , , 分别表示等差数列｛ ｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则 , , …依次成等差数列.
　　（二）等比数列
　　1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.
　　认知：（1）｛ ｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)
　　(2）｛ ｝为等比数列 (n≥2，且 ≠0 ) 　(n ※，且 ≠0)
　　2.公式　（1）通项公式： = ；　引申： = （注意：n=m+(n－m) ）
　　认知：｛ ｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )
　　（2）前n项和公式　　
　　认知：｛ ｝为等比数列 =A +B　　 （其中n ，且A+B=0）.
　　3．主要性质：
　　（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ;　　（2）2m=p+q
　　即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.
　　（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。
　　（三）等差数列、等比数列的联系与个性
　　等差数列与等比数列定义中的一字之差，导致它们的主要性质具有惊人的相似之处，也造就出它们之间密切联系的必然.然而，它们毕竟是两种不同的数列，各自又必然具有鲜明的个性.因此，认知联系，了解个性，是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必要的基础和准备.
　　1.联系（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛ ｝为等比数列且
　　（i=1,2……,n,……） ｛ ｝( 且 )为等差数列.
　　引申：若｛ ｝为正项等比数列，且定义 ＝ ，则｛ ｝亦为等差数列.
　　（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则
｛ ｝为等差数列 ｛ ｝为等比数列.（3）｛ ｝既是等差数列，又是等比数列 ｛ ｝是非零常数列.
　　2.个性
　　（1）倒数　等比数列各项的倒数仍成等比数列；
　　除常数列外，等差数列各项的倒数不再成等差数列（它们组成一个新数列，称为调和数列）.
　　（2）中项　任何两数的等差中项存在且唯一；
　　只有两个同号数才有等比中项，并且它们的等比中项是互为相反数的两个值.
　　（3）解题策略　　解决等差数列基本策略：两式相减，消元化简；　　解决等比数列基本策略：两式相除，消元降幂.
　　三、经典例题
　　例1.已知数列｛ ｝共有k（定值）项，它的前几项和 ＝2n2＋n（n≤k，n∈N※），现从这k项中抽取一项（不抽首项和末项），余下的k－1项的算术平均值为79.　（1）求 ；　（2）求数列的项数k，并求抽取的是第几项.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：注意已知 ＝2n2＋n，欲求 ，立足于公式 ＝
　　解：（1） ；　　当n≥2时，
　　又 ＝3适合上式，　∴ ＝4n－1，（n≤k，n∈N※）.
　　（2）设抽取的是数列｛ ｝的第t项（1　由题意得 － ＝79（k－1）∴（2k2＋k）－（4t－1）＝79k－79∴4t＝2k2－78k＋80②　　∵1　　∴由②得 4<2k2－78k+80<4k
　　∵k∈N※　　∴k＝39　　∴由②得t＝20.　　于是可知，数列｛ ｝共有39项，抽取的是第20项.
　　点评：捕捉并利用题设条件中的不等关系，是解题成败或失分的重要环节.在这里，设抽取的是数列｛ ｝中的第t项 之后，揭示并利用1　　例2．设数列｛ ｝的前n项和为 ，对所有正整数n都有 ≠0，且 ＋ ＝k ，是否存在正整数k，使得数列｛ ｝为等比数列.
　　分析：关于 和 的问题，仍要立足于公式 ＝ ，只是在处理特殊与一般的两种情况能否“合二为一”的环节，大家要格外小心.
　　解：假设符合题意的正整数k存在，则有
　　 ＋ ＝k （本题特殊性）①　　又 － ＝ （数列普遍性）②
　　∴①＋②得2 ＝（k＋1） （n∈N※）　　 ③　　∴2 ＝（k＋1） （n≥2）（近亲繁殖）④
　　∴③－④得　　 2 ＝（k＋1）（ － ）　　 =
　　由题设易见k≠1（不然，便会由④导出 ＝ （n≥2）的矛盾）　　故得 ＝ （n≥2） ⑤
　　另一方面，由题设得 ＋ ＝k （注意特殊情形的考察从原式入手）　　∴2a1＋ ＝k
　　∴ ＝ ⑥　　由⑤⑥令 ＝ ，则此方程无解，　　∴ ≠ 　　 （n≥2）⑦
　　于是由⑤⑦知，数列｛ ｝不是等比数列，这与题设矛盾
　　因此，不存在满足题设条件的正整数k，使得数列｛ ｝为等比数列.
　　点评：解决数列｛ ｝的递推式问题或 与 的关系问题，仍然是一要注意“细节”：对n的范围的认定与标注；二要注意“晚节”：综合结论前要特别注意对n的特殊取值的考察.对于本例，若将④错认为是
2 ＝（k＋1） （n∈N※），则会导出 ＝ （n∈N※），进而作出错误判断.
　　例3．在等差数列｛ ｝中，公差d≠0， 是 与 的等比中项，已知 ， ， ， ，……， 成等比数列，求数列｛ ｝的通项 .
　　分析：此题是等差数列｛ ｝和它的子数列的问题，因此，解题要立足于等差数列｛ ｝，从认知｛ ｝的特性入手去了解.认知它的子数列｛ ｝或相关数列｛ ｝.
　解：由题设得 ＝ ＋（n－1）d ①　　 2＝ 　 ②∴由①②得
　　又d≠0，　　∴d＝ 　　∴ ＝nd（数列｛ ｝特性）③
　　∴又由 ， ， ， ，……， 成等比数列　　得：d，3d， d， d，……， d成等比数列
　　又注意到d≠0，故有1，3， ， ，……， 成等比数列.　　由此得 　 即 （n∈N※）
　　点评：解决数列和它的子数列问题，务必要注意子数列中各项的“双重属性”.对于本题中的数列｛ ｝的子数列 ， ， ， ，……， 是等差数列｛ ｝的第 项，有 ＝ ＋ ；　　 又是上述子数列的第n＋2项，又有 ＝ qn＋1（这里q＝3）.解决此类问题时，这“双重属性”都要注意考察与运用.
　　例4、（2005江苏卷）设数列｛ ｝的前n项和为 ，已知 ＝1， ＝6， ＝11，且 （n＝1，2，……）其中A，B为常数.
　　（1） 求A与B的值；　　（2） 证明：数列｛ ｝为等差数列；
　　（3） 证明：不等式 对任何正整数m，n都成立.
　　分析：关于 与 的问题，当然要利用基本关系式 ＝ ，只是要注意捕捉应用这一公式的最佳时机：有时，一开始便运用公式为好；有时，对已知式化简或变通后再用公式为上.在这里，注意到已知关系式的复杂性，考虑先化简或转化，条件适当时再用公式.
　　解：（1）由已知得 ＝ ＝1， ＝7， ＝18　又在已知关系式中分别令n＝1，2得
　　 　由此解得A＝－20，B=－8.
　　（2）证明：由（1）得①
　　∴由①得 （近亲繁殖）②
　　∴②－①得 ③
　　∴由③得 （再次近亲繁殖） ④
　　∴④－③得⑤
　　此时，注意到 　∴由⑤得
　　又5n＋2≠0　　故得 　即⑥
　　又 － ＝ － ＝5　 ⑦　∴由⑥⑦知数列｛ ｝是首项为 ＝1，公差d＝5的等差数列.
　　（3）证明：由（2）得＝5n－4
　　又 　 ①
　　∵ 　 ＝25mn－20（m＋n）＋16
　　∴要证原不等式成立.　只要证明对任意m，n∈N※都有①成立
　　只要证 　只要证 ②
　　此时注意到 ＝5m+5n－8　又15m＋15n－29>0
　∴ 即 ∴②式成立∴原不等式成立.
　　点评：（1）证明（2），两次利用近亲繁殖，两次运用两式相减：②－①消去原来右边的（－20n），④－③消去原来右边的－20，从而使得新递推式左边为0.这种战略眼光和胆略值得我们学习.
　　（2）证明（3），分析转化，有目的地凑项，也是经常运用的解题策略，值得我们细细品悟和借鉴.
　　例4．已知数列｛ ｝是公比为q的等比数列，且 ， ， 成等差数列.
　　（1） 求q的值；　（2） 设｛ ｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为 ，当n≥2时，比较 与 的大小，并说明理由.
　　分析：（2）仍是 与 的问题，解题或讨论时要注意q取特殊值及n取特殊值的细节之处.
　　解：（1）由题意得 ， 又 ，　∴ 　∵ ， ∴
　　∴q＝1或q＝－ .
　　（2）若q＝1，则 ＝2n＋ ，
　　∴当n≥2时， － ＝ ＝ ＝ 　　∴ > ；
　　若q＝－ ，则 ＝2n＋ ∴当n≥2时， － ＝ ＝
　　由此可知，当2≤n≤9时， － ，即 > ；　当n＝10时， ＝ 　当n≥11时， < .
　　于是综合上述讨论可知，对于n≥2 （n∈N※），　若q＝1，则 > ；　若q＝－ ，则当2≤n≤9时， > ；
　　当n＝10时， ＝ ；　当n≥11时， < .
　　四、高考真题
　　1．设等比数列｛ ｝的公比为q，前n项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则q的值为（　　 ）
　　分析：从运用等比数列求和公式切入.　注意到当q＝1时，　 　　
　　又 ，∴2 　∴这里q≠1.　　而当q≠1时，由 得
　　2 (1－ )＝ 　整理得 由此解得q＝－2，　故应填－2.
　　2．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.
　　分析：注意到这里a，b，c成等差数列，且已知它们的和为15.故运用“对称设法”.
　　解：设实数a，b，c所成等差数列的公差为d，　则a＝b－d，c＝b＋d.
　　∴由已知条件得由（1）得b＝5　　代入（2）得36＝（6－d）（9＋d）
　　 　（d－3）（d＋6）＝0　∴d＝－6或d＝3　当d＝－6时，得a＝11，c＝－1；
　　当d＝3时，得a＝2，c＝8；　　∴所求a，b，c的值为a＝11，b＝5，c＝－1或a＝2，b＝5，c＝8.
　　3．数列｛ ｝满足 ＝1，且 ，记
　　（1）求 的值；　　（2）求数列{ }的通项公式及数列｛ ｝的前n项和 .
　　分析：欲求 ，可先求关于数列｛ ｝的递推式.因此，考虑以｛ ｝的递推式向｛ ｝的递推式的转化切入.
　　解：（1）由 得①　　①代入已知递推式得
　　 　
　　 　由此解得 ②　　又 ， ＝1，　∴
　　∴由②得 　∴所求 ，　　
　　（2）解法一（变形、转化）由②入手凑项得　 　又 ，
　∴数列｛ ｝是首项为 ，公比为2的等比数列　∴ ＝ ×2 即 （n∈N※）③
　　于是由①得 ＝ ＝
　　∴ ＝ ＝ 　＝ （n∈N※）
　　解法二（列举――猜想――证明）由（1）得 　 ，
　　注意到
　　由此猜出：数列｛ ｝是首项为 ，公比为2的等比数列　由此可得 ＝ （以下证明从略）.
　　4．设无穷等差数列｛ ｝的前n项和为 .
　　（1）若首项 ＝ ，公差d＝1，求满足 的正整数k；
　　（2）求所有的无穷等差数列｛ ｝，使对于一切正整数k都有 成立.
　　分析：（1）注意到这里要求的是项数k，故选用第二求和公式　
　　（2）解决此类恒成立问题，从“特殊”入手切入.故这里也从k＝1，2入手突破.
解：（1）当 ＝ ，d＝1时， ＝ ∴由 得 ，
　　 　又k≠0，故得k＝4.
　　（2）设数列｛ ｝的公差为d，则在 中分别取k＝1，2得　 　　　　　　　　　　　　　　
　　解得 ＝0或 ＝1
　　（ⅰ）当 ＝0时，代入②解得d＝0或d＝6　若 ＝0，d＝0，则 ＝0， ＝0，从而 成立；
若 ＝0，d＝6，则 ＝6（n－1），由 ＝18， ＝324， ＝216知， ≠ ，故所得数列不合题意.
　　（ⅱ）当 ＝1代入②解得d＝0或d＝2　　若 ＝1，d＝0，则 ＝1， ＝n，从而 成立；
　　若 ＝1，d＝2，则 ＝2n－1， ＝1＋3＋……＋（2n－1）＝ 　　从而 成立.
　　于是综合以上讨论可知，共有3个满足条件的无穷等差数列：
　　（Ⅰ）｛ ｝: ＝0，即0，0，0，……；　　（Ⅱ）｛ ｝: ＝1，即1，1，1，……；
　　（Ⅲ）｛ ｝: ＝2n－1，即1，3，5，……，2n－1，…….
　　点评：对于（2），从k＝1，2入手求出 及d的值，而后再说明或论证这样的数列｛ ｝是否符合题意，循着“一般～特殊～一般”的辩证途径切入问题并引向纵深.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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