4.2 等差数列 教学设计

示范课《等差数列》教学设计
（《等差数列》教学内容选自人民教育出版社《普通高中教科书数学（选择性必修第二册）》）
教学目标：
通过实例经验以及生活，找到等差关系并举例，让学生理解等差数列的定义；
经历等差数列通项公式的推导，培养学生发现规律，解决问题的能力
掌握等差数列的通项公式，让学生学会用等差数列的通项公式解决简单的数学问题.
体会等差数列通项公式与一次函数的关系
教学重难点：
重点：等差数列的定义、等差数列的通项公式及其简单运用.
难点：等差数列通项公式的推导过程，等差数列通项公式与一次函数的关系
教学过程
一、情景创设，概念引入
教师：请思考下列问题
思考：观察下面几个问题中的数列，你能发现什么取值规律？
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为（展示天坛地面图片）
9，18，27，36，45，54，63，72，81.①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.②
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为
25，24，23，22，21.③
4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
④
学生1：都是等差数列
教师：为什么叫等差数列，你是如何知道的，请详细说明。
学生1：在一组数列中，项与项之间的差都是一样的。
教师：你能列出生活具体意义的等差数列吗？
学生1：桂阳到郴州城际公交票价：2，3，4，5，6，7
教师：很好你能发现生活中数学，是一个很细心的人。
设计意图：以课本中的情景，学生初步掌握等差数列，理解等差数列规律，为后面概念提炼做铺垫。
反思：学生在预习的时候，已初步了解本节课的内容，对数列中的项做加减乘除运算来寻找规律是研究数列的方法。学生将会在等比数列的学习中会用上，这是数列大概念的一个小分支点，也是本单元系列教学中的暗线。
二、探讨提炼，完善概念
教师活动：通过刚才的分析，你能总结等差数列概念吗？
学生：数列中项与项之间差都为同一个数的数列为等差数列
教师：只有部分的项与项的差一样可以吗？例如：1，1，2，2，3，3，…
学生：不是
教师：可以有更精确的表达吗？
学生：相邻项的差都是相同的数
教师：例如：0，2，0，2，0，…他们的差都是2，是等差数列吗？
学生：不是，要后面的项减去前面的项
学生：每一项与它的前一项的差都等于同一个数
教师总结：
等差数列概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
学生活动1：教师展示开头例题中的等差数列，请学生讲解例题中的公差，让学生体会“每一项与前一项”中所包含是递推关系。
学生活动2：请学生在上述例子中任意取三个数，构成最简单的等差数列，并指出其中的等差中项
学生活动1展示：例如
学生活动2展示：18，36，54，其中等差中项是36
设计意图：在学生归纳等差数列概念过程中，教师举例使学生自己建立概念与实际有冲突，引导学生语言表述严谨化，体会数学的严谨性，并牢记等差数列的概念。学生活动2中：在已有的例子中构建最简单的等差数列，体会等差数列中的规律，培养学生对数字敏感性。
公式推导，深入概念
教师：可以用数学语言表达等差数列的定义吗？
学生：
教师展示：
教师：你能根据等差数列递推公式推导出它的通项公式吗？
学生：学生展示成果
情况1：
情况2：
情况3：
各式累加：
教师总结：情况1和情况2我们采用不完全归纳法，我们很容易知道当时，式子也成立。情况3是一种式子的处理技巧，叫做累加法。
设计意图：在开头先指出等差数列的定义以及展现的等差数列的规律图，分别从抽象（定义式的表达）与具体（规律图的展示）两方面来展示等差数列的规律，引导不同层次的学生从不同的角度探究等差数列的通项公式。
反思：学生比较多的表述情况1，情况2，3表述较少，这符合学生的思维习惯。学生的等差数列通项公式推导情况来看，学生已经掌握等差数列“每一项与前一项的差都为同一个常数”，但学生习惯从已知的条件中按照规律归纳得到式子，缺乏逻辑推理能力。在教师总结时，应该加强学生逻辑推理的培养。
四、数形结合，扩展概念
教师活动：
活动1
例1：已知等差数列的通项公式为，求的首项与公差。
学生成果展示
教师：要得到数列的通项公式，应该需要知道什么已知条件
学生：首项和公差
教师：如果知道等差数列中的其中两项还可以求吗？以本例题举例
学生展示…
教师：你能设计其他的已知条件，并求出其通项公式吗？以本例题举例
活动2
教师：你能列出这个数列的前5项，并在直角坐标系中描出相应的点吗？
学生展示…
教师：显然5个点都在一条直线上，你能写出这条直线对应的直线方程吗？
设计意图：
活动1围绕一个简单的例题，教师的抛砖引玉，让学生设计问题，逐渐让学生明白等差数列的公差与首项的重要性，学会基本量法解决相关问题。
活动2主要是突出函数与数列两者关系的，帮助学生在大概念下，建立知识结构关系。学生对于抽象到抽象的知识迁移比较困难，用具体的内容帮助理解数列与函数的关系，让学生在最近发展区形成知识，逐渐形成知识结构化。
反思：教师做示范提出问题，培养学生提出问题的能力并解决，在解决问题的过程中不断形成思想与方法。针对学生的情况，对教材做了一些处理，降低抽象程度，这样使学生更好理解数列与函数之间的关系。
五、探究与小结
教师：这是本节课的知识结构图
学生探究：蛋糕厂进了100袋面粉生产蛋糕，第一天还剩96袋，第二天还剩92袋，第三天还剩88袋，第四天还剩84袋，按照这样的规律消耗下去，请你设计一些问题向蛋糕厂仓库管理者询问情况。
问题预设：
1.什么时候用完？
2.第十天还剩多少袋？
3.在库存不超过10袋时，面粉库存预警，什么时候进货才好？
总结
注重学生的经验基础，逐渐形成知识结构
等差数列作为生活中常见的数列，因为认知简单，学生容易忽视生活中的例子。教师通过教材例子的引导，唤起学生的记忆，让学生列举出城际公交票价例子，在这个过程中学生已经初步完成等差关系探究与应用。总结等差数列概念时，利用学生总结的语言中漏洞，举反例，不断完善等差数列的概念，并且在这个过程中加深对等差数列的理解。教师开展的活动是引导学生逐步构建知识体系，它包含大概念下知识主干与思想方法，包容不同层次学生所形成知识结构差异，比如通项公式的推导，从学生感受的抽象的层次来说，有的从抽象定义公式推出，有的直接按照规律得出，但无论怎样学生已经形成等差数列通项公式知识点。
把握教材中知识体系，利用大概念提升教学效率
用大概念的视角统一教学流程，在教学设计上，把握函数学习路线，理解数列单元中的内容结构，参照函数的学习途径，情境——概念——探究——应用。用大概念的视角一方面深化知识点之间的练习，帮助学生构建知识体系，另一方面帮助问题转化，数列的问题可以转化函数问题等。