数学参考答案、提示及评分细则
1.【答案】A
【解析】 . 选 .
2.【答案】B
【解析】 . 选 B.
3.【答案】B
【解析】 . 选 B.
4.【答案】C
【解析】 . 选 C.
5.【答案】A
【解析】 . 选 A.
6.【答案】A
【解析】 . 选 A.
7.【答案】D
【解析】 . 选 D.
8.【答案】
【解析】 关于 对称,且为奇函数, 在 单调递增,在 单调递减,
,故 . 选 C.
9.【答案】
【解析】A: 中位数是 6,故 A 错误; B: ,故 ,故 B 正确.
C: ,故 正确.
D: ,故 ,故 D 错误. 选 BC.
10.【答案】BCD
【解析】准线: ,故 A 错误. 由抛物线的性质可得 BCD 正确. 故选 BCD.
11.【答案】ACD
【解析】当 时, 是母线,故 ,故直线 与 所成角是定值, 正确;
当 为等边三角形时, , B 错误;
对于 ,当 时,以 为原点,以 所在直线分别为 轴、 轴,以圆 中垂直于 的直径所在的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图,
则 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于 ,设圆柱底面半径为 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
解得 (负值已舍去) 或 (负值已舍去).
当 时,球 的半径为 ,所以球 的表面积 ;
当 时,球 的半径为 ,所以球 的表面积 ,故 正确.
故选 : ACD.
12.【答案】
【解析】 得 . 故答案为 .
13.【答案】
【解析】 . 故答案为 .
14.【答案】
【解析】 ,故 . 故答案为 .
15. 解: 因为 ,
由正弦定理可得: ,
即 , 2 分
又因为 ,所以 , 4 分
,
; 6 分
(2) 由题意 ,
由 (1) 知 . 8 分
又
所以 .
又因为 ,
即 . 10 分
又因为 , 12 分
所以 的周长为 . 13 分
16 解: (1) 因为点 在椭圆 上,所以 , 1 分
又 , 2 分
所以 , 4 分
即得椭圆 的方程为 ; 6 分
(2) 当直线 斜率 不存在时,直线 与 交于 两点,则线段 ; 9 分
当直线 斜率 存在时,设直线 ,点 ,
联立方程 得: ,
所以 , 11 分
, 12 分
设 ,则 ,所以 ,
当 时等号成立, ,
又因为 ,所以 , 14 分
此时直线 的方程为 或 . 15 分
17. 解: (1) 证明: 设 ,
,
. 2 分
平面 .
又 平面 , 4 分
; 6 分
(2) 以 为原点建系如图, ,
, 8 分
,
, 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,
不妨设 ,则可取 . 12 分
由 (1) 知 平面 ,
平面 的一个法向量 . 13 分
记平面 与平面 的夹角为 ,则 . 15 分
18. 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
当 时, ,
则 , 3 分
化简得: ,而 ,所以 , 4 分
所以 为等差数列,所以 ; . 5 分
(2) 由 (1) 可知, ,则 ,
所以 , 7 分
因为 ,当 或 时, 取最大值 3, 9 分
所以数列 的最大项为第 2 项或第 3 项,其值为 3 . 10 分
(3) 由题可知,当 时,
所以 , 13 分
当 时, ,
所以 ,
,
所以 ,
所以 , 16 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 当 时, ,
所以 , 2 分
所以切线方程为: 即 ; 4 分
(2) 因为 ,
所以 , 5 分
设 ,
则 , 6 分
又因为 ,所以 ,即 单调递增,
又因为 ,所以 时, ,即 ;
时, ,即 ; 8 分
综上可知: 函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 9 分
(3) 因为 对任意 恒成立,即 ,
即 ,
即 , 11 分
设 ,则 ,
易知 单调递增,所以 ,
所以 单调递增,则原不等式等价于 ,即 . 对任意 恒成立,
所以 ,令 ,则 , 13 分
又因为 ,
令 ,则 ,所以 单调递减;
又因为 ,
所以 ,
所以 时, ,即 单调递增;
时, ,即 单调递减; 15 分
所以 ,
所以 ,而 ,
所以整数 的最小值为 1 . 17 分机密★启用前
湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考
数 学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数z满足，则
A． B． C． D．
3.已知M，N是圆O上的两点，若，则
A．3 B． C．9 D．
4.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则
A． B．
C． D．的最小正周期为
5.已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为
A． B． C．2 D．
6.在的展开式中，的系数是
A． B．5 C． D．10
7.从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则
A． B． C． D．
8.设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9.下列说法正确的是
A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5
B．当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有
C．若随机变量X服从正态分布，若，则
D．已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10.已知抛物线C：，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则
A．C的准线方程为 B．线段MN的长度的最小值为4
C．存在唯一直线l，使得F为线段MN的中点 D．以线段MN为直径的圆与C的准线相切
11.已知圆柱的高为，线段AB与CD分别为圆与圆的直径，则
A．若P为圆上的动点，，则直线与AC所成角为定值
B．若△ABC为等边三角形，则四面体ABCD的体积为
C．若，且，则
D．若，且AC与BD所成的角为60°，则四面体ABCD外接球的表面积为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量，，若，则 .
13.3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子
志愿者人数 30 60 50 40 20
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 .
14.已知函数，且时，，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小：
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
16.（15分）
已知椭圆C：（）过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程.
17.（15分）
如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，．
（1）证明：；
（2）求平面PAD与平面PAC夹角的余弦值.
18.（17分）
已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）求数列的最大项；
（3）若数列满足，求数列的前30项和（，）.
19.（17分）
已知函数，（）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意恒成立，求整数a的最小值.
