高中数学教案：函数的性质

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函数的性质（二）
　　一、知识网络（略）
　　二、高考考点（略）
　　三、知识要点
　　3、周期性
　　(1)定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
　　认知：
　　(Ⅰ)设f(x)定义域为I，则存在非零常数T，使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x)f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期.
　　(Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x)，若T是f(x)的一个周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期.
　　(2)延伸：设f(x)定义域为I.
　(Ⅰ)若存在非零常数T，使对任意x∈I都有f(x+T)=－f(x)，则f(x)为周期函数，且2T为f(x)的一个周期.
　(Ⅱ)存在非零常数a，b(a≠b)，使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为a-b） f(x)为周期函数，且是f(x)的一个正周期.
　　4、反函数
　　(1)定义：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C. 根据函数y=f(x)中的x，y的关系，导出x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，函数x=（y）(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数. 记作x=
　　 在函数x= 中，y表示自变量，x表示函数，出于习惯和研究的方便，我们常常对调函数x= 中字母x，y的位置，将它改写成y= ，并且约定:今后凡不特别说明，函数y= 的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数).
　　(2)定义的推论　 　由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知
　　(1)两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换
　　(2)等价反解:当f(x)存在反函数时，y=f(x)(x∈A，y∈C) x= (x∈A，y∈C)
　　(3)相消性质:注意到两式中x，y的同一性，运用代入手段解
　　　 ， y∈C　 (C为反函数 的定义域)　 ， x∈A　 (A为反函数 的值域)
　　(3)求反函数的三部曲:
　　(ⅰ)确定f(x)值域；(ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ；(ⅲ)改写并注明定义域: y=（定义域为y=f(x)的值域）.
　　(4)反函数的性质
　　反函数除去具有定义推论中的性质之外，还有以下主要性质.
　　(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称.
　　　这一性质诠释:点(a，b)在y=f(x)图像上点(b，a)在y= 图像上　即b=f(a) a= (a∈A，b∈C)
　　(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调，则y=f(x) (x∈I)有反函数，并且正反函数具有同一单调性.
　　提醒：单调函数必有反函数，但反之不一定成立.即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时，y=f(x)在区间I上不一定是单调的，比如，f(x)=(x≠0)的反函数存在，且它的反函数就是自身，但是f(x)=在区间(-∞，0)∪(0，+ ∞)上不单调.
　　(5)深入探索
　　(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称.
　　(ⅱ)反函数的奇偶性:　①若f(x)为奇函数且存在反函数，则其反函数 亦为奇函数；
　 　②若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数，则其反函数 亦为非奇非偶函数；
　　 ③若f(x)为偶函数，则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数.
　　四、经典例题.
　　例1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。
　　　　(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是
　　分析: 　　(1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)
　　 　在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:　f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 　而f(1)=a，f(2)=1，　 ∴a=1
　　(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)　 ①　 　又这里f(x+T)=f(T-x)　 ②
　　 　为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得 　f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)　③
　　 　∴由①， ③得f(-x)=f(x)　　 ∴f(x)为偶函数.
　　点评:我们从上面的分析中看到，解决比较复杂的问题，当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时，要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系.有关已知等量关系的联系一旦导出，难点便得以突破.
　例2. 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数，且当x [-2，0]时f(x)为增函数，若f(-2)≥0，求证:当x[4，6]时， 为减函数.
分析:鉴于f(x)的抽象性，考虑运用函数的单调性定义证明.注意到目标函数为 ，故在推理过程中要格外关注f(x)的符号.
　　证明: 设 ， 为[4，6]上任意两值，且 ，即 4≤≤6，则-6≤-＜-≤-4∴-2≤4－＜4－≤0
　　∵偶函数f(x)在[-2，0]上为增函数，∴f(4－)＞f(4－)≥f(-2)　即f( -4)＞f(－4) ≥0　①
　　∵f(x)是周期为4的周期函数，　∴f(x±4)=f(x)　∴由①得　 f()>f()≥0　　 ②
　　∴由②得 　　∴ 在[4，6]上为减函数.
　　点评:从设 ， 为[4，6]上任意两值且 切入，刻意构造关于 ， 的连号不等式，并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号，这一箭双雕的策略或手法值得借鉴.
　　例3. (1)若f(x-1)=-2x+3 (x≤0)，则 =________
　　　　　(2)若f(x+1)= (x≤0)，则 =________
　　　　　(3)若f(x)为一次函数，且=25x-30，则f(x)=________
　　　　　(4)若f(x)= ( ， )的反函数为自身，则a=________
　　分析: 　(1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1　 ①　 　又f(x-1)= +2　 ② 　∴由①②得 f(x)= +2 (x≤-1)
　　 　循着求反函数的”三部曲”　令y=f(x)，则y= +2 (x≤-1且y≥3) 　反解得x=- ( y≥3)
　　 　改写得y=- (x≥3)　　 ∴所求 (x≥3)
　　(2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1　 (x+1≤1)　　　 ∴f(x)= 　(x≤1)
　　　 令 =a，则f(a)=1　　　 故得 =1(a≤1)　　　 由此解得a=0，即 =0.
点评: 在可知f(x)解析式的条件下求 ，一般不用去求 ，而是利用 =u　 =f(u)转化求解.
　　(3)注意到当f(x)为一次函数时，其反函数 也为一次函数，
　　　 令 =ax+b(a≠0)，则　 =a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b
　　 　∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30　　 比较两边的关系为 解得 　 或　　　
　　　 ∴ =5x-5　 或 =-5x+ 　 ∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R)
　　　 提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30，想一想，错在哪里
　　(4)解法一(着眼于利用点的对称)由已知得点(- ，0)在y=f(x)的图象上， 　∴点(0， )也在y=f(x)的图像上，
　　 　∴f(0)= - 　由此得a=-2.　 　思考:此解法可靠性如何
　　 　解法二(立足于求 ): 　令y= ，解得x= (y≠2) 　∴ = (x≠2)
　　 　∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0　 　求解　 　 a=-2
　　 　解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞，-a)∪(-a，+ ∞)， ①
　　 　又f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+ ∞)　 ② 　又 =f(x) 　∴f(x)的定义域和值域相同 ③
　　 　∴由①②③得　 a=-2.
　　例4. 已知函数f(x)= ，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求g()的值.
　　典型错解:　 由题设知g(x)与 互为反函数　 ①　　∴ = 　 ②
　　∴g(x)=f(x+1)　 ③　　由此得g()=f()=-
　　错因分析:　上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ，而是y= -1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.
　　正确解法: 　(着力于寻求 的解析式):由已知得 = (x≠-2)∴ =- (x≠-3)
　　又由题设知g(x)的反函数为 ，　∴ = 　∴ =- 　 ①
　　令g()=b，则 = 　 ②　　∴由①②得- = ，解得b=-1，　　∴g()=-1.
　　解法二: (利用正反函数值的转化)　　令g()=b，则 = 　 ①　又由题设知g(x)的反函数为 ，
　　∴ = ②　∴由①②得 = 　∴f()=b+1　　∴b+1=0，即b=-1　故得g()=-1.
　　解法三: (运用对复合函数的反函数的认知)　　由题设知 的反函数g(x)
　　又 的反函数为f(x)-1　　∴g(x)=f(x)-1　　∴g()=f()-1=0-1=-1.
　　点评:　　从本例的求解可看到解决反函数问题的“三玩”：一玩“解析式”；二玩“函数值”；三玩“深沉”：对有关复合函数的反函数的认知.当然，面对所给问题还要具体情况具体分析，力求选择适合自己的最好方法.
　　例5. 设函数f(x)= (a>0，a≠1)
　　(1)求f(x)的反函数f ；　(2)讨论f 的单调性；　(3)若不等式1< f <2的解集为(-2，0)，求a的值.
　　分析: 　从f(x)的定义域切入，求f(x)的值域(即f的定义域)，(2)的讨论与(3)的求解均要立足于f的定义域.
　　解: 　　(1)由f(x)有意义得
　　 　
　　 　∴f(x)的定义域为[1，+∞). 　∴当a>1时，由x≥1得 　x+ ≥1　　 　∴f(x)≥0
　　 　当0　　 　令y=f(x)，即y= 　则有 = 　　由此解得x=
　　 　∴当a>1时有x= (y≥0)改写为f = (x≥0)
　 　　当0　　(2)(f ) = ( )=( )
　　(ⅰ)a>1时，有x≥0， ∴(f )≥0(等号当且仅当x=0时取值)　　　∴f在定义域[0，+ ∞)上为增函数；
　　(ⅱ)当0(3)由题设知x<0，∴0　　　 ∴f < f 　　　 由①②得 　 f =2　 =4　(f =1恒成立)
　　 　 .　 　∴所求a的值为a= .
　　点评:　　由(1)引出的a>1或0　　例6. 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)，当x∈[2，3]时，f(x)=-2(x-3)2+4.
　　(1)求当x∈[1，2]时f(x)的表达式；
　　(2)若矩形ABCD的两个顶点A，B在X轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求此矩形面积S的最大值.
　　分析:从认知f(x)的特性入手，随着对函数f(x)的周期性，奇偶性或函数图象对称性的逐一认识，解题思维便会逐渐明朗.
　　解: 由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2)　∴f(x)是周期函数，且2是f(x)的一个周期.①　由f(x-1)=f(1-x)得f(-x)=f(x)
　　∴f(x)是偶函数.②　　由f(x+1)=f(1-x)知f(x)的图象关于直线x=1对称　　 ③
　　(1)当x∈[1，2]时，4-x∈[2，3].　　 ∴由已知得，f(4-x)=-2[(4-x)-3]2 +4=-2(x-1)2 +4
　　　 又由①②得f(4-x)=f(x-4)=f(x)　 ∴f(x)= -2(x-1)2 +4　　 　即当x∈[1，2]时，f(x)= -2(x-1)2 +4.
　　(2)注意到当x∈[0，1]时，2+x∈[2，3]　∴由已知得f(2+x)= -2(x-1)2 +4， 　即f(x)= -2(x-1)2 +4
　　 　∴利用(1)的结果得，当x∈[0，2]时，f(x)= -2(x-1)2 +4，
　　 　设矩形ABCD的边长AB=2t(0　又此时4-2t2 >0， ∴S=2t(-2t2 +4)　= ≤= = (当且仅当4t2 =4-2t2 t= 时等号成立)　　 ∴ (当且仅当AB= 时取值)
　点评: 　(1)在认知f(x)性质时要注意区别与联系:
　　　
　　 　
　　(2)在求S的最值时运用了重要不等式 (这里a、b、c∈R+ ，当且仅当a=b=c时等号成立.)
　　五、高考真题
　　1.函数y= ( x≤0)的反函数是(　 )
　　A. y= (x≥-1)　　　B. y=－ (x≥-1)　　C. y= (x≥0)　　D. y=－ (x≥0)
　　分析:　运用直接法.由x≤0得y≥-1.　又由y= ( x≤0)得x=－ (y≥-1)
　　∴f =－ (x≥-1)　　∴应选B.
　　2.(2004北京卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(　 )
　　A. a∈(-∞，1]　　　B. a∈[2，+∞)　　C. a∈[1，2]　　D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞]
　　分析:　二次函数f(x)= -2ax-3的图象开口向上，对称轴方程为x=a，又f(x) = -2ax-3在[1，2]上存在反函数 f(x)在[1，2]上是单调函数.故以对称轴x=a对于区间[1，2]的相对位置为主线展开讨论:
　　(1)当a≤1时，f(x)在区间[1，2]上递增，故f(x)在[1，2]上存在反函数；
　　(2)当a≥2时，f(x)在区间[1，2]上递减，故f(x) 在[1，2]上存在反函数；
　　(3)当1　　于是，综合(1)(2)(3)得所求充要条件为a≤1或a≥2，应选D.
　3. (2004湖南卷)设f 是函数f(x)= 的反函数，若[1+ f ][1+ f ]=8，则f(a+b)的值为(　　 )
　　A. 1　　　B. 2　　　C. 3　　　D.
　　分析:　从求f 切入，设y= 则x= -1(y∈R)　　改写得y= -1(x∈R)
　　∴f = -1(x∈R)　　∴由已知得 =8 a+b=3.　　∴f(a+b)=f(3)= =2，应选B.
　　4. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f，f(4)=0，则f=________
　　分析:　　从点的对称切入　　f(4)=0 点(4，0)在函数y=f(x)的图像上.　又点(4，0)关于点(1，2)的对称点M(-2，4)，
　　∴由已知得点M在y=f(x)图像上　∴f(-2)=4，注意到f(x)存在反函数f ，　　∴f =-2
　　5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=________
　分析:　　从求f(x)的解析式切入　　当x<0时，-x>0　　∴由已知得f(-x)= -1.　 ①
　　又f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)( x∈R)　 ②　　∴由①②得f(x)=－ +1　　 　　 ③
　　令g(－8)=b，即f =b，则有f(b)=－8
　　∴ －1=－8 (b≥0)　 或－ +1=－8(b<0) =－7(b≥0)或 =9(b<0) b=－2　　即g(－8)=－2.
　　6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－)( x∈R)，则f(x)的一个正周期为________
　　分析:　　对于抽象的复合函数的周期性，常考虑从变量替换切入
　　设px－ =t，则px=t+ ( t∈R)　∴由题设知f(t+ )=f(t)对任意t∈R都成立　又 >0且 为常数，
　　∴由函数的周期性定义知，f(t)是周期函数，且 是它的一个正周期.　∴f(x)是周期函数，且 是f(x)的一个正周期.
　　∴应填 .
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