广西2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共 12 小题, 每小题 3 分, 共 36 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答 标号涂黑。
1．（2024·广西）下列选项记录了， 我国四个直辖市某年一月分的平均气温， 其中气温最低的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：|-3.2|<|-4.6|，
∴-4.6<-3.2
故答案为：A.
【分析】负数小于0，正数大于0；两个负数比较大小，绝对值小的反而大.
2．（2024·广西）端午节是中国传统节日， 下列与端午节有关的文创图案中， 成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不成轴对称，不符合题意；
B、成轴对称，符合题意；
C、不成轴对称，不符合题意；
D、不成轴对称，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图.据此判断即可.
3．（2024·广西）广西壮族自治区统计局发布的数据显示， 2023 年全区累计接待国内游客 8.49 亿人次.将 849000000 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：849000000=.
故答案为：B
【分析】 大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．（2024·广西）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件. 燕尾榫是 “万榫之母”，为了防止受拉力时脱开， 榫头成梯台形， 形似燕尾. 如图是燕尾榫的带榫头部分， 它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，燕尾椽从正面看可以看做是上面为倒的梯形，下面为长方形，主视图如图所示：
故答案为：A
【分析】分析从正面看到的图形，即可得到结论.
5．（2024·广西）不透明袋子中装有白球 2 个， 红球 1 个， 这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出 1 个球， 取出白球的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中任取一个球，每个球被取到的可能性相同，故从袋子中随机取出 1 个球， 取出白球的概率是.
故答案为：.
【分析】根据据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；②：①的比值就是其发生的概率.
6．（2024·广西）如图， 2 时整， 钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：2时整，时针指向2，分针指向12，故两根针所成的锐角为：30×2=60°.
故答案为：C
【分析】整点时，整点数×30即可得到结论.
7．（2024·广西） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 为坐标原点， 点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：当点 为坐标原点， 点 的坐标为 ，点Q的位置在点P向右平移一个单位，再向上平移一个单位，故点Q的坐标为（3，2）.
故答案为：C.
【分析】根据点P和点Q的位置关系以及点P的坐标，即可确定点Q的坐标.
8．（2024·广西）激光测距仪 发出的激光束以 的速度射向目标 后测距仪 收到 反射回的激光束. 则 到 的距离 与时间 的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：激光束从射出到返回走了两个距离d，故.
故答案为：A
【分析】根据总路程为两个d，路程=速度×时间t，即可得到结论.
9．（2024·广西） 已知点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，k=2>0，
∴图象分布在一、三象限.
∵ 点 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴点M在第三象限，点N在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象所在象限的点的坐标特征，即可判断y1和y2的大小.
10．（2024·广西） 如果 ， 那么 的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
11．（2024·广西） 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
12．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
二、填空题（本大题共 6 小题, 每小题 2 分, 共 12 分。)
13．（2024·广西） 已知 与 为对顶角， ， 则 °
【答案】35
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ 与 为对顶角，
∴∠2=∠1=35°.
故答案为：35
【分析】根据对顶角的性质即可得到结论.
14．（2024·广西） 写出一个比 大的整数， 可以是 .
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4>3>1，
∴
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】确定 的大小，即可得到比 大的整数.
15．（2024·广西） 八桂大地马育了丰富的药用植物. 某县药材站把当地药市交易的 400 种药用植物按 “草本、藤本、灌木、乔木” 分为四类， 绘制成如图所药用植物按 “草本、藤本、灌木、乔木” 分为四类， 绘制成如图所示的统计图， 则藤本类有 种.
【答案】80
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：400×20%=80.
故答案为：80.
【分析】用400×藤本类所占的百分比即可得到藤本类植物的数量.
16．（2024·广西） 不等式 的解集为 .
【答案】x＜-2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：7x+5<5x+1.
7x-5x<1-5
2x<-4.
x<-2.
故答案为：x<-2.
【分析】按照移项，合并，系数化1，即可得到结论.
17．（2024·广西） 如图， 两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起， 交叉形成的锐角为 ， 则重合部分构成的四边形 的周长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得四边形ABCD为平行四边形，菱形每边的高为3cm.
过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点E，
∴AE=AF=3，∠AEB=∠AFD=90°，∠ADC=∠ABE=60°.
∴△AEB≌△AFD(AAS)
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长为：.
故答案为：.
【分析】根据题意得四边形ABCD为平行四边形，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点E，利用AAS证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD，故四边形ABCD是菱形，解直角三角形求得AB长，即可得到菱形周长.
18．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM= m。
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．（2024·广西） 计算：
【答案】解： 原式
=-8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘法，再算加减即可.
20．（2024·广西） 解方程组：
【答案】解：
①+②， 得：
解得：
将 代入①中， 得
解得：
此方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解即可.
21．（2024·广西）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平， 从中随机抽取 20 名女同学进行测试， 每人定点投篮 5 次， 进球数统计如下表：
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
（1）求被抽取的 20 名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为 3 以上 (含 3) 为 “优秀”， 七年级共有 200 名女同学， 请估计七年级女同学中定点投篮水平为 “优秀” 的人数.
【答案】（1）解：1出现次数最多，故众数为：1
将进球数按从小到大排列后，中间两个数都是2，故中位数为：2
平均数：
（2）解：（人）
答： 估计七年级女同学中， 定点投篮水平为 “优秀” 的人数为 50 人。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数，中位数，平均数的计算公式计算即可；
（2）用200× 进球数为 3 以上 (含 3) 的人数的占比，即可估算出七年级女同学中定点投篮水平为 “优秀” 的人数.
22．（2024·广西） 如图， 在 中， .
（1）尺规作图： 作线段 的垂直平分线 ， 分别交 于点 ； (要求： 保留作图痕迹， 不写作法， 标明字母)
（2）在 (1) 所作的图中， 连接 ， 若 ， 求 的长.
【答案】（1）解：如右图所示， 直线 DE 即为所作.
（2）解： 为线段 的垂直平分线
为等腰直角三角形
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧交于两点，作过这两点的直线，即可得到AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BE=AE，结合∠A=45°，可得四边形ABE是等腰直角三角形，利用正弦函数即可求得BE长.
23．（2024·广西） 综合与实践
在综合与实践课上， 数学兴趣小组通过洗一套夏季校服， 探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一： 将校服放进消水中，加入洗衣液，充分浸泡採溔后拧干；
步摖二： 将拧干后的校服放进捎水中， 充分漂洗后拧干： 重复操作步骤二， 直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ， 每次拧干后校服上都残留 水
浓度关系式：.，其中d前、d后分别表示单次漂洗先、后校服上残留洗衣液的浓度； 为单次漂洗所加消水量 (单位： ).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 .
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ， 需要多少清水
（2）如果把 . 清水均分， 进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 从洗衣用水策略方面， 说说你的想法.
【答案】（1）解：依题意易知： ，
代入浓度关系式， 得
解得
检验： 当 时，
所以， 是原分式方程的解
答：需要9.5kg 清水。
（2）解：
第一次漂洗后浓度 ：
第二次漂洗后浓度：
答： 进行两次漂洗， 能达到洗衣目标。
（3）解：根据 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 达到相同的清洗效果，
分两次漂洗更节约水 (注： 答案不唯一， 合理即可)
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）只经过一次漂洗时，令，代入浓度关系式，得到关于w的分式方程，求解即可得到w的值；
（2）根据题意得每次漂洗的水量，代入，计算求得第1漂洗后的浓度，结果作为d前再次代入，即可得到漂洗后的结果，与0.01%比较即可.
（3）答案不唯一，合理即可.
24．（2024·广西） 如图， 已知 是 的外接圆， .点 分别是 的中点， 连接 并延长至点 ，使 ， 连接 .
（1）求证： 四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， 求 的半径.
【答案】（1）证明：(解题方法不唯一)
连接
为 中点
四边形 是平行四边形
且
为 中点
且
四边形 是平行四边形
（2）证明：， 点 为 中点
是 的一条弦， 是 的中垂线
必经过圆心 为 半径
是 的切线
（3）解：连接 ，如图：
垂直平分
.
在中， ，
∴，
∵，
∴.
∴
的半径为 10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接AD，CF，证明四边形AFCD是平行四边形，可得AF//CD，AF=CD，根据中点定义可得BD=CD，于是有AF=BD，AF//DB，于是可得结论.
（2）根据“三线合一”的性质可得AD⊥BC，再根据平行线的性质可得AD⊥AF，证明AD经过圆心，即可得到结论.
（3）根据线段垂直平分线的性质以及圆周角定理可证得∠BOD=∠BAC，在Rt△BOD中，利用解直角三角形求得BD长，利用勾股定理求得OB长，即可得到结论.
25．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
26．（2024·广西）如图 1， 中， . 的垂直平分线分别交 于点 平分 .
（1）求证： ；
（2）如图 2， 将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 . 连接
①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数， 并说明理由；
②当 是直角三角形时， 请直接写出旋转角 的度数.
【答案】（1）证明： 为 的垂直平分线， 即
为 的角平分线
（2）解：解：（解法不 一）
①
，
在 Rt 中，
，
，AO=CO=2OM=4，
取A'C'中点M'，连接OM'，MM'， 作MN⊥A'C'于点N，OM'为OM旋转 所得的线段，
由旋转性质可知，
根据垂线段最短可知：
又 ，当且仅当 三点共线时等号成立，此时 ，N与M'重合，如图：
∴，
∴.
故 面积的最大值为，此时旋转角 的度数为180°.
② 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）②(解题方法不唯一)
同理
为直角三角形时，A'C'一定是斜边，故只有 ，
如图：
，此时旋转角α=∠COC'=120°.
或，此时旋转角α=∠COA+∠AOC'=∠COA+180°－∠AOM=240°.
综上所述：α=120°或240°.
故结果为：α=120°或240°.
【分析】（1）利用线段垂直平分线性质和角平分线性质证明∠A=∠COB，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到结论；
（2）①计算的∠A=30°，在Rt△ACB中解直角三角形求得BC，AC，AM和OM，AO和CO的长.取A'C'中点M'，连接OM'，MM'， 作MN⊥A'C'于点N，OM'为OM旋转 所得的线段，由旋转可得
△AOC≌△A'OC'，于是可求得A'C'，OM'的长，根据垂线段最短得MN≤MM'≤OM+OM'，据此可求得面积的最大值以及此时的旋转角α度数.
（2）②计算出MA'和MC'的最大值并与A'C'比较，可得只有∠A'MC'=90°时，△A'MC'是直角三角形，据此计算出对应的旋转角α的值即可.
1 / 1广西2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共 12 小题, 每小题 3 分, 共 36 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答 标号涂黑。
1．（2024·广西）下列选项记录了， 我国四个直辖市某年一月分的平均气温， 其中气温最低的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西）端午节是中国传统节日， 下列与端午节有关的文创图案中， 成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广西）广西壮族自治区统计局发布的数据显示， 2023 年全区累计接待国内游客 8.49 亿人次.将 849000000 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件. 燕尾榫是 “万榫之母”，为了防止受拉力时脱开， 榫头成梯台形， 形似燕尾. 如图是燕尾榫的带榫头部分， 它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西）不透明袋子中装有白球 2 个， 红球 1 个， 这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出 1 个球， 取出白球的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·广西）如图， 2 时整， 钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广西） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 为坐标原点， 点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广西）激光测距仪 发出的激光束以 的速度射向目标 后测距仪 收到 反射回的激光束. 则 到 的距离 与时间 的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·广西） 已知点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广西） 如果 ， 那么 的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
11．（2024·广西） 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
二、填空题（本大题共 6 小题, 每小题 2 分, 共 12 分。)
13．（2024·广西） 已知 与 为对顶角， ， 则 °
14．（2024·广西） 写出一个比 大的整数， 可以是 .
15．（2024·广西） 八桂大地马育了丰富的药用植物. 某县药材站把当地药市交易的 400 种药用植物按 “草本、藤本、灌木、乔木” 分为四类， 绘制成如图所药用植物按 “草本、藤本、灌木、乔木” 分为四类， 绘制成如图所示的统计图， 则藤本类有 种.
16．（2024·广西） 不等式 的解集为 .
17．（2024·广西） 如图， 两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起， 交叉形成的锐角为 ， 则重合部分构成的四边形 的周长为 .
18．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM= m。
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．（2024·广西） 计算：
20．（2024·广西） 解方程组：
21．（2024·广西）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平， 从中随机抽取 20 名女同学进行测试， 每人定点投篮 5 次， 进球数统计如下表：
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
（1）求被抽取的 20 名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为 3 以上 (含 3) 为 “优秀”， 七年级共有 200 名女同学， 请估计七年级女同学中定点投篮水平为 “优秀” 的人数.
22．（2024·广西） 如图， 在 中， .
（1）尺规作图： 作线段 的垂直平分线 ， 分别交 于点 ； (要求： 保留作图痕迹， 不写作法， 标明字母)
（2）在 (1) 所作的图中， 连接 ， 若 ， 求 的长.
23．（2024·广西） 综合与实践
在综合与实践课上， 数学兴趣小组通过洗一套夏季校服， 探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一： 将校服放进消水中，加入洗衣液，充分浸泡採溔后拧干；
步摖二： 将拧干后的校服放进捎水中， 充分漂洗后拧干： 重复操作步骤二， 直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ， 每次拧干后校服上都残留 水
浓度关系式：.，其中d前、d后分别表示单次漂洗先、后校服上残留洗衣液的浓度； 为单次漂洗所加消水量 (单位： ).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 .
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ， 需要多少清水
（2）如果把 . 清水均分， 进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 从洗衣用水策略方面， 说说你的想法.
24．（2024·广西） 如图， 已知 是 的外接圆， .点 分别是 的中点， 连接 并延长至点 ，使 ， 连接 .
（1）求证： 四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， 求 的半径.
25．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
26．（2024·广西）如图 1， 中， . 的垂直平分线分别交 于点 平分 .
（1）求证： ；
（2）如图 2， 将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 . 连接
①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数， 并说明理由；
②当 是直角三角形时， 请直接写出旋转角 的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：|-3.2|<|-4.6|，
∴-4.6<-3.2
故答案为：A.
【分析】负数小于0，正数大于0；两个负数比较大小，绝对值小的反而大.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不成轴对称，不符合题意；
B、成轴对称，符合题意；
C、不成轴对称，不符合题意；
D、不成轴对称，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图.据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：849000000=.
故答案为：B
【分析】 大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，燕尾椽从正面看可以看做是上面为倒的梯形，下面为长方形，主视图如图所示：
故答案为：A
【分析】分析从正面看到的图形，即可得到结论.
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中任取一个球，每个球被取到的可能性相同，故从袋子中随机取出 1 个球， 取出白球的概率是.
故答案为：.
【分析】根据据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；②：①的比值就是其发生的概率.
6．【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：2时整，时针指向2，分针指向12，故两根针所成的锐角为：30×2=60°.
故答案为：C
【分析】整点时，整点数×30即可得到结论.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：当点 为坐标原点， 点 的坐标为 ，点Q的位置在点P向右平移一个单位，再向上平移一个单位，故点Q的坐标为（3，2）.
故答案为：C.
【分析】根据点P和点Q的位置关系以及点P的坐标，即可确定点Q的坐标.
8．【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：激光束从射出到返回走了两个距离d，故.
故答案为：A
【分析】根据总路程为两个d，路程=速度×时间t，即可得到结论.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，k=2>0，
∴图象分布在一、三象限.
∵ 点 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴点M在第三象限，点N在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象所在象限的点的坐标特征，即可判断y1和y2的大小.
10．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
13．【答案】35
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ 与 为对顶角，
∴∠2=∠1=35°.
故答案为：35
【分析】根据对顶角的性质即可得到结论.
14．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4>3>1，
∴
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】确定 的大小，即可得到比 大的整数.
15．【答案】80
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：400×20%=80.
故答案为：80.
【分析】用400×藤本类所占的百分比即可得到藤本类植物的数量.
16．【答案】x＜-2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：7x+5<5x+1.
7x-5x<1-5
2x<-4.
x<-2.
故答案为：x<-2.
【分析】按照移项，合并，系数化1，即可得到结论.
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得四边形ABCD为平行四边形，菱形每边的高为3cm.
过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点E，
∴AE=AF=3，∠AEB=∠AFD=90°，∠ADC=∠ABE=60°.
∴△AEB≌△AFD(AAS)
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长为：.
故答案为：.
【分析】根据题意得四边形ABCD为平行四边形，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点E，利用AAS证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD，故四边形ABCD是菱形，解直角三角形求得AB长，即可得到菱形周长.
18．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
19．【答案】解： 原式
=-8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘法，再算加减即可.
20．【答案】解：
①+②， 得：
解得：
将 代入①中， 得
解得：
此方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解即可.
21．【答案】（1）解：1出现次数最多，故众数为：1
将进球数按从小到大排列后，中间两个数都是2，故中位数为：2
平均数：
（2）解：（人）
答： 估计七年级女同学中， 定点投篮水平为 “优秀” 的人数为 50 人。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数，中位数，平均数的计算公式计算即可；
（2）用200× 进球数为 3 以上 (含 3) 的人数的占比，即可估算出七年级女同学中定点投篮水平为 “优秀” 的人数.
22．【答案】（1）解：如右图所示， 直线 DE 即为所作.
（2）解： 为线段 的垂直平分线
为等腰直角三角形
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧交于两点，作过这两点的直线，即可得到AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BE=AE，结合∠A=45°，可得四边形ABE是等腰直角三角形，利用正弦函数即可求得BE长.
23．【答案】（1）解：依题意易知： ，
代入浓度关系式， 得
解得
检验： 当 时，
所以， 是原分式方程的解
答：需要9.5kg 清水。
（2）解：
第一次漂洗后浓度 ：
第二次漂洗后浓度：
答： 进行两次漂洗， 能达到洗衣目标。
（3）解：根据 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 达到相同的清洗效果，
分两次漂洗更节约水 (注： 答案不唯一， 合理即可)
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）只经过一次漂洗时，令，代入浓度关系式，得到关于w的分式方程，求解即可得到w的值；
（2）根据题意得每次漂洗的水量，代入，计算求得第1漂洗后的浓度，结果作为d前再次代入，即可得到漂洗后的结果，与0.01%比较即可.
（3）答案不唯一，合理即可.
24．【答案】（1）证明：(解题方法不唯一)
连接
为 中点
四边形 是平行四边形
且
为 中点
且
四边形 是平行四边形
（2）证明：， 点 为 中点
是 的一条弦， 是 的中垂线
必经过圆心 为 半径
是 的切线
（3）解：连接 ，如图：
垂直平分
.
在中， ，
∴，
∵，
∴.
∴
的半径为 10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接AD，CF，证明四边形AFCD是平行四边形，可得AF//CD，AF=CD，根据中点定义可得BD=CD，于是有AF=BD，AF//DB，于是可得结论.
（2）根据“三线合一”的性质可得AD⊥BC，再根据平行线的性质可得AD⊥AF，证明AD经过圆心，即可得到结论.
（3）根据线段垂直平分线的性质以及圆周角定理可证得∠BOD=∠BAC，在Rt△BOD中，利用解直角三角形求得BD长，利用勾股定理求得OB长，即可得到结论.
25．【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
26．【答案】（1）证明： 为 的垂直平分线， 即
为 的角平分线
（2）解：解：（解法不 一）
①
，
在 Rt 中，
，
，AO=CO=2OM=4，
取A'C'中点M'，连接OM'，MM'， 作MN⊥A'C'于点N，OM'为OM旋转 所得的线段，
由旋转性质可知，
根据垂线段最短可知：
又 ，当且仅当 三点共线时等号成立，此时 ，N与M'重合，如图：
∴，
∴.
故 面积的最大值为，此时旋转角 的度数为180°.
② 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）②(解题方法不唯一)
同理
为直角三角形时，A'C'一定是斜边，故只有 ，
如图：
，此时旋转角α=∠COC'=120°.
或，此时旋转角α=∠COA+∠AOC'=∠COA+180°－∠AOM=240°.
综上所述：α=120°或240°.
故结果为：α=120°或240°.
【分析】（1）利用线段垂直平分线性质和角平分线性质证明∠A=∠COB，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到结论；
（2）①计算的∠A=30°，在Rt△ACB中解直角三角形求得BC，AC，AM和OM，AO和CO的长.取A'C'中点M'，连接OM'，MM'， 作MN⊥A'C'于点N，OM'为OM旋转 所得的线段，由旋转可得
△AOC≌△A'OC'，于是可求得A'C'，OM'的长，根据垂线段最短得MN≤MM'≤OM+OM'，据此可求得面积的最大值以及此时的旋转角α度数.
（2）②计算出MA'和MC'的最大值并与A'C'比较，可得只有∠A'MC'=90°时，△A'MC'是直角三角形，据此计算出对应的旋转角α的值即可.
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