山东省青岛第六十七中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题（含答案）

青岛第六十七中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）．
A．290 B．295 C．300 D．330
2．已知，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
3．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
4．在平行四边形ABCD中，，若AE交BD于点M，从（ ）．
A． B．
C． D．
5．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为（ ）．
纵式：
横式：
A． B． C． D．
6．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ）．
A．1 B． C． D．2
7．如图，已知矩形ABCD，，，沿对角线AC将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）．
A．1 B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，，为复数，．下列命题中正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ）．
A．异面直线与所成角的取值范围是
B．三棱锥的体积随着点M的运动而变化
C．直线平面
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C．若点P为BC的中点，则
D．若，则为定值18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，满足，，且，则__________．
13．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是__________．
14．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求a；
（2）已知点D在线段BC上，且，求AD长．
16．（本小题满分15分）
如图，三棱柱的棱长均为2，点A在底面ABC的射影O是AC的中点．
（1）求点A到平面的距离；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为1．
（1）求角A；
（2）求边a的最小值．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）若二面角的大小为，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．
19．（本小题满分17分）
树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．
（1）证明：；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
（3）如果数学成绩分数在内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．
附：，，．
高一期末数学测试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC 10．AC 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）在中，由及余弦定理，
得，（2分）
即，（3分）
而，，所以．（5分）
（2）由余弦定理得．（7分）
（3）C为三角形内角，则，（9分）
而，于是，（10分）
在中，由正弦定理得，（11分）
所以．（13分）
16．（本小题满分15分）
【详解】（1）由点在底面ABC的射影O是AC的中点，可得平面ABC，（1分）
又由是等边三角形，所以OB，OC，两两垂直，
以OB，OC，分别为x，y，z建立如图所示的空间直角坐标系，（2分）
因为三棱柱的棱长都是2，所以得，，
可得，，，，，
所以，（4分）
在平面中，，，（5分）
设法向量为，则有，可得，
取，可得，，
所以平面B的一个法向量为，（7分）
记点A到平面的距离d，则．（9分）
（2）在平面中，，，（10分）
设法向量为，则有，可得，
取，可得，，所以，（12分）
设平面与平面所成角为，则，（14分）
所以平面与平面所成角的余弦值．（15分）
17．（本小题满分15分）
【详解】（1）因为，
所以，（1分）
，（2分）
，（3分）
，（4分）
因为，，，（5分）
所以，又，所以．（7分）
（2）因为BC边的中线长为1，所以，（8分）
所以，即，
解得，当且仅当时取等号．（10分）
所以
，（14分）
所以a的最小值为．（15分）
18．（本小题满分17分）
（1）因为，，Q为AD的中点，
则且，
所以四边形BCDQ为平行四边形，所以，
因为，所以，即．
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAD，
因为平面MQB，所以平面平面PAD．（5分）
（2）因为，Q为AD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，又因为，
如图，以Q为原点，以QA、QB、QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，其中，
所以，
又，设平面MPQ的法向量为，
则，所以，
取，得，
由题意知平面BQC的一个法向量为，
因为二面角为，所以，
因为，解得，所以，
易知平面PAD的一个法向量为，
．
所以QM与平面PAD所成角的正弦值为．（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）
（2分）
∵
同理．（4分）
所以．（5分）
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，
则，（6分）
所以．（8分）
又，所以．
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．（10分）
（3）由题意，将成缋等级为C的4名学生记为，，，，
成绩等级为D的2名学生记为，，（11分）
随机抽取2名学生的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，
共15个基本事件．（13分）
其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含，，，，，，，，，共9个基本事件．（15分）
∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为．（17分）