2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数，则下列函数与相等的函数是( )
A. B.
C. D.
4.若函数，且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A. B.
C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.函数的定义域是___ __．
11.已知，，且，则实数的取值范围是______．
12.若是偶函数，则 ．
13.给出下列命题：
若，则；
若，则；
若，是非零实数，且，则；
若，则，
其中正确的命题是______．
14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的总利润单位：万元与营运年数为二次函数的关系如图，则每辆客车营运年数为______时，营运的年平均利润最大．
15.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
求下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．
17.本小题分
已知，求的最大值．
点在直线上移动，求的最小值．
18.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式；
求函数的极值．
19.本小题分
函数的定义域为且对一切，，都有，当时，有．
求的值；
判断的单调性并证明；
若，解不等式．
20.本小题分
已知函数．
若的图象恒在轴上方，求的取值范围；
若存在正数，，满足，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ原式；
Ⅱ原式
．
17.解：，，当且仅当时取等号．
点在直线上移动，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
18.解：，当时，取得极值，
则，即，得故
，
令，得或．
，，的变化情况如下表：
极大值 极小值
因此，的极大值为，极小值为．
19.解：对一切，，都有，
令则；
在定义域上是增函数．
理由如下：令，则，当时，有．
，即，即，
则在定义域上递增；
若，则，，
即，
在定义域上是增函数，
，且，
且，
．
故原不等式的解集为．
20.解：的定义域为，
，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
因此，当时，，
因为的图象恒在轴上方，
所以恒成立
则，即，解得，
所以的取值范围为；
证明：由及的单调性可知，，
构造函数，，
则，
当时，，，即，
所以在区间上单调递减，
因为，所以，即，
由题意，所以，
因为在，且单调递增，，，
所以，即．
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