2023-2024学年第二学期福州市部分学校教学联盟期末联考
高中一年级数学参考答案
本参考答案仅提供部分做法，若考生使用其他方法作答但科学合理的，同样依照实际情况合理给分。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B D D A B
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9、10小题选对其中一个选项的得3分，第11小题选对其中一个选项的得2分。有错选、多选、不选的得0分。
题号 9 10 11
答案 AD BD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．170 13． （第一空2分，第二空3分） 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）由，由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）由（1）知，且，
根据余弦定理得，所以，
又因为的面积为，可得，所以，
所以，可得，所以的周长为.
（本小题满分15分，第一小题7分，第二小题8分）
证明：（1）如图,取PA中点G,连接BG,FG,
∵F为PD的中点,∴FG∥AD,且FG,
∵E为BC的中点,∴BE∥AD,且BFAD,
∴FG∥BE,FG＝BE,则四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG,
又BG平面PAB,EF平面PAB,
∴EF∥平面PAB
（2）∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,
∵BD＝CD,E为BC的中点,∴DE⊥BC,
又PDDE＝D,平面PDE,
∴BC⊥平面PDE,
又BC平面PBC,
∴平面PBC⊥平面EFD.
（本小题满分15分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题5分）
解：（1）由频率和为1，得，解得；
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为81.
（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间
，；
记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则，，
所以所求的概率为.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
所以，
.
（本小题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）
证明：（1）设，连接，则为的中点，
因为分别为的中点，则∥，
且∥，则∥，
由平面，平面，可得∥平面，
又因为分别为的中点，则∥，
由平面，平面，可得∥平面，
且，平面，可得平面∥平面，
由平面可得∥平面.
（2）解：由题意可得：，作，垂足为，
因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
由等面积可得，
可知点到平面的距离为，
且点为的中点，则点到平面的距离，
取的中点，的中点，连接，
则∥，，则为平行四边形，可得∥，
又因为分别为的中点，则∥，且，
可得∥，
可知直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）可知：，作，垂足为，
因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
可知平面与平面夹角为，
由平面，平面，可得，
在中，则，可得，
在中，则，
在中，则，
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.（本小题满分17分，第一小题4分，第二小题7分，第三小题6分）
解：（1），则，
故，
所以是正弦周期函数.
（2）存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又，，
所以，
又，
则，
故，，
因为，所以，且严格增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证.
若不然，，则，由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知，
又，
故，这与矛盾.
故，综上所述，；
（3）法1：若，则由可知为周期函数.
若，则对任意，存在正整数，使得且.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
所以，
故，所以，
若，则同理可证（取为负整数即可）.
综上，得证.
法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立.
显然.
因为不恒成立，所以存在，使得，
因为，所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
由正弦周期性得，
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上，是周期函数.2023-2024学年第二学期福州市部分学校教学联盟期末联考
高中一年级数学试卷
考试时间：2024年7月5日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
☆祝 考 试 顺 利！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，计算（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
6．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°，点B处测得其顶点P的仰角为30°，若AB=55米，且，则解放碑的高度为（ ）
A．米 B．55米 C．米 D．米
8．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B．π C． D．
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
9．一个盒子里装有个白球、个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出个．设事件{第一次取出白球}，事件{第二次取出黑球}，事件{两次至少取出1个白球}，事件{两次至少取出1个黑球}，事件{两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是（ ）
A．与相互独立 B．与互斥 C．与互斥 D．与互为对立
10．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则满足条件的三角形有2个
D．若不是直角三角形，则
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得∥平面
B．不存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最小值为
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是 ．
13．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则的值为 ，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为 ．（第一空2分，第二空3分，结果均用分数形式表示）
14．已知，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知在中，角所对的边分别为，，，且
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
16．（本小题满分15分）
在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PBC⊥平面EFD．
17．（本小题满分15分）
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总方差.
18．（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，.
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19．（本小题满分17分）
对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
