2024 年上学期期末质量监测试卷
高一数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。
1. 已知向量 a (1,2),b (3,m)，若 a (a b)，则m的值为 （ ）
A． 6 B． 4 C． 4 D．6
2 i
2. 复数 z 在复平面内对应的点在 （ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.边长为 2的正三角形的直观图的面积是 （ ）
A． 6 B． 6 C． 3 D． 3
4 2 2
4. 已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展
开图是一个半圆，则球O的表面积为 （ ）
A．24π B．36 C． 48π D． 64π
5.下列说法正确的是 （ ）
①已知 a,b,c为三条直线，若 a,b异面，b,c异面，则 a,c异面；
②若 a不平行于平面 ，且 a ，则 内的所有直线与a异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若 ABC在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 P、Q、R，则 P、Q、R，三点
共线．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
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6. 已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的
两个数据记录有误，一个错将 80记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据
进行更正后，重新求得样本的平均数为 x，方差为 s2，则 （ ）
A． x 70， s2 75 B． x 70， s2 75
C． x 70 , s2 75 D． x 70， s2 75
7. 如图所示，已知点G是 ABC的重心，过点G作直线分别交 AB, AC两边于M ,N两点，
且 AM xAB, AN yAC ，则 2x y的最小值为 （ ）
A．2
B．4
C． 2 2 3
3
D． 2 2 3
8. 某工业园区有 A、 B、C共 3个厂区，其中 AB 6 3km， BC 10km， ABC 90 ，
现计划在工业园区内选择 P处建一仓库，若 APB 120 ，则CP的最小值为 （ ）
A．6km
B．8km
C．4 3km
D． 6 2km
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9. 给定一组数5，5， 4，3，3，3， 2， 2， 2，1，则 （ ）
8
A．平均数为 3 B．标准差为 C．众数为 2 D．85%分位数为 5
5
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10. 有 6 个相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，
每次取 1个球.用 x表示第一次取到的小球的标号，用 y表示第二次取到的小球的标号，记
事件A： x y为偶数， B： xy为偶数，C： x 2，则 （ ）
A．P B 3 B．A与 B相互独立
4
C．A与C相互独立 D． B与C相互独立
11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多
边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉
图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面
体 ABCDEF的棱长都是 2（如图），则 （ ）
A． BE / /平面 ADF
B．直线 BC与平面BEDF所成的角为 60°
C．若点 P为棱 EB上的动点，则 AP CP的最小值为2 3
4
D．若点 P为棱 EB上的动点，则三棱锥F ADP的体积为定值
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.如图，某学校共有教师 200 人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机
抽样的方法从中抽取一个 60人的样本，
则被抽到的青年教师的人数为 .
13.抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为 x，y，则 x，y，3能够构成三角形三边长
的概率为 .
14. 在 ABC中，点D，E分别在边 BC和边 AB上，且DC 2BD 2，BE 2AE，AD交
CE于点 P，设 BC a，BA b .用 a，b表示 BP为 ；若M 为CE上一动点且
ECB 30 ，则 BM DM 的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题13分)一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m，河水的速度为向东 2 3km / h .
一艘小货船准备从河的这一边的码头 A处出发，航行到位于河对岸 B（AB与河的方向垂直）
的正西方向并且与B相距 250 3m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合
速度的大小为6km / h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行
速度的大小。
16. (本小题 15分)在某电视节目中，有 5位歌手(1到 5号)依次登台演唱，由现场数百名
观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手，其中观众甲是 1
号歌手的歌迷，他必选 1号，不选 2号，另在 3至 5号中随机选 2名．观众乙和丙对 5位
歌手的演唱没有偏爱，因此在 1至 5号中选 3名歌手．
(1)求观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率；
(2) 表示 3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ ≥ 2”的事件概率．
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17. (本小题 15分)为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某
市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水
量标准 x (吨)，一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部分按议价收费.
为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 200 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，
将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图,其
中0.4a b .
（1）求直方图中 a,b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该
组区间中点值作为代表)；
（2）设该市有 40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨)，估计 x的值，并说明
理由.
18．(本小题17分)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA AD 4，AB 2，
PA 平面 ABCD，且M 是 PD的中点.
(1)求证：AM 平面 PCD；
(2)求异面直线CD与 BM所成角的正切值；
(3)求直线CD与平面 ACM 所成角的正弦值.
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19． (本小题 17分)任意一个复数 z的代数形式都可写成复数三角形式，即
z a bi r cos i sin ，其中 i 为虚数单位， r z a2 b2 0， 0,2 .棣莫弗定
理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
z1 r1 cos 1 i sin 1 ， z2 r2 cos 2 i sin 2 ，则： z1z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 .
如果令 z1 z2 zn z，则能导出复数乘方公式：z
n rn cosn i sin n .请用以上知识
解决以下问题.
(1)试将 z 3 3i 写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin 3 3sin 4sin3 ；cos3 4cos3 3cos ；
(3)计算： cos4 cos4 120 cos4 120 的值.
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{#{QQABQYQAogiAQJJAAQhCQQXqCAEQkBEAAYgGhBAEIAAAwBNABAA=}#}2024 年上学期期末质量监测参考答案（高一数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. B 2. D 3. A 4. C
5. B 6. A 7.C 8. B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9. AD 10. ACD 11. AC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 18
7
13.
12
14. BP
1 a 4 21 b
7 7 16
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：如图 AB 250m 0.250km,BC 250 3m 3 km，…………2分
4
3
tan CAB BC 4 3 ，…………4分
AB 0.250
CAB 60 , CAD 90 60 150 ，…………6分
∴合速度的方向与水流的方向成 150°的角.…………7分
设小货船的速度为 v1，水流速度为 v2 ，合速度为 v，则 v1 v v2 ，…………9分
2
v1 v 2v v2 v2 62 2 6 2 3 cos150 (2 3)2 2 21km / h…………12分
∴小船航行速度的大小为 2 21km .…………13分
16.解：(1)设 表示事件“观众甲选中 3号歌手”， 表示事件“观众乙选中 3号歌手”，
1 2
则 ( ) = 22 =
2， ( ) = 4 = 3．…………4分
3 3
3
5 5
∵事件 与 相互独立， 与 相互独立，…………5分
则 表示事件“甲选中 3号歌手，且乙没选中 3号歌手”．
∴ ( ) = ( ) ( ) = ( ) [1 ( )] = 2 × 2 = 4．…………7分
3 5 15
即观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率是 4．
15
2
(2)设 表示事件“观众丙选中 3号歌手”，则 ( ) = 4 = 33 ，…………9分 5 5
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依题意， ， ， 相互独立， , , 相互独立，且 ， ， ， 彼此互斥．……10分
又 ( = 2) = ( ) + ( ) + ( )
= 2 × 3 × 2 + 2 × 2 × 3 + 1 × 3 × 3 = 33，…………12分
3 5 5 3 5 5 3 5 5 75
( = 3) = ( ) = 2 × 3 × 3 = 18，…………14分
3 5 5 75
∴ ( 2) = ( = 2) + ( = 3) = 33 + 18 = 17．…………15分
75 75 25
17. 解：（1）由频率分布直方图可得
0.04+0.08+a 0.20 0.26 a b 0.04 0.02 1，…………2分
又0.4a b，则 a 0.15，b 0.06，…………4分
该市居民用水的平均数估计为：
x 0.5 0.04 1.5 0.08 2.5 0.15 3.5 0.20 4.5 0.26
5.5 0.15 6.5 0.06 7.5 0.04 8.5 0.02 4.07；…………6分
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过 2吨的频率为：0.04 0.08 0.12，…………7分
则月均用水量不低于 2吨的频率为：1 0.12 0.88，…………8分(也可直接用加法）
所以全市 40 万居民中月均用水量不低于 2吨的人数为： 40 0.88 35.2（万）；………10分
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过 6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过
5吨的频率为 0.73，……
则 85%的居民每月的用水量不超过的标准 x（吨），5 x 6，
0.73 0.15( x 5) 0.85 ，解得 x 5.8，………………………………15分
即标准为 5.8 吨.
18. 解：∵ PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，∴PA CD，…………1分
又四边形 ABCD是矩形，∴CD DA，
∵DA PA A，∴CD 平面 PAD，…………2分
∵ AM 平面 PAD，∴CD AM ，…………3分
又M 是 PD的中点， PA AD 4，∴ AM PD，…………4分
∵CD PD D，所以 AM 平面 PCD .………………………………5分
（2）解：∵底面 ABCD是矩形，∴CD / /BA，∴异面直线CD与 BM所成角即为直线 BA
与直线 BM所成的角，…………6分
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由（1）得CD 平面 PAD，∴ BA⊥平面 PAD，
∵ AM 平面 PAD，∴ BA AM ，∴ BAM 为直角三角形，…………7分
又M 是 PD的中点， PA AD 4，∴ AM 2 2，…………8分
AM
∴在 Rt BAM 中， ABM即为异面直线CD与 BM所成角，故 tan ABM 2，
AB
∴异面直线CD与 BM所成角的正切值为 2 .…………10分
（3）解：取 AD中点为 N，连接MN， AC，
在 PAD中，M ,N分别为线段PD, AD
1
的中点，故MN / /PA,MN PA 2，
2
∵ PA 平面 ABCD，∴MN 平面 ABCD，
V 1 MN 1 8∴ M ACD AD CD ，…………12分3 2 3
由（1）得 AM 平面 PCD，∵MC 平面 PCD，∴ AM MC，
∵ PA AD 4，∴ PD 4 2,MD 2 2，又 AB CD 2，∴MC 2 3 ,
S 1∴ AMC AM MC 2 6，…………14分2
设点D到平面 AMC的距离为 h，直线CD与平面 ACM 所成角为 ，
V 1 8
4
则 D AMC h S AMC VM ACD ，解得： h ，…………15分3 3 6
故 sin h 6 ，
CD 3
所以直线CD与平面 ACM 所成角的正弦值为 6 .…………17分
3
(备注：如有学生用坐标法作答的也同样按照 5+5+7 三小问得分计算）
19. 解：（1）由于 z 3 3i ，故 r= | z | 3 9 2 3 ，…………1分
则 z 2 3( 3 1 11 11 i) 2 3(cos sin ) ；…………4分
2 2 6 6
（2）设模为 1的复数为 z cos i sin ，…………5分
则 z3 cos i sin 3 cos3 3 cos2 i sin 3 cos i sin 2 i sin 3
cos3 i 3cos2 sin 3cos sin2 i sin3
cos3 3cos sin2 i 3cos2 sin sin3
3 cos 3cos 1 cos2 i 2 3 3 1 sin sin sin
4cos3 3cos i 3sin 4sin3 ，…………8分
由复数乘方公式可得 z3 cos3 i sin 3 ，…………9分
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故 sin 3 3sin 4sin3 , cos3 4cos3 3cos ；…………10分
（3）首先证明：
cos cos 120 cos 120 cos 1 cos 3sin 1 cos 3 sin 0 ；…
2 2 2 2
…………………11分
由于 cos3 4cos3 3cos ，则 4cos3 cos3 3cos ，则
4cos4 cos3 cos 3cos2 1 cos4 cos2 3 1 cos2 1 cos4 2cos2 3
2 2 2 2
1
，故 cos4 cos 4 4cos 2 3 ，…………12分
8
则可得 cos4 1 120 cos 4 480 4cos 2 240 3 8
1
cos 4 120 4cos 2 120 3 ，…………13分8
cos4 120 1 cos 4 480 4cos 2 240 3 8
1
cos 4 120 4cos 2 120 3 ，…………14分8
所以 cos4 cos4 120 cos4 120
1
cos 4 4cos 2 3 1
8 8
cos 4 120 4cos 2 120 3
1
cos 4 120 4cos 2 120 3 8
1
cos 4 cos 4 120 1 cos 4 120 cos 2 cos 2 120 cos 2 120
9
8 2 8
1 0 1 9 9 0 .…………17分
8 2 8 8
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