黄山市 2023—2024 学年度第二学期期末质量检测
高二数学试题答案
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B D A A C B C C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
选项 BD BCD ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡的相应位置上.
1
12. 160 13. 答案不唯一,0 0.02 中的任何一个值均可 14.
e
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解：（1）任意 x R ,都有 f (x) f (2 x) 6 ，则 x 1时， f (1) f (2 1) 6 ，
即 f (1) 3 ，所以 a 2 ……………………………………………………………2 分
则 f (x) 2x3 6x2 1， f ' (x) 6x2 12x，所以 f ' (1) 6， …………………4 分
所以曲线 y f x 在点 (1, f (1))处切线方程为 y 3 6 x 1 ，即 6x y 3 0 .
……………………………………………………………………………………………6 分
（2）因为 f ' (x) 6x2 6ax，由函数 f x 在x 1处有极小值，所以
f ' (1) 6 6a 0 a 1，所以 f ' (x) 6x2 6x， …………………………………8 分
由 f ' (x) 0 ，得 x 0或x 1，
当 x 0或x 1时， f x 0；当 0 x 1时， f (x) 0，
所以 f (x) ( 1在 ,0), (1, )上是增函数，在 (0,1) 上是减函数， ……………………11 分
2
因为 f (0) 1, f (2) 5，所以 f x 的最大值为 f (2) 5. ………………………13 分
16.解：（1）因为 AA1 平面 ABC，BB1 / /AA1，所以 BB1 面 ABC，
又 AE 面 ABC，所以BB1 AE，
又因为 AB AC ，点E为BC中点，所以 AE BC， ……………………………3 分
因为 AB BC B，所以 AE 面BCB1，
高二数学答案·第 1 页 （共 5 页）
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又 AE 面 A1AE，所以平面 AEA1 平面BCB1； ……………………………………6 分
（2）以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz，假设 AB AC a a 0 ，
由题意可知，C 5,0,0 ,B1 5,0,2 7 2, A1 0, a 5, 7 ，
2
则CA1 5, a 5, 7 ,CB1 2 5,0,2 7 ， ……………………………8 分
CA n 0 5x a2 5y 7z 0
设平面 A1B1C
的一个法向量为 n x, y, z 1，则由 可知， ，
CB1 n 0 2 5x 2 7z 0
令 z 5，则 x 7, y 0，所以 n 7,0, 5 ， ………10 分
取平面 ABC的法向量m 0,0,1 ，则
cos m,n m n 5 15
2 3 6 ，即面 ABC与m n
ABC 15面 1 1 夹角的余弦值为 ， ………………………12 分
6
BC 2 5 15
又在 Rt BCB1中，CB1 4 3，所以 cos BCB1 ， ……………13 分B1C 4 3 6
又 BCB1 0, , m,n 0, ，所以 BCB1 m,n ，即 B1CB的大小等于平面 ABC与
ABC 15平面 1 1 夹角的大小，且夹角的余弦值为 . ……………………………15 分
6
（本题采用传统几何法更简单，其他解法酌情给分）
17.（15 分）
解：（1） X所有可能得取值为0,1,2， ………………………………………………1 分
2
P X 0 1 1 P X 1 C1 1
2
1
2
且 ， 2 ，P X 2
1 1
…………4 分
2 4 2 2 2 4
故 X 的分布列为：
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
…………………………………………………………………………………………5 分
所以 E X 0 1 1 1 1 2 1 ……………………………………………7 分
4 2 4
（2）“游戏恰好进行三局结束”，即三局结束有一方胜出，
高二数学答案·第 2 页 （共 5 页）
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2 3
C1 1 1 1 C1
1 1
甲同学胜出的概率为 2 ，乙同学胜出的概率为 2 ， ……11 分
2 4 8 4 32
1 1 5
所以 P A ，又 P AB 1 1 ， ……………………………………13 分
8 32 32 32 32
P B | A P AB 1所以 . ……………………………………………15 分P A 5
18.（17 分）
2i 3i
解：（1） Ai , 0 ， Bi 2, 3 (i 1, 2,3 ,n 1)； ……………………………4 分 n n
2i 3i
（2）设M i (x, y)
，又 Ai , 0n
， Bi 2, 3 (i 1, 2,3 ,n 1)， n
3n
则直线EAi: y 3 x，①2i
直线GBi: y 3=
3i
x， ② ………………………………………………………6 分
2n
点M i (x, y)的坐标是方程①② 的解，① ②可得 (y 3)(y 3)=
3
x2 ，
4
x2 y2 2 2
化简得 1，所以M i (x, y)
x y
在椭圆 1上. …………………………8 分
4 3 4 3
（3）设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，不妨设 y1 0 ， y2 0，
x ty 1 0
由 x2 y2 ，消去 x得 3t 2 4 y2 6ty 9 0 ，
1 4 3
则 y y
6t , y y 91 2 2 1 2 2 ， ………………………………………………10 分3t 4 3t 4
因为点P,R关于原点O对称，所以 S PQR 2S PQO ， ……………………………11 分
直线 x ty 1 0 与 x轴的交点为 1,0 1，记为点 N，则 S PQO S PNO S QNO ON y1 y2 2
1 2 2
y1 y
2 1
2 y y
2
1 2 4y y
1
6t 36 6 t 1
2 2 1 2 2 3t 2 4 3t 2 4
13
2 ， … 分3t 2 4
2
S 2S 12 t 1 4 3 3t
2 3 3t 2 4 1
所以 PQR PQO 2 2 4 3 2 ，……14 分3t 2 4 3t 2 4 3t 2 4
1 1
令3t 2 4 m 4 ，则 0 ，m 4
S m 1 1
2
1 1 1
2 1
所以 PQR 4 3 2 4 3 4 3
,，
m m m m 2 4
高二数学答案·第 3 页 （共 5 页）
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1 1
当 ，即m 4时， S PQR 的最大值为3 . ……………………………………17 分m 4
19.（17 分）
解：（1）由 aa n 4n 具有性质“W (4, 2,3) ”，则当n 2 时， 3a ， ……………1 分n
故a8 3a4 ，a9 3a5 ， a11 3a7 9a3 ， …………………………………………2 分
又a3 1， a5 2，故 a8 a9 a11 3a4 3a5 9a3 3a4 3 2 9 1 20，
即 a 54 ； ……………………………………………………………………………4 分3
c
（2）无穷数列 cn 具有性质“W (1,1, 2) ”，即对 n 1 n 1，都有 2c ，n
所以 cn 是公比为 2 的等比数列. ……………………………………………………5 分
设bn b1 n 1 d，cn c1 2n 1，由b2 c3 4， b1 c1 c2 ，
b1 d 4c1 4 b1 c1 1
n 1即有 ，解得 ，故 bb c 2c d 3 n
3n 2 ，cn 2 ， ……………7 分
1 1 1
3n 4 3n 4 1 1
则an bnbn 1 cn (3n 2)(3n 1)2
n 1 (3n 2)2n 2 (3n 1)2n 1 ， ……………9 分
则数列 an 的前n项和 Sn a1 a2 an
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 2 1 2 4 2 4 2 7 2 (3n 2)2n 2 (3n 1)2n 1 (3n 1)2n 1
…………………………………………………………………………………11 分
（3）由 an 既具有性质“W i,1,q1 ”，又具有性质“W j,1,q2 ”，可知
a a
当n 1 n i n j时，有 q1 ， qa a 2 ，…………………12 分n n
a1 i a 2
a
i a a a
则有 j i q j 1 j 2 j1 ，
i j qi ， ………………13 分
a1 a2 a j a1 a
2
2 ai
a1 i a a 2 i j i
i j a a
j
1 2
a j q a 1 1
a2 a j i
因为 ，故 i 1， ………………14 分a1 j a a 2 j i j q2 a1a2 ai j
a1 a2 ai
高二数学答案·第 4 页 （共 5 页）
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i a a aj q故 q1 qi
n i q n j n j
2 ，即 q q j ，由 a 1 ，
q2 ，则 2a ， …………………15 分1 2 n n an i q1
a j in i j an j i q2 q2 j
当 n i 1，即 n i 1时，有 a a q i
q2 ，
n i i n 1 q j2
a j i j i
即对任意的 n i 1 n j i j时，有 q2 ，即 an 具有性质“W j i,i 1,q
j
2 ”.a n
………………………………………………………………………………17 分
高二数学答案·第 5 页 （共 5 页）
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高二数学试题
考试时间：120分钟
满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1、已知集合A={x∈R|x2<10,B={2,3,4,5},则A∩B=
A.{2
B.{2,3}
C.{3,4
D.{2,3,4
2。己知复数名=1-i,22=i,则复数互的虚部为
A.1
B.-i
C.i
D.-1
3.
2x2-1
的展开式中，常数项为
A.60
B.-60
C.120
D.-120
4.函数f(x)=
sinx的图象大致是
6
20
0
46六
5.双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2,且点P(√6,3)在双曲线C上，
则双曲线C的标准方程为
A.￥少=1B.父上=1
C.
=1
D.x22
=1
412
26
39
3
6.如图，在四棱台ABCD-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，
A4=AB=,AB=1,∠ABC=60°，41平面ABCD,M
是AD的中点，则直线AD与直线CM所成角的正弦值为
B.5
C.1
3
D.
4
2
第6题图
高二数学试题·第1页（共6页）
7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，假
设这届奥运会将新增4个表演项目，现有A,B,C三个场地申请承办这4个新增项目
的比赛，每个场地至多承办其中3个项目，则不同的安排方法有
A.144种
B.84种
C.78种
D.60种
T
8.等比数列{a}的前n项和为Sm,前n项积为Tm，a4-a2=6,45-a=12,当
(Sn+10月
最小时，n的值为
A.3
B.4
C.5
D.6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是
A.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，方差变大
B.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间的负相关性很强
C.在回归分析中，决定系数R2=0.80的模型比决定系数R2=0.98的模型拟合的效果
要好
。某人每次射击击中靶心的概率为二，现射击10次，设击中次数为随机变量X,则
E(2X+3)=11
10.已知点A(0,5),B(-5,0),动点P在圆C:(x+3)+(y-4)=8上，则
A.直线AB截圆C所得的弦长为√
B.△PAB的面积的最大值为15
C.满足到直线AB的距离为√2的P点位置共有3个
D.PA,PB的取值范围为[-2-4W5,-2+4V5]
11,抛物线有如下光学性质；由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴
的方向射出去，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.如图，己知抛物线C:y2=4x焦点为F,0为坐标原点，一束平行于轴的光线1经
过抛物线内一点P(t,1)射入，经过C上的点A(,)反射后，再经过C上另一点
B(x2,2)沿直线2反射出且经过点2，则下列结论正确的是
A.当1y2=-4
B.延长AO交直线x=-2于点C,则C,B,Q三点共线
C.若点A关于直线BP的对称点怡在射线吧上，则：=
2
5
D.从点P向以线段BF为直径的圆作切线，则切线长最短时t=
第11题图
高二数学试题·第2页（共6页）
