2023-2024学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，若用随机数法在该中学抽取容量为的样本，每人被抽到的可能性都为，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，，则与平行的单位向量为( )
A. B. 或
C. 或 D.
5.如图直四棱柱的体积为，底面为平行四边形，的面积为，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.设的面积为，若，则角( )
A. B. C. D.
7.已知直角斜边的中点为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图所示现有如图所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为，，且到平面的距离为，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 向量对应的复数是 D.
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 直线与是平行直线
C. 直线与是相交直线
D. 平面截正方体所得的截面面积为
11.下列说法正确的是( )
A. 已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为
B. 是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心
C. 已知为的外心，边、长为定值，则为定值
D. 若点满足，则点是的垂心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个长方体容器中盛有水，侧面为正方形，且如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于______．
13.已知，是关于的实系数方程的两个虚根，则 ______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，满足．
求；
求的最小值．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，．
求的值；
若四边形是平行四边形，求点的坐标；
若点，，三点共线，且，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，、分别是、的中点．
求证：平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
当时，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：．
设，则．
因为，所以，故．
，当时取得等号．
故的最小值为．
16.解：由点，点在单位圆上，，
则，
则；
四边形是平行四边形，
则，则，
即，
所以点的坐标为；
点，，三点共线，且，
当时，，
则，
当时，，
即．
17.证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，
则，，，，又底面是正方形，
则，，即四边形为平行四边形，
则，又，平面，则平面．
为中点，连接、，
又，底面是边长为的正方形，
则，且，，
又二面角的大小为，即平面平面，
又平面，平面平面，
则平面，则是直线与平面所成角，
在中，，即，
则直线与平面所成角的大小为．
18.解：Ⅰ证明：因为，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，
所以；
Ⅱ因为平面，
所以，，
又因为，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
易知平面的法向量，
设平面的法向量，
，即，令，，，
故，
故，
故所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为，
由正弦定理可得，
由余弦定理，即，
所以，
又为锐角，
所以；
由正弦定理得，
所以，，
则
，
由，可得，
所以，
所以，
所以，即的取值范围为．
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