吉林省延边第二中学2023-2024学年高一下学期期末阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省延边第二中学2023-2024学年高一下学期期末阶段检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 727.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 18:49:29 | ||
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文档简介
延边第二中学2023-2024学年高一下学期期末阶段检测
数学试卷
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i
2.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
3.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．－ C． D．
4.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5.平行六面体中．
则=（ ）
A． B． C． D．
6.已知样本数据的平均数为 方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A． B． C． D．
8.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层级内，根据抽样结果得到如图所示的统计图表，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数少于男生人数 B．样本中B层人数最多
C．样本中E层男生人数为6 D．样本中D层男生人数多于女生
10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．点是的重心，且，则角的大小为
B．若，，则面积的最大值为
C．若，则是钝角三角形
D．若，，符合条件的有两个，则
11.如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．平面与底面的夹角余弦值为；
B．点到平面的距离为；
C．点到点的距离最大值为；
D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）
12. 若一组由小到大排列的数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则的值是
13. 已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm
14. 如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为
四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）
15.已知向量.
(1)若且与方向相反，求的值；
(2)若.
①求与的夹角的余弦值； ②求.
16.正方体中，是棱的中点.
(1)直线与平面所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
17.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；并求样本成绩的第75百分位数
(2) 已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18. 如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作．
(1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里．
(2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间？
19.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点.
(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.
高一数学
CDBD ADAD BC BCD BCD
12.9 13. 14.
15.（1），所以或.与方向相反，符合
（2）因为.
此时，.①，，.所以.
②因为，所以.
16解：以为坐标原点，射线的方向为的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2.则.
（1）直线的一个方向向量是，设平面的一个法向量是，
，，即，平面的一个法向量是，由，所以直线与平面所成角的余弦值是.
（2）设平面的一个法向量是，
，，即，所以平面的一个法向量是，又因为平面的一个法向量是，由，所以二面角的正弦值是
17.
【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，则.
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84.
（2）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：.
18.【详解】（1）由题意知
在中，由余弦定理得
所以
（2）由题意，
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）所在
又在中，
由余弦定理得
， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时，
在中， ,
由正弦定理得，即,解得：
， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时，
∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时.
19.【答案】(1)作图及理由见解析；(2).
【详解】（1）取中点P，作直线，则直线即为所求，取中点H，连接，则有，如图，
在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，
即有，又平面，平面，所以平面.
（2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，
过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即为四棱锥的高，在中，，
，当且仅当时取等号，此时点与重合，
梯形的面积为定值，四棱锥的体积，
于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，，
以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
在等腰梯形中，，此梯形的高，
显然为的中位线，则，
，
设，则
设平面的一个法向量，则，令，得，则有，
令，则，当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，综上得，所以的取值范围是.
数学试卷
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i
2.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
3.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．－ C． D．
4.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5.平行六面体中．
则=（ ）
A． B． C． D．
6.已知样本数据的平均数为 方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A． B． C． D．
8.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层级内，根据抽样结果得到如图所示的统计图表，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数少于男生人数 B．样本中B层人数最多
C．样本中E层男生人数为6 D．样本中D层男生人数多于女生
10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．点是的重心，且，则角的大小为
B．若，，则面积的最大值为
C．若，则是钝角三角形
D．若，，符合条件的有两个，则
11.如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．平面与底面的夹角余弦值为；
B．点到平面的距离为；
C．点到点的距离最大值为；
D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）
12. 若一组由小到大排列的数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则的值是
13. 已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm
14. 如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为
四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）
15.已知向量.
(1)若且与方向相反，求的值；
(2)若.
①求与的夹角的余弦值； ②求.
16.正方体中，是棱的中点.
(1)直线与平面所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
17.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；并求样本成绩的第75百分位数
(2) 已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18. 如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作．
(1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里．
(2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间？
19.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点.
(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.
高一数学
CDBD ADAD BC BCD BCD
12.9 13. 14.
15.（1），所以或.与方向相反，符合
（2）因为.
此时，.①，，.所以.
②因为，所以.
16解：以为坐标原点，射线的方向为的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2.则.
（1）直线的一个方向向量是，设平面的一个法向量是，
，，即，平面的一个法向量是，由，所以直线与平面所成角的余弦值是.
（2）设平面的一个法向量是，
，，即，所以平面的一个法向量是，又因为平面的一个法向量是，由，所以二面角的正弦值是
17.
【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，则.
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84.
（2）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：.
18.【详解】（1）由题意知
在中，由余弦定理得
所以
（2）由题意，
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）所在
又在中，
由余弦定理得
， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时，
在中， ,
由正弦定理得，即,解得：
， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时，
∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时.
19.【答案】(1)作图及理由见解析；(2).
【详解】（1）取中点P，作直线，则直线即为所求，取中点H，连接，则有，如图，
在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，
即有，又平面，平面，所以平面.
（2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，
过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即为四棱锥的高，在中，，
，当且仅当时取等号，此时点与重合，
梯形的面积为定值，四棱锥的体积，
于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，，
以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
在等腰梯形中，，此梯形的高，
显然为的中位线，则，
，
设，则
设平面的一个法向量，则，令，得，则有，
令，则，当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，综上得，所以的取值范围是.
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