2023—2024年度高二年级下学期期末考试
数学参考答案
1.B 根据含有量词命题的否定形式可知,命题p: x>0,x2+x<1的否定为 x>0,x2+x≥1,故选B.
2.C 根据题意,设直线x-y+2025=0的倾斜角为α,
因为其斜率k=tan α=,又由0°≤α<180°,
所以α=60°.
3.A 因为展开式的第r项为Tr+1=8-r(-x2)r=(-1)rx-8+3r,所以-8+3r=1,所以r=3,故x的系数是(-1)3=-56.
4.B 由题意知,选取的3人中女生人数不多于男生人数,包括2男1女和3男0女两种情况.
若3人中有2男1女,则不同的选法共有=18(种);
若3人中有3男0女,则不同的选法共有=4(种).
根据分类计数原理,所有不同的选法共有18+4=22(种).
5.A 因为AB=3,BD=1,所以=,=+,
所以·=·+=+·=32-×3×3×=.
6.A 显然y=4cos x-ex是非奇非偶函数,图象不关于y轴或原点对称,排除B,C选项;y'=-4sin x-ex=-(4sin x+ex),显然当x∈0,时,y'<0,所以y=4cos x-ex在区间0,上单调递减,排除D选项,故选A.
7.B “从1,2,3,4,5中任取2个不同的数”一共有=10种不同选取方式,其中满足事件A的有+=4种选取方式,所以P(A)==,而满足事件B要求的有=1种选取方式,即P(A∩B)==,再由条件概率计算公式,得P(B|A)===.
8.A 因为直线y=2x-1与函数f(x)=ln x-ax的图象有交点,所以方程2x-1=ln x-ax有正解,即a=-2在x>0时有解.
令g(x)=-2(x>0),则g'(x)=.
当00,函数g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.
所以当x=1时,g(x)有极大值,也是最大值g(1)=-1,所以a≤-1.
9.AC ξ1服从二项分布ξ1~B2,,
则E(ξ1)=2×=,D(ξ1)=2××=;
ξ2的可能取值为0,1,
P(ξ2=0)==,P(ξ2=1)==,
故E(ξ2)=,D(ξ2)=.
故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).
10.
BC 设正四棱锥的底面边长为a,外接球的半径为R,
由已知可得 V正四棱锥=a2h=8, R2=a2+(h-R)2,解得R=+,
令f(h)=+,得f'(h)=+,所以当h∈(0,2)时,f'(h)<0,函数f(h)单调递减;当h∈(2,+∞)时,f'(h)>0,函数f(h)单调递增,所以当h=2时,函数f(h)取得最小值,即R取得最小值,此时外接球的体积V=π·R3=π××3=也最小,故选BC.
11.AD 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,将A,B的坐标代入椭圆C的方程,得两式相减得(-)+(-)=0,所以+××=0,因为直线MD的斜率为-,所以AB的斜率为,所以+×=0.如图,设E为椭圆的左顶点,连接OD,则∠DME=2∠DOM,所以tan∠DME=tan 2∠DOM==,解得tan∠DOM=或-2(舍去),所以+××-=0,所以=,故e==.
12.x-y=0 因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'=1,因为f=,所以切线方程为y-=x-,即x-y=0.
13. f(x)=-cos 2ωx+1,由其最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=-cos 2x+1,将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象对应的函数为y=-cos(2x+2m)+1,其图象关于x=对称,则有cos+2m=±1,+2m=kπ,k∈Z,即m=-+,k∈Z,由m>0,知实数m的最小值为.
14.x-2y+15=0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得=,因为x1+x2=2,y1+y2=16,所以kAB==·=,l:x-2y+15=0,经检验,符合题意.
15.解:(1)若选①:设等差数列{an}的公差为d,
由++17=2(a1+4a4),可得(a1-1)2+(a4-4)2=0,
所以故d==1,所以an=n.
若选②:
设等差数列{an}的公差为d,因为a4=4a1,a2+a7=2a5-1,所以a1+3d=4a1,
(a1+d)+(a1+6d)=2(a1+4d)-1,解得a1=1,d=1,所以an=n.
(2)由(1)可知bn=3n,所以Sn=b1+b2+…+bn=3+32+…+3n==×3n+1-.
16.解:设AD的中点为N,连接MN,由四边形ABCD是矩形,得MN⊥BC.
∵SB=SC,M是BC的中点,∴SM⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面SBC,平面ABCD∩平面SBC=BC,
∴SM⊥平面ABCD,∴SM⊥MN,∴直线MC,MS,MN两两垂直.以M为坐标原点,MC,MS,MN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz,设SM=a.
(1)依题意得,M(0,0,0),A(-1,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,0,1),S(0,a,0),
∴=(1,0,-1),=(1,-a,1).
∵·=1×1+0×(-a)+(-1)×1=0,
∴⊥,即AM⊥SD.
(2)由(1)可得=(1,-a,0),=(-1,0,1),
∵异面直线AM与SC所成的角为,
∴cos=,解得a=1,
∴四棱锥S -ABCD的体积为×1×2×1=.
17.解:(1)f'(x)=a-=,x>0,
当a≤0时,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f'(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f'(x)在(0,+∞)上没有极值点;
当a>0时,由f'(x)≤0,得0∴f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,即f(x)在x=处有极小值.
∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,∴f(x)≥bx-2 1+-≥b,
令g(x)=1+-,可得g(x)在(0,e2]上单调递减,在[e2,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-.
18.解:(1)设点M(x0,y0),|MA|2=(x0-2)2+(y0-0)2=-4x0+4+2x0=(x0-1)2+3≥3,
所以当x0=1时,|MA=3,所以|MA|min=.
(2)点M到直线x-y+1=0的距离d===,
当y0=1时,dmin=,点M的坐标为,1.
19.解:(1)X=-1,0,1,P(X=-1)=(1-m)n,P(X=0)=mn+(1-m)(1-n),P(X=1)=m(1-n),
X的分布列为
X -1 0 1
P (1-m)n mn+(1-m)(1-n) m(1-n)
(2)由题意得x=(1-0.5)×0.6=0.3,y=0.5×0.6+(1-0.5)(1-0.6)=0.5,z=0.5×(1-0.6)=0.2.于是有0.3Pi-1-0.5Pi+0.2Pi+1=0,整理可得Pi-1+Pi+1=Pi,根据中点公式有=Pi,命题得证.
(3)由(2)可知Pi+1=Pi-Pi-1,于是P4=P3-P2=P2-P1-P2=P2-P1,又P0=0,P4=,所以P1=,P2=P1-P0=.P2表示最终认为甲获胜的概率,由计算结果可以看出,当甲过关的概率为0.5,乙过关的概率为0.6时,认为甲获胜的概率为P2=≈0.12,此时得出甲获胜的概率非常小,说明这种游戏规则是公平的.2023一2024年度高二年级下学期期未考试
数学试题
(120分钟150分)
考试范围：必修一、二册20%，选择性必修一、二册80%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
弥
1.已知命题p:3>0,x2十x<1,则
A.p:Hx>0,x2+.x<1
B.p:Hx>0,x2+x≥1
C.p:3x0,x2+x<1
D.p:3x>0,x2+x≥1
2.直线√3.x-y十2025=0的倾斜角是
封
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.在(2x2)°的展开式中，x的系数是
A.-56
B.56
C.8
D.-32
4,从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多
线
于男生人数，那么不同的选法种数有
A.23
B.22
C.24.
D.26
5.在正三角形ABC中，D是线段BC上的点，AB=3,BD=1,则AB·AD=
B.
c号
19
D.
海·1·
6.函数y=4cosx-e(-2
T
2
A
B
C
D
7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B
为“取到的2个数均为偶数”，则P(B引A)等于
A.
c号
8.若直线y=2x一1与函数f(x)=lnx一a.x的图象有交点，则实数a的取值范围是
A.(-∞，-1]
B.(-∞，1)
C.[-1,+o∞)
D.(-2,-1]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.现有大小、形状均相同的4张卡片，其中红卡1张、蓝卡3张，现随机等可能抽取卡
片，当有放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为台；当无放回依次抽取两张卡
片时，记取出的红卡数为，则下列结论正确的有
A.E(5)=E()
B.E(点)C.D(5)>D(5)
D.D(5)10.己知正四棱锥的体积为8，高为h,则当正四棱锥的外接球的体积取得最小值V
时，有
Ah=32
B.h=23
C.V=27x
D.V=9n
2
·2·
1.已知圆M,++y=产(>0)在椭圆C若+芳
疗=1(a>b>0)的内部，点A为
C上一动点，O为坐标原点.过点A作圆M的一条切线，交C于另一点B,切点为
D,若D为AB的中点，且直线MD的斜率为-号，则
A直线AB的斜率为
B.直线OD的斜率是一2
C直线0D的斜率是一司
D.椭圆的离心率为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线f(x)=sin在x=罗处的切线方程为
13.已知函数f(x)=2 sin2wx(w>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向左平移
m(m>0)个单位长度，所得图象关于x=对称，则实数m的最小值为
4E知议面线C号-誉-1，过点P1,8的直线（与C相交于A,B两点，且P为线
段AB的中点，则直线l的方程为
