2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. B. C. D.
2.某学校名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去个小区，且每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
3.已知为等比数列，公比，，，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
6.哈雷彗星大约每年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名已知哈雷是年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为( )
A. 年年 B. 年年 C. 年年 D. 年年
7.在正方体中，，分别在，上，且，若正方体的棱长为，则( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 若随机变量服从两点分布，，则
D. 若随机变量的方差，则
10.已知点在圆上，点，，则( )
A. 存在点，使得 B.
C. 存在点，使得 D.
11.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项
D. 若是数列中的项，则的值可能为
12.设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心设函数，则以下说法正确的是( )
A. 的拐点为
B. 有极值点，则
C. 过的拐点有三条切线
D. 若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中，的系数为______．
14.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
15.已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______．
16.已知点在抛物线：上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点若，点的横坐标为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的零点个数．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，，，．
证明：；
求平面和平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知椭圆方程为，离心率为且过点．
求椭圆方程；
过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
已知函数，若恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：函数，可得，
所以且，即切线的斜率为且切点坐标为，
所以切线方程为，即．
由知，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也为最小值，
由，
所以，
所以函数没有零点，即函数的零点个数为．
18.解：Ⅰ已知等差数列的前项和为，且，，
设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
所以；
Ⅱ由Ⅰ知，，
所以
，
则数列的前项和．
19.解：证明：平面，又平面，
，
，．
又，，平面，
平面．
又平面，
．
由题及可知，，两两相互垂直，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得：，，，，
，
设平面和平面的法向量分别为，
则，，
即
取，
平面和平面夹角的余弦值为．
20.解：根据题目所给已知条件：离心率为且过点，我们可以得到，，所以解得，
进一步我们可以得到椭圆的标准方程为．
由知，．
根据直线的斜率是否存在分两种情况进行讨论．
当直线斜率为零时，不妨设，，
则，
此时存在，使成立，
当直线斜率不为零时，设直线方程为，，，
联立方程组消去得，易知，
所以，，，
又因为，
所以，
又因为，当时，最小为．
综上所述，存在，使成立，最小为．
21.解：，
若，，在上单调递增；
若，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
，
，
，
令，则，即在上恒成立，
令，
则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
即实数的取值范围为．
第1页，共1页