2024 年上学期期末质量监测参考答案（高二数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. B 2. A 3.D 4.C
5. B 6. D 7.D 8. C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9. ACD 10.BC 11. BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12. ,5
3
13. 448
4
14.
29
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）因为展开式的第 3项和第 5项的二项式系数相等，
2 4 n! n!C C n n 1 n n 1 n 2 n 3所以 n ，即
n 2! n 2 ! 4! n 4 !， ，2 4 3 2 1
整理得 n 2 n 3 12，解得n 6或 n 1（舍），…………3分
k 3k
所以展开式的通项为T Ck (2x)6 k 1
6
k 1 6 C
k 26 k6 x 2 ，
x
6 3k令 0，得 k 4，
2
故常数项为T5 C
426 4 06 x 60 .…………6分
（2）令 x 1，得所有项的系数之和为 (2 1)n 81，解得 n 4 .…………9分
由于 n 4是偶数，所以展开式中共有 5项，且第 3项的二项式系数最大，
2
所以展开式中二项式系数最大的项为T C2 (2x)4 2 1 3 4 24x.…………13分
x
1
16.（1）依题意， a(csinC bsin B asin A)
1
absinC，…………2分
2 2
所以 c sinC b sin B a sin A b sinC ，
由正弦定理可得， c2 b2 a2 bc，…………4分
1
由余弦定理， c2 b2 a2 2bc cos A，解得 cos A ，…………6分
2
因为 A (0, π)，所以 A π ；…………7分
3
（2）依题意，b c 5 a 3，…………9分
5
因为 c2 b2 bc (b c)2 3bc a2，解得bc ，…………11分
3
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{#{QQABYYSAogCoQIAAAAgCUQF6CAEQkAEACagGQBAIMAAAAQNABAA=}#}
1
因为 AD (AB AC)，…………12分
2
2 5
所以 2 1 b2AD (AB AC ) 2 c
2 bc (b c) 2 bc 3 11
3 ，
4 4 4 4 6
所以 AD 66 ．…………15分
6
17.设 B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第 i 台车床加工”(i＝1，2，3)，则
Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.………………………………………3分
（1）由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.…………………………………6分
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第 i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计
算在 B发生的条件下，事件 Ai 发生的概率．
P(A1B) P(A1)P(B | A1)P(A1|B)＝ P(B) ＝ P(B)
0.25 0.06
＝ ＝ 2 .
7 …………………………………9分0.0525
类似地，可得
P(A2|B)＝
2，
7 …………………………………12分
P(A3|B
3
)＝ .…………………………………15分
7
18.（1）在直三棱柱 ABC A1B1C 1中， AA1 平面 ABC， AC ,AB 平面 ABC，
则 AA1 AC， AA1 AB，所以点 A 2π
π 2π
的曲率为 2 BAC ，
2 3
BAC π所以 ．…………………………3分
3
因为 AB AC，所以△ABC为正三角形．
因为 N为 AB的中点，所以CN AB．
又 AA1 平面 ABC，CN 平面 ABC，所以 AA1 CN ，
因为 AA1 AB A， AA1、AB 平面 ABB1A1，所以CN 平面 ABB1A1．……………6分
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{#{QQABYYSAogCoQIAAAAgCUQF6CAEQkAEACagGQBAIMAAAAQNABAA=}#}
（2）取 AB1的中点D，连接DM，DN．
因为 N为 AB的中点，所以DN / /BB1且DN
1
BB
2 1
．
又CM / /BB1且CM
1
BB1，所以DN / /CM 且DN CM ，2
所以四边形CNDM为平行四边形，则DM / /CN．
由（1）知CN 平面 ABB1A1，则DM 平面 ABB1A1．
又DM 平面 AMB1，所以平面 AMB1 平面 ABB1A1．……………11分
（3）取BC 的中点 F，连接 AF，则 AF BC．
因为 BB1 平面ABC， AF 平面ABC，所以 BB1 AF，
因为 BB1 BC B， BB1、BC 平面 BB1C1C，所以 AF 平面 BB1C1C．
又 B1M 平面 BB1C1C，所以 AF B1M ，过 F作B1M的垂线，垂足为H，连接 AH，
则 B1M FH ，又 AF FH F ,AF、FH 平面 AFH ，所以 B1M 平面 AFH ，
又 AH 平面 AFH ， AH B1M ，
所以∠AHF为二面角 A MB1 C1的平面角的补角．
设 B1M BC E， AB 2，则 AF 3， EF 1 2 3，ME 2 2．
1 1 EF CM 3 2 3
由等面积法可得 ME FH EF CM ，则 FH ，
2 2 ME 2 2 2
则 tan AHF AF 6 ，故二面角 A MB 61 C1的正切值为 ．……………17分
FH 3 3
(备注：如有学生用坐标法作答的也同样按照 6+5+6 三小问得分计算）
19.(1）（ⅰ）由 a1 1， an 1 2an 1易得 a2 3,a3 7,a4 15，…………………2分
由一阶等差数列的定义得：
a 1 1 a2 a 2， a
1 a a 4， a 1 1 2 3 2 3 a4 a3 8 .……………5分
（ⅱ）因为 an 1 2an 1，所以当 n 2时有 an 2an 1 1，
所以 an 1 2an an 2an 1 ，即 an 1 an 2 an an 1 ，
即 a 1 n 2a
1 ,n 2，又因为 a 1，故 a 1 n 1 1 n 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
即 an 是一阶等比数列.……………10分
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{#{QQABYYSAogCoQIAAAAgCUQF6CAEQkAEACagGQBAIMAAAAQNABAA=}#}
（2）由题意 b (2)n 的二阶等差数列 bn 为等比数列，设公比为q，
则b(2)
2 2
1 ， q 4，所以b
(2) n 1
3 n
4 .
3
n 1 n 1
由题意b 1
11
，所以b 1 b 1 b 1 b 1 11 b 2 2 n 11 n 1 k 1 k k 4 1，9 k 1 9 k 1 9
n 1 n 1
1 2所以 n 1n 1 bk 1 bk 1 bk 4 1 n， b b
k 1 k 1 27
2
即bn 4n 1 1 n.………………………………13分27
4n 1所以bn为整数当且仅当
1为整数.
27
由已知 n 1时符合题意， n 2,3,4,5时不合题意，
当 n 6时， 4n 1 n 1 1 1 3 1 C1n 1 3 C2n 1 32 C3n 1 33 Cn 1 3n 1n 1 ，
1 2
所以原题等价于 3Cn 1 9Cn 1 为整数，
27
1 2 3 n 1 1 n 1
因为 3Cn 1 9Cn 1 3n 4 n 1 ①，
27 18 2 9
显然3 n 1 1含质因子 3，所以 n 1必为 9的倍数，
设 n 1 9k , k N ，则 n 9k 1，将 n 9k 1代入①式，
当 k为奇数时，3 n 1 1为偶数，①式为 2的倍数；
当 k为偶数时， n为奇数， n 1为偶数，①式为 2的倍数，
又因为 2与 9互质，所以①为整数.
综上，当 n 9k 1, k N 时，bn为整数.…………………………………17分
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{#{QQABYYSAogCoQIAAAAgCUQF6CAEQkAEACagGQBAIMAAAAQNABAA=}#}2024 年上学期期末质量监测试卷
高二数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。
1．已知集合 A x Z | 3 x 2 ，B x Z | x 0 ，则 A B （ ）
A． 0 B． 0,1 C． 0,1,2 D．{-2,0,1}
a 2．已知向量 1, 2 ，b 1,m ，且 a / /b，则a b （ ）
A． 5 B．0 C．3 D．4
1
3．函数 f x x cos x的部分图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
4．函数 f x cos x x R 在 0, π 内恰有两个对称中心， f π 1，将函数 f x 的图象
π 3 π
向右平移 个单位得到函数 g x 的图象.若 f g ，则 cos 4 （ ）
3 5 3
19 9 16
A． B． C． 7 D．
25 25 25 25
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5．第 19 届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近 5个月销
量，如下表所示：
时间 x 1 2 3 4 5
销售量 y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 y 0.6x a ，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量 y与 x 负相关
B．当 x 5时，残差为 0.2
C．可以预测当 x 6时销量约为 2.1 万只
D．线性回归方程 y 0.6x a 中 a 5.7
6．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y （单位：克）服从正态分布 N 600, 4 ，
从这一批篮球中随机抽检 300 个，则被抽检的篮球的质量不小于 596 克的个数约为（ ）
A．246 B．252 C．286 D．293
7．若 a N，且502024 a能被 17 整除，则 a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．15 D．16
8．现有 4名男生和 3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景
区附近订购了一家酒店的 5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多
住 2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种
A．1960 B．2160 C．2520 D．2880
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
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9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 z 1 2i，则 z 5 B．若 z i 1，则 z z 2
C．已知m,n R， i是关于 x的方程 x2 mx n 0的一个根，则m n 1
D．若复数 z满足 z 1 2，则 z i 的最大值为2 2
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．数据 40,27,32,30,38,54,31,50 的第 50百分位数为 32
B．已知随机变量 服从正态分布 N 2, 2 ，P 4 0.84；则 P 2 4 0.34
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 y a b x；若b 2， x 1，
y 3，则 a 1
D．若样本数据 x1,x2 , ,x10 的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1, , 2x10 1的方差为 4
11．对于任意的 x R,[x]表示不超过 x的最大整数.十八世纪， y [x]被“数学王子”高斯
采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数 y x , x R 的图象关于原点对称
B．函数 y x [x],x R 的值域为[0,1)
C．对于任意的 x, y R，不等式[x] [y] [x y]恒成立
D．不等式2[x]2 [x] 1 0的解集为{x∣0 x 1}
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．函数 y loga 3x 2 5（ a 0且 a 1）的图象恒过定点 .
13．已知 2x 3 8 a0 a1 2 x a 2 x
2
2 a8 2 x
8，则 a3 .
3
14．已知在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB BC, tan BAC ，且此三棱柱有内切球，则4
此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
n
15．已知 2x 1 n N* .
x
(1)若展开式的第 3项和第 5项的二项式系数相等，求n的值，并求常数项;
(2)若展开式中所有项的系数之和为 81，求展开式中二项式系数最大的项.
1
16．已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, ABC的面积为 a c sinC b sinB a sin2 ．A
(1)求A；
(2)若 a 2，且 ABC的周长为 5，设D为边 BC中点，求 AD.
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17．有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 6%，第 2，3台加工的次
品率均为 5%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1，2，3台车床加工的零件数分别占
总数的 25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第 i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．
18．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体
顶点的曲率等于 2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的
π
面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有 3个面角，每个面角均为 ，故其各
3
个顶点的曲率均为 2π
π
3 π．如图，在直三棱柱 ABC ABC A 2π1 1 1中，点 的曲率为 ，3 3
N，M分别为 AB，CC1的中点，且 AB AC．
(1)证明：CN 平面 ABB1A1．
(2)证明：平面 AMB1 平面 ABB1A1．
(3)若 AA1 2AB，求二面角 A MB1 C1的正切值．
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19．数列 an 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 an 1 an 称为 an 的一
阶差数列，记为 a 1 1 n ，依此类推， an 的一阶差数列称为 an 的二阶差数列，记为
a 2 n ，…．如果一个数列 an 的 p阶差数列 a p n 是等比数列，则称数列 an 为 p阶等比
数列 p N* ．
(1)已知数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 1．
（ⅰ）求 a 1 1 ， a
1
2 ，a
1
3 ；
（ⅱ）证明： an 是一阶等比数列；
b 1, 20 , 37 78 215(2)已知数列 n 为二阶等比数列，其前 5项分别为 , , ，求b 及满足b9 9 9 9 n n为整数
的所有 n值．
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