2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别为，，，若的面积为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
5.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.在中，为上一点，为线段的中点，若，且，则( )
A. B. C. D.
8.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，其中是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 的模等于 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. 的共轭复数为 D. 若是纯虚数，则
10.已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C.
D. 若，
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的有( )
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是钝角三角形
12.引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为虚数单位，则______．
14.已知三点，，，则“存在实数，使得”是“，，三点共线”的______条件填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”
15.已知的内角、、所对的边、、满足且，则的面积 ______．
16.在中，角，，所对的边分别为，，，且当取最小值时，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求为何值时：
；
与的夹角为钝角．
18.本小题分
一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛．
求的长；
如果下次航行直接从出发到达，求的大小？
19.本小题分
已知，．
若，且、、三点共线，求的值．
当实数为何值时，与垂直？
20.本小题分
已知，，，分别为内角，，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：；；；．
Ⅰ满足有解三角形的序号组合有哪些？
Ⅱ在Ⅰ所有组合中任选一组，并求对应的面积．
21.本小题分
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边，于点，，设，其中，．
求的值；
求面积的最小值，并指出相应的，的值．
22.本小题分
锐角的三个内角是、、，满足．
求角的大小及角的取值范围；
若的外接圆圆心为，且，求的取值范围．
参考答案
1.
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12.
13.
14.充要
15.
16.
17.解：由可得，所以．
因为与的夹角为钝角，所以且不共线，即，
解得且，
所以．
18.解：由题意，在中，，，，
根据余弦定理得
，
所以．
根据正弦定理得，，
故，
．
19.，，，，
则，，且、、三点共线，
则可得，
即，解得；
，，，，
则，，
因为与垂直，
则可得，解得．
20.解：由可得，，
由可得，
解可得，舍或，
由为三角形的内角可得，
不能同时成立，
所以满足有解三角形的序号组合有或，
Ⅱ选择，由余弦定理可得，，
所以，即，
解可得，，
，
选，由余弦定理可得，，
，
解可得，，
．
21.解：延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，由，，
得，又，，三点共线，
所以，即；
是边长为的正三角形，则，，
，
由，则，
，，，解得，
，
设，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
22.解：设的三个内角、、的对边分别为、、，
因为，
由正弦定理得，所以，
即，又，所以，
因为为锐角三角形，则，
解得，所以的取值范围是．
设的外接圆半径为，则，
因为，，由正弦定理得，，解得，
设，则，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
即的取值范围是．
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