甘肃省临夏州2024年中考数学试卷
1．（2024·临夏）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
2．（2024·临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
3．（2024·临夏）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×108 B．0.27×1010 C．2.7×109 D．27×108
4．（2024·临夏）下列各式运算结果为a5的是（ ）
A．a2+a3 B．a2 a3 C．a10÷a2 D．（a2）3
5．（2024·临夏）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．110°
7．（2024·临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·临夏）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
9．（2024·临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）
10．（2024·临夏）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·临夏）因式分解：x2﹣＝ ．
12．（2024·临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
13．（2024·临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．（2024·临夏）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
15．（2024·临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为 （结果保留π）．
16．（2024·临夏）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
17．（2024·临夏）计算：|﹣|﹣（）﹣1+20250．
18．（2024·临夏）化简：（a+1+）÷．
19．（2024·临夏）解不等式组：．
20．（2024·临夏）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
21．（2024·临夏）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）．
操作步骤 ①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P； ②以点P为圆心，PC长为半径作圆； ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取； ④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六边形ABCDEF．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标： ．
22．（2024·临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（2024·临夏）环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故80%都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表：
抽取的10名女生检测成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m 3 n
注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是 ，众数为 分；
（2）女生检测成绩表中的m＝ ，n＝ ；
（3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数．
24．（2024·临夏）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
25．（2024·临夏）如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
26．（2024·临夏）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF．
（1）【模型建立】
求证：AF⊥BE；
（2）【模型应用】
若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
（3）【模型迁移】
如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值．
27．（2024·临夏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意；
B、是分数，是有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、 0.13133是有限小数，是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有π，开不尽方的数，0.101001000100001...等数
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图会看到两个小耳朵，左视图小耳朵在中间位置，为一条线段；俯视图为多个同心圆（夹在中间的圆为虚线），故三个视图各不相同.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：27亿=27×108=2.7×109.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字整数位的位数数－1. 1亿=108.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2 a3=a5，故符合题意；
C、a10÷a2=a8，故不符合题意；
D、(a2)3=a6，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则进行运算并判断即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴图象经过二、四象限；
又∵经过点（0，-1），即与y轴交于负半轴，
故经过第三象限，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的性质，k>0，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；b>0，图象与y轴交于正半轴；b>0，图象与y轴交于负半轴.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，如图示：
-∵∠E=35°，∠ABD=∠E，
∴∠ABD=35°.
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=35°.
∴∠BOD=180°－2×35°=110°.
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论求出∠B，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BOD度数即可.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得等量关系：降价后240元买的袋数=降价前240元买的袋数+10.据此列方程即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵AB=AC=5，
∴BE=CE.
∴.
∴AE=4.
∴.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，解直角三角形求得AE长，再利用勾股定理可出BE长，根据等腰三角形“三线合一”性质可得BE=CE，于是问题可解决.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由C(3，4)，
∴.
∵菱形ABOC，
∴OC=AC=5，AC//OB.
∴A，C的纵坐标相同.
∴点A的坐标为（3-5，4），即（-2，4）.
故答案为：C.
【分析】根据两点间距离公式可求出CO长，根据菱形性质可得AC=OC，AC//OB.于是可利用点C的坐标求出点A的坐标.
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，∠C=90°.
∵点P 沿着D→B→C的路径行进，
∴当点P在BD边时，PQ和DQ都逐渐增大；当点P在BC边时，PQ逐渐缩小，DQ保持不变.
运动路程为x，PQ﹣DQ为y，PQ⊥CD，
∴由函数图象，当点P运动到点C时，y=PQ－DQ=-2，即点P，Q，C重合时，DQ=DC=2.
当x=4时，y=PQ－DQ=0，即BD+BP=4时，点C和点Q重合，有PQ=DQ=DC.连接DP，如图：
∴PC=DC=2.
设BP=x，则BD=4-x.
在Rt△DBC中，BD2=BC2+CD2，
∴(4-x)2=(2+x)2+22，
解得：.
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据矩形性质可得AD=BC，∠C=90°.根据函数图象可得点P运动到点C时，y=PQ－DQ=-2；
当x=4时，y=PQ－DQ=0，于是可得DC=CP=2，DB+BP=4，在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得BP的值，即可求出BC，问题可解决.
11．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】，于是可利用平方差公式分解因式.
12．【答案】120°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正六边形各个内角的度数相同，
故该正六边形的每个内角为.
故答案为：120°.
【分析】根据多边形的内角和公式求出内角和，再利用正六边形的性质求每个内角度数即可.
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．【答案】（1，4）
【知识点】三角形全等及其性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD=BC， BD= AC，如图所示：
∵ 点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），
∴AB//x轴.
∴AB//CD，
由图可得点D坐标（1，4）.
故答案为：（1，4）.
【分析】根据点D在第一象限( 不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，得到△BAD≌△ABC，得到AD=BC， BD=AC，画出图形，利用数形结合的思想求解即可.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=2，∠A=90°.
∵ 正方形纸片ABCD对折，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，
∴OM=OE=OF=AB，，∠BOF=∠AOE.
∴OE=2OA.
∴∠AEO=30°.
∴∠BOF=∠AOE90°－∠AEO=60°.
∴∠EOF=60°.
∴弧EF的长度为：.
故答案为：.
【分析】由正方形性质可得AB=AD=2，∠A=90°.由折叠和作图可得，OM=OE=OF=AB，根据含30°角直角三角形的性质可得∠AEO=30°.于是可得∠EOF的度数，再利用弧长公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
又∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，
∴.
∵AA'＝AD，
∴.
令A'B'与BD的交点为M，A'C'与CD的交点为N，如图：
由平移可得：∠A'MD=∠B=30°，
在Rt△A'DM中，
∴.
∵A'M=A'N，
∴.
∴阴影部分面积为：
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求出AD的长，再由AA'＝AD 可得出A'D的长，最后根据平移的性质求出A'D所对应的底边长，即可解决问题.
17．【答案】解：原式＝|﹣2|﹣3+1
＝2﹣3+1
＝2+1﹣3
＝0．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先开平方，计算负整数指数幂以及零指数幂，再去绝对值，再进行加减运算即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号里面部分进行通分，再进行除法运算，约分之前需要将对多项式分解因式.
19．【答案】解：解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别计算每个不等式，最后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”确定不等式组的解集即可.
20．【答案】（1）
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
【知识点】利用频率估计概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，有4种等可能的结果，抽到C卡片的可能性只有1种，故抽中C卡片的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案.
21．【答案】解：任务一：图形如图所示：
任务二：（4，0）．
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；尺规作图-作圆的内接正多边形
【解析】【解答】解：任务二：正六边形的一个外角度数为：.
故DE与x轴正半轴的夹角为60°.故正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°后，点E落在CD的延长线上，即落在x轴上，记作E'，则DE'=DE=4.
∴点E'的横坐标为2+2=4.即点E此时所在位置是坐标为（4，0）.
故答案为：（4，0）.
【分析】（1）按照题目给的操作步骤作图即可；
（2）根据正多边形的外角和计算出一个外角的度数为60°，可得沿点D顺时针旋转60°后点E所在的位置，计算此时的坐标即可.
22．【答案】解：过E作EF⊥AB于F，
设FG＝x m，
在Rt△AEF中，
∵∠AEF＝37°，
∴tan37°＝，
∴AF＝EF tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m，
在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°，
∴，
∴AF＝GF＝x m，
∴0.75x+10.875＝x，
∴x≈44，
∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）
答：乾元塔的高度AB约为46m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥AB于F，设FG=xm，在Rt△AEF中解直角三角形得AF＝EF tan37°=0.75(x+16.5)；在Rt△AGF中解直角三角形得AF=GF×tan45°，代入数据，得到关于x的方程，求解即可.
23．【答案】（1）2；8
（2）2；2
（3）解：545×（20%+）+360×＝218+180＝398（人），
答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）10×（1－10%－50%－20%）=2（人）.
8分所占的比例最大，故人数最多，故众数为：8.
故答案为：2；8.
（2）女生测试成绩中，∵中位数=8.5=，故第5人成绩是8，第6人成绩是9.
∵前3人成绩分别是6和7，故第4人成绩是8，
∴m=2，n=10－1－2－2－3=2.
故答案为：2；2.
【分析】（1）用10×其他各组占比即可得到10分对应的人数；从扇形统计图看出8分占50%，占比最大，即为众数.
（2）根据女生成绩的中位数为8.5，可得女生中第5人成绩是8，第6人成绩是9.据此即可判断m，n的值.
24．【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得OD⊥CE，由AE⊥l，可得OD//AE，根据平行线的性质和等腰三角形性质可得∠OAD=∠EAD，结论可得；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，利用勾股定理，得到关于r的方程，即可得到r的值.
25．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
所以2＝﹣，解得a＝﹣2，
将A（﹣2，2）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）解：∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y＝﹣过点C，
∴﹣m 2m＝﹣4，
解得m＝或﹣（舍去），
∴m＝．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，得到关于a的方程，求解可得a，再把点A坐标代入y＝kx ，即可得k值；
（2）点C作CF⊥y轴于点F，证明△CFP≌△EOP，可得CF＝OE，OP＝PF.根据平移后一次函数的解析式得到点P和E的坐标，根据CF和OF的长可得点C坐标，代入反比例函数，即可求出m的值.
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，
∴＝＝，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴△ABE∽DAG，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF＝BF，
，
∴HD＝AB＝×2m＝m，
∴的值为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=90°，再根据∠ABE＝∠DAF和三角形外角性质求得∠AOE=∠BAD，问题即可即可.
（2）延长AF交CD于点G，证明△GDF∽△ABF，利用相似三角形性质可求得DG的长；证明△ABE∽△DAG，利用相似三角形性质可求得AE的长；利用DE=AD-AE可求DE长.
（3）延长AF交CD于点H，根据正方形的性质得AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB=AD=2m，证明△HDF∽△ABF，可得HD的长，于是可利用勾股定理求AH长，再根据相似三角形性质求得AF长.于是可得的值．
27．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：线段PQ存在最大值，理由如下：
过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．
∵B（3，0），C（0，3），
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠MNB＝90°，
∴∠PMQ＝∠NMB＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PM＝PQ，
∴PM的值最大时，PQ的值最大，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2＋2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2＋2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，
∴当时，PM的值最大，PM的最大值，
∴PQ的最大值＝PM＝，
此时点P坐标为：P（，）；
（3）解：满足条件的点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或3≤xM≤．
【知识点】等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3）设M(a，﹣a+3)，则N(a，﹣a+1)，当点N在抛物线上时，﹣a+1＝﹣a2+2a+3，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
解得，．
∵线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或3≤xM≤．
故答案为：≤xM≤0或3≤xM≤．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．由OB=OC，证得∠CBO=45°，由PQ⊥BC和对顶角性质可证得△PQM是等腰直角三角形，于是有PM＝PQ，只需要求最大的PM即可.求出直线BC的解析式，设出点P和点M的坐标，根据两点间距离公式的PM，再利用二次函数的性质即可求得PM的最大值，也可得到此时点P的坐标.
（3）设M(a，﹣a+3)，则N(a，﹣a+1)，令﹣a+1＝﹣a2+2a+3，求解可得N正好在抛物线上时a的值，结合图形即可得到MN与抛物线有交点时a的取值范围.
1 / 1甘肃省临夏州2024年中考数学试卷
1．（2024·临夏）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意；
B、是分数，是有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、 0.13133是有限小数，是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有π，开不尽方的数，0.101001000100001...等数
2．（2024·临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图会看到两个小耳朵，左视图小耳朵在中间位置，为一条线段；俯视图为多个同心圆（夹在中间的圆为虚线），故三个视图各不相同.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案.
3．（2024·临夏）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×108 B．0.27×1010 C．2.7×109 D．27×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：27亿=27×108=2.7×109.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字整数位的位数数－1. 1亿=108.
4．（2024·临夏）下列各式运算结果为a5的是（ ）
A．a2+a3 B．a2 a3 C．a10÷a2 D．（a2）3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2 a3=a5，故符合题意；
C、a10÷a2=a8，故不符合题意；
D、(a2)3=a6，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则进行运算并判断即可.
5．（2024·临夏）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴图象经过二、四象限；
又∵经过点（0，-1），即与y轴交于负半轴，
故经过第三象限，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的性质，k>0，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；b>0，图象与y轴交于正半轴；b>0，图象与y轴交于负半轴.
6．（2024·临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．110°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，如图示：
-∵∠E=35°，∠ABD=∠E，
∴∠ABD=35°.
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=35°.
∴∠BOD=180°－2×35°=110°.
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论求出∠B，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BOD度数即可.
7．（2024·临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得等量关系：降价后240元买的袋数=降价前240元买的袋数+10.据此列方程即可.
8．（2024·临夏）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵AB=AC=5，
∴BE=CE.
∴.
∴AE=4.
∴.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，解直角三角形求得AE长，再利用勾股定理可出BE长，根据等腰三角形“三线合一”性质可得BE=CE，于是问题可解决.
9．（2024·临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由C(3，4)，
∴.
∵菱形ABOC，
∴OC=AC=5，AC//OB.
∴A，C的纵坐标相同.
∴点A的坐标为（3-5，4），即（-2，4）.
故答案为：C.
【分析】根据两点间距离公式可求出CO长，根据菱形性质可得AC=OC，AC//OB.于是可利用点C的坐标求出点A的坐标.
10．（2024·临夏）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，∠C=90°.
∵点P 沿着D→B→C的路径行进，
∴当点P在BD边时，PQ和DQ都逐渐增大；当点P在BC边时，PQ逐渐缩小，DQ保持不变.
运动路程为x，PQ﹣DQ为y，PQ⊥CD，
∴由函数图象，当点P运动到点C时，y=PQ－DQ=-2，即点P，Q，C重合时，DQ=DC=2.
当x=4时，y=PQ－DQ=0，即BD+BP=4时，点C和点Q重合，有PQ=DQ=DC.连接DP，如图：
∴PC=DC=2.
设BP=x，则BD=4-x.
在Rt△DBC中，BD2=BC2+CD2，
∴(4-x)2=(2+x)2+22，
解得：.
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据矩形性质可得AD=BC，∠C=90°.根据函数图象可得点P运动到点C时，y=PQ－DQ=-2；
当x=4时，y=PQ－DQ=0，于是可得DC=CP=2，DB+BP=4，在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得BP的值，即可求出BC，问题可解决.
11．（2024·临夏）因式分解：x2﹣＝ ．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】，于是可利用平方差公式分解因式.
12．（2024·临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
【答案】120°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正六边形各个内角的度数相同，
故该正六边形的每个内角为.
故答案为：120°.
【分析】根据多边形的内角和公式求出内角和，再利用正六边形的性质求每个内角度数即可.
13．（2024·临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．（2024·临夏）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
【答案】（1，4）
【知识点】三角形全等及其性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD=BC， BD= AC，如图所示：
∵ 点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），
∴AB//x轴.
∴AB//CD，
由图可得点D坐标（1，4）.
故答案为：（1，4）.
【分析】根据点D在第一象限( 不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，得到△BAD≌△ABC，得到AD=BC， BD=AC，画出图形，利用数形结合的思想求解即可.
15．（2024·临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=2，∠A=90°.
∵ 正方形纸片ABCD对折，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，
∴OM=OE=OF=AB，，∠BOF=∠AOE.
∴OE=2OA.
∴∠AEO=30°.
∴∠BOF=∠AOE90°－∠AEO=60°.
∴∠EOF=60°.
∴弧EF的长度为：.
故答案为：.
【分析】由正方形性质可得AB=AD=2，∠A=90°.由折叠和作图可得，OM=OE=OF=AB，根据含30°角直角三角形的性质可得∠AEO=30°.于是可得∠EOF的度数，再利用弧长公式计算即可.
16．（2024·临夏）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
又∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，
∴.
∵AA'＝AD，
∴.
令A'B'与BD的交点为M，A'C'与CD的交点为N，如图：
由平移可得：∠A'MD=∠B=30°，
在Rt△A'DM中，
∴.
∵A'M=A'N，
∴.
∴阴影部分面积为：
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求出AD的长，再由AA'＝AD 可得出A'D的长，最后根据平移的性质求出A'D所对应的底边长，即可解决问题.
17．（2024·临夏）计算：|﹣|﹣（）﹣1+20250．
【答案】解：原式＝|﹣2|﹣3+1
＝2﹣3+1
＝2+1﹣3
＝0．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先开平方，计算负整数指数幂以及零指数幂，再去绝对值，再进行加减运算即可.
18．（2024·临夏）化简：（a+1+）÷．
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号里面部分进行通分，再进行除法运算，约分之前需要将对多项式分解因式.
19．（2024·临夏）解不等式组：．
【答案】解：解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别计算每个不等式，最后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”确定不等式组的解集即可.
20．（2024·临夏）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【答案】（1）
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
【知识点】利用频率估计概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，有4种等可能的结果，抽到C卡片的可能性只有1种，故抽中C卡片的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案.
21．（2024·临夏）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）．
操作步骤 ①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P； ②以点P为圆心，PC长为半径作圆； ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取； ④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六边形ABCDEF．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标： ．
【答案】解：任务一：图形如图所示：
任务二：（4，0）．
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；尺规作图-作圆的内接正多边形
【解析】【解答】解：任务二：正六边形的一个外角度数为：.
故DE与x轴正半轴的夹角为60°.故正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°后，点E落在CD的延长线上，即落在x轴上，记作E'，则DE'=DE=4.
∴点E'的横坐标为2+2=4.即点E此时所在位置是坐标为（4，0）.
故答案为：（4，0）.
【分析】（1）按照题目给的操作步骤作图即可；
（2）根据正多边形的外角和计算出一个外角的度数为60°，可得沿点D顺时针旋转60°后点E所在的位置，计算此时的坐标即可.
22．（2024·临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：过E作EF⊥AB于F，
设FG＝x m，
在Rt△AEF中，
∵∠AEF＝37°，
∴tan37°＝，
∴AF＝EF tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m，
在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°，
∴，
∴AF＝GF＝x m，
∴0.75x+10.875＝x，
∴x≈44，
∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）
答：乾元塔的高度AB约为46m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥AB于F，设FG=xm，在Rt△AEF中解直角三角形得AF＝EF tan37°=0.75(x+16.5)；在Rt△AGF中解直角三角形得AF=GF×tan45°，代入数据，得到关于x的方程，求解即可.
23．（2024·临夏）环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故80%都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表：
抽取的10名女生检测成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m 3 n
注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是 ，众数为 分；
（2）女生检测成绩表中的m＝ ，n＝ ；
（3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数．
【答案】（1）2；8
（2）2；2
（3）解：545×（20%+）+360×＝218+180＝398（人），
答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）10×（1－10%－50%－20%）=2（人）.
8分所占的比例最大，故人数最多，故众数为：8.
故答案为：2；8.
（2）女生测试成绩中，∵中位数=8.5=，故第5人成绩是8，第6人成绩是9.
∵前3人成绩分别是6和7，故第4人成绩是8，
∴m=2，n=10－1－2－2－3=2.
故答案为：2；2.
【分析】（1）用10×其他各组占比即可得到10分对应的人数；从扇形统计图看出8分占50%，占比最大，即为众数.
（2）根据女生成绩的中位数为8.5，可得女生中第5人成绩是8，第6人成绩是9.据此即可判断m，n的值.
24．（2024·临夏）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得OD⊥CE，由AE⊥l，可得OD//AE，根据平行线的性质和等腰三角形性质可得∠OAD=∠EAD，结论可得；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，利用勾股定理，得到关于r的方程，即可得到r的值.
25．（2024·临夏）如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
所以2＝﹣，解得a＝﹣2，
将A（﹣2，2）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）解：∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y＝﹣过点C，
∴﹣m 2m＝﹣4，
解得m＝或﹣（舍去），
∴m＝．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，得到关于a的方程，求解可得a，再把点A坐标代入y＝kx ，即可得k值；
（2）点C作CF⊥y轴于点F，证明△CFP≌△EOP，可得CF＝OE，OP＝PF.根据平移后一次函数的解析式得到点P和E的坐标，根据CF和OF的长可得点C坐标，代入反比例函数，即可求出m的值.
26．（2024·临夏）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF．
（1）【模型建立】
求证：AF⊥BE；
（2）【模型应用】
若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
（3）【模型迁移】
如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，
∴＝＝，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴△ABE∽DAG，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF＝BF，
，
∴HD＝AB＝×2m＝m，
∴的值为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠BAD=90°，再根据∠ABE＝∠DAF和三角形外角性质求得∠AOE=∠BAD，问题即可即可.
（2）延长AF交CD于点G，证明△GDF∽△ABF，利用相似三角形性质可求得DG的长；证明△ABE∽△DAG，利用相似三角形性质可求得AE的长；利用DE=AD-AE可求DE长.
（3）延长AF交CD于点H，根据正方形的性质得AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB=AD=2m，证明△HDF∽△ABF，可得HD的长，于是可利用勾股定理求AH长，再根据相似三角形性质求得AF长.于是可得的值．
27．（2024·临夏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：线段PQ存在最大值，理由如下：
过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．
∵B（3，0），C（0，3），
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠MNB＝90°，
∴∠PMQ＝∠NMB＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PM＝PQ，
∴PM的值最大时，PQ的值最大，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2＋2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2＋2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，
∴当时，PM的值最大，PM的最大值，
∴PQ的最大值＝PM＝，
此时点P坐标为：P（，）；
（3）解：满足条件的点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或3≤xM≤．
【知识点】等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3）设M(a，﹣a+3)，则N(a，﹣a+1)，当点N在抛物线上时，﹣a+1＝﹣a2+2a+3，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
解得，．
∵线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或3≤xM≤．
故答案为：≤xM≤0或3≤xM≤．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．由OB=OC，证得∠CBO=45°，由PQ⊥BC和对顶角性质可证得△PQM是等腰直角三角形，于是有PM＝PQ，只需要求最大的PM即可.求出直线BC的解析式，设出点P和点M的坐标，根据两点间距离公式的PM，再利用二次函数的性质即可求得PM的最大值，也可得到此时点P的坐标.
（3）设M(a，﹣a+3)，则N(a，﹣a+1)，令﹣a+1＝﹣a2+2a+3，求解可得N正好在抛物线上时a的值，结合图形即可得到MN与抛物线有交点时a的取值范围.
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