重庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

秘密★启用前【考试时间：2024年7月3日 15:00-17:00】
重庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题卷
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．复数满足（为虚数单位），则（　　）
A．2 B．4 C． D．
2．若直线的倾斜角为，则实数值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
4．用、、表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知直线与圆交于，两点，则线段长度的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若的内角，，对边分别是，，，，且，则角大小为（　　）
A． B． C． D．
7．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知两椭圆和，则（　　）
A．两椭圆的焦距相等 B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有2个交点 D．两椭圆有4个交点
10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（　　）
A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为
C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为
11．棱长为2的正方体中，，，，则（　　）
A．三棱锥的外接球半径为
B．直线与直线所成角的余弦值的最小值为
C．时，过点作直线的垂面，则平面截正方体所得截面面积为
D．若，则三棱锥的体积为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为________．
13．等腰直角中，，，，与交于点，若，则________．
14．锐角的面积为2，且，若恒成立，则实数的取值范围为________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知圆关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，，求直线的方程．
16．（15分）已知的面积为，且．
（1）求角；
（2）若，，求的长度．
17．（15分）五面体中，，，，均为正三角形．
（1）证明：：
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．
18．（17分）椭圆的对称中心为坐标原点，且与椭圆的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线、，其中直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，求四边形的面积的取值范围．
19．（17分）三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面．已知在空间直角坐标系中，球的半径为，记平面、平面、平面分别为、、．
（1）若棱长为的正方体、棱长为的正四面体的内切球均为球，求的值；
（2）如果在球面上任意一点作切平面，记与、、的交线分别为、、，求到、、距离的乘积的最小值（结果用表示）．
2024年重庆一中高2026届高一下期期末考试
数学参考答案
一、单选题
1-4．DCBA 5-8．ABBD
二、多选题
9．BC 10．ACD 11．ACD
三、填空题
12．；13．；14．
四、解答题
15．【解析】（1）圆，圆心，半径．
若直线的斜率不存在时，的方程为满足题意； 2分
若直线的斜率存在时，设的方程为，即，
∵直线与圆相切，∴点到的距离等于，即．
此时的方程为，即． 5分
综上，直线的方程为或． 6分
（2）设点，因为点与点关于直线对称，则．故点．……9分
若直线的斜率不存在时，的方程为，弦长，不满足题意；
若直线的斜率存在时，设的方程为，即，
由圆的弦长公式．11分
故．则直线的方程为或．13分
16．【解析】（1）设的内角，，的对边分别是，，，则
① 2分
② 4分
①/②，得：，∵，∴……7分
（2）由（1）知：，由余弦定理，得：，即
联立解得或． 10分
由，得：．平方，得：
或 13分
从而或． 15分
17．【解析】（1）证明：取中点，连接，，与交于点，连接．
因为且，，，共面，故．
因为且，故为平行四边形，
又且，故为正方形．
则为中点，且，．
因为，为中点，所以，又，故，即，
因为，平面，故平面， 3分
又平面，故．
因为且，故为平行四边形，故，
又，所以， 5分
又，，平面，故平面，
又平面，故． 7分
（2）解：因为，平面，平面，故平面，又平面，平面平面，故． 9分
由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系。故，，，，由，得． 11分
所以，，设平面的法向量，由，即，取平面的一个法向量，
易知平面的一个法向量为， 13分
记平面与平面所成角为，则。故平面与平面所成夹角的余弦值为． 15分
18、【解析】
（1）设椭圆的方程为，
椭圆的长轴长为，离心率为． 2分
∵椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为，∴． 4分
∵两椭圆的离心率相等，∴．从而． 5分
故椭圆的方程为． 6分
（2）设四边形的面积为．
①若直线、的斜率不存在或为0时，不妨设的斜率为0，的斜率不存在，
易得，，此时； 8分
②若直线、的斜率存在且不为0时，设的方程为，
联立椭圆，消得：．则．
设，，则由韦达定理有． 10分
则
． 12分
因为直线、相互垂直，将去代替，可得．
则
易得，则．……16分
综上所述，．故四边形的面积的取值范围为． 17分
19．【详解】（1）由题意可知，球的外切正方体的棱长为， 2分
设球为正四面体的内切球，如下图所示：
设顶点在底面的射影为点，则为正的中心，
取线段的中点，连接，则，易知，，
所以，，，
因为，即，
故，解得， 6分
所以，． 7分
（2）设为球面上一点，则，
在平面上任取一点，则，
即，即， 9分
因为平面与三个坐标平面均有交线，则，
平面分别交，，轴于点、、，
设到、、距离分别为、、，
则，同理可得，， 12分
所以，
，15分
当且仅当，即当，
故到、、距离乘积的最小值为． 17分