2023一2024学年度第二学期九县（区、市）一中期末联考
高中一年数学科试卷
考试时间：7月5日
完卷时间：120分钟
满
分：150分
第1卷
一、
选择题：本题共8愿，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z满足记=3-4i,则z为(
A.16
B.25
C.4
D.5
2.已知向量ā=(4,2)，b=(4,3),则a(2ā-)=(
A.0
B.1
C.-I
D.3
3.设m、n是不同的直线，α、B是不同的平面，则以下列结论中一定正确的是(
A.若a上B,m/la,则m⊥月
B.若n⊥a,n⊥B,则B1la
C.若a⊥B,m⊥a,则mIB
D.若m⊥a,m⊥n,则nlla
4.从1,3,5,7这4个数中随机取出2个不同的数ab,则a+b>ab的概率为
A.
B.
3
1-2
C.
2-3
D.
1-6
5.《九章算术》中将正四梭台（上、下底面均为正方形）称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为
2,
下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为
则此方亭的体积为()
A
20W2
B.85
3
C.
D.
222
3
3
一数学第】
6高数儿)=告的大成图家为(
务女
7.如图，某观家站B在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路追向是南偏东40°，
在B处测得公路上距B处7m的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，
此时B,D间的距离为√3Ikm.要达到A城，这个还要走】
A.6km
B.
19
km
3
D.7km
8.
在平面四边形ABCD中，△MBC为正三角形，AD⊥CD,AD=CD=√反，如图1，将四边
形沿AC折起，得到如图2所示的四面体B-ACD,若四面体B-ACD外接球的球心为O,当
四面体B-ACD的体积最大时，点O到平面ABD的距离为〔)
B
图
图2
A.
2
B.427
21
22
C.
雪
D.
页共3页
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分·
9.已为函数代)如[2红+月+eor(2x+引
则
A.y=x)是属函数
B。y=问的对称输是x=受ke乙
C.y=八)在区间导上单词递诚
D.y=)的最小值是-2
10.在12张卡片上分别写上数字1-12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为x,甲
表示事件x为偏数”，乙表示事件“x为质数"，丙表示事件x能被3整除”，丁表示事件“x>6”,
则()
A.甲与丙为互斥事件
B.乙与丁相互独立
C丙与丁相互独立
D.P甲∩乙)=乙∩丙)
11.已知棱长为2m的正方体ABCD-AB,CD中，下列结论中正确的是
A若点P在线段BC上运动，异面直线A心与D0所成的角范图为后2
B.若点P在线段B,C上运动，CP+AP的最小值为(6+√瓦m
C.若将正方体ABCD-AB,CD视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m,高为
0.01m的圆柱体能被整体放入该容器
D若点P在△MCB的内部及边界上运动，且DP=2m,则动点P的轨迹长为2
πm
第川卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.一个容量为10的样本，其数据依次为：9,2,5,10,16,7,18,23,20,3，则该组数
据的第75百分位数为
高一数学第2页2023--2024 学年度第二学期九县(区、市)一中（高中）期末联考
高一年级（数学）评分细则
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B C D A A
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对
的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 ABC CD BCD
三、填空题（每小题 5分，共 15 分）
3 5
12. 18 13. /0.375 (第一空 2 分，第二空 3 分）8 14. 5012
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
15.（本小题满分 13分）
π
【答案】(1) ；(2)
6 3 7
.
【详解】（1）解：因为acosC 2 3 ccosA bcosB，
3
2 3
由正弦定理可得 sin AcosC sinCcosA sin BcosB，…………………………2分
3
sin(A C) 2 3即 sin BcosB， sin(π B) sin B 2 3 sin BcosB ,……………………4分
3 3
又因为 sinB 0 2 3 3，所以1 cosB，解得 cosB ，又因为 B (0, π)，
3 2
π
所以 B
6…………………………………6分
（2）解：因为D为 BC边的中点， a 12，所以 BD CD 6 ,设 BAD ,
6 3
在△ABD
BD AD 6
中，由正弦定理可得 ，即 sin 1 ，解得 sin 1，sin sin B 2
(0,π) π又因为 ，所以 ，，…………………………8分
2
在Rt△ABD中， AB BD2 AD2 62 32 3 3，…………………………9分
AB 3 3,BC 12,B π在 ABC中， ，
6
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由余弦定理可得：
AC 2 AB2 BC 2 2AB AC cosB 144 27 2 12 3 3 3 63 ，……………12分
2
所以 AC 3 7，即 b 3 7 .…………………………13分
16.（本小题满分 15 分）
1
【答案】(1)证明见解析；(2) 2
【详解】(1)证明：因为 DAB 90 ，所以 AB AD ，
又 AB / /DC ，所以DC AD .…………………………1分
过 C 作CH AB,交 AB 于点 H,连接 AC, AD DC 1
四边形ADCH为正方形， AC 2,且AH 1, BH 1
BC CH 2 BH 2 2
AB 2 BC 2 AC 2 AB2 BC AC…………………………3分
又因为 PA 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PA BC .…………………………4分
又因为 AC 平面PAC ,PA 平面PAC ,且AC PA A，
所以 BC 平面 PAC .……………6分（备注：没写 AC PA A，扣 1分）
又 BC 平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PAC .…………………………8分
(2) 连接 BD 交 AC 于 E 点，连接 ME
PD//平面ACM
PD 平面PBD
平面PBD 平面ACM ME
PD //ME…………………………11分（备注：答题卡上无辅助线扣 1 分）
PM DE
…………………………12分
MB BE
AB //CD
DE DC 1
…………………………14分
BE AB 2
PM 1
…………………………15分
MB 2
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17.（本小题满分 15 分）
340 2
【答案】(1) a 0.005，b 0.025；平均数 69.5 (2) (3)
3 5
【详解】（1）由题意可知：10(a 0.045 0.020) 0.7 ， 2a b 0.045 0.020 10 1，
解得 a 0.005，b 0.025；…………………………3分
由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05
所以平均数：
50 0.05 60 0.25 70 0.45 80 0.2 90 0.05 69.5…………………………5分
（2 2 2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 x1, x2 , s1 , s2 ，
0.25 5
且两组频率之比为 ，…………………………6分
0.20 4
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数
x 5 64 4 82 72，……………………7分
9
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
s2 5 20 64 72 2 4 50 82 340 72 2
9 9 3
340
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是 ；…………………………9分
3
（3）根据分层抽样， 75,85 0.02和 85,95 的频率比为 4，
0.005
故在 75,85 和 85,95 中分别选取 4 人和 1 人，分别设为 a1,a2 ,a3,a4和b1，……………10分
则在这 5 人中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点有：
a1a2 ,a1a3 ,a1a4 ,a1b1,a2a3 ,a2a4 ,a2b1,a3a4 ,a3b1,a4b1共 10 个，即
n 10，…………………………………………………………12分
记事件 A “两人来自不同组”，则事件A包含的样本点有 a1b1,a2b1,a3b1,a4b1共 4 个，即
n A 4，…………………………………………………14分
n A 4 2
所以 P A .n 10 5
2
答:选出的两人来自不同组的概率为 .…………………………15分
5
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18.（本小题满分 17 分）
3
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） ．
3
【详解】解：（1）证明： AB AC，D是 BC中点， AD BC，……………………1分
又 在直三棱柱 A1B1C1 ABC中，CC1 平面 ABC， AD 平面 ABC，
AD CC1，…………………………3分
又 BC CC1 C， BC 平面 BCC1B1，CC1 平面 BCC1B1，
AD 平面 BCC1B1．…………………5分（备注：没写BC CC1 C，扣 1分）
（2）证明：连接 A1C，交 AC1于点 E，连接DE，…………6分
（备注：答题卡上无辅助线扣 1 分）
D、 E分别是 BC、 A1C的中点，
DE是 A1BC的中位线， A1B // DE，………………8分
A1B 平面 ADC1，DE 平面 ADC1，
A1B / /平面 ADC1 .…………………………10分
（备注：没写 A1B 平面 ADC1扣 1 分）
（3）解：连 B1A，交 BA1于点O，分别取OB、 AB中点H、O1，连接DH、HO1、DO1，
四边形 ABB1A1是正方形且H、O1分别是OB、 AB的中点，故HO1 OB，
在 ABC中， AB AC， BC = 2AB，
BC 2 2AB2 AB2 AC 2， AB AC ，…………………………11分
又 O1，D分别是 AB，BC中点且 AB AC，
O1D AB，
又 在直三棱柱 A1B1C1 ABC中， AA1 平面 ABC，O1D 平面 ABC， O1D AA1，
Q AB AA1 A， AB 平面 ABB1A1， AA1 平面 ABB1A1，
O1D 平面 ABB1A1，…………………………12分
OB 平面 ABB1A1，HO1 平面 ABB1A1，
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O1D OB，O1D HO1，
又 HO1 OB，O1D HO1 O1，O1D 平面DHO1，HO1 平面DHO1，
OB 平面DHO1，…………………………13分
HD 平面DHO1， OB HD，
又 平面 AA1B 平面 A1BD A1B
O1HD就是二面角 A A1B D 的平面角…………………………14分，
设 AB 2，则在 Rt HO1D中， HO1D 90 ，
O1D
1
AC 1,O1H
1
OA 1 AB 21 ，…………………………15分2 2 4 2
2
2 6
故HD 12 ，…………………………16分
2 2
2
O H 3
故 cos O1HD 1 2 ，DH 6 3
2
3
即二面角 A A1B D 的余弦值为 3 .…………………………17分（备注：答题卡中没有做
出二面角的平面角的辅助线扣 1分）
19.（本小题满分 17 分）
【答案】（1）[-1.0]，[0,1
9
]， 1,1 ；（2）m 4或 2；（3）0 m .4
3
【详解】（1）函数 f x x 是增函数，定义域为 R，
令 x3 x，解得 x 0或 ，
3
故函数 f x x 的所有“和谐区间”为 1,0 、[0,1]、 1,1 .…………………………3分
（备注：每写出 1个区间分别给 1分）
3
x 2, x
4
f x 3 x 2 f x 2 3（2）因为 ，所以 ，…………………………4分2 3 x 2, x 4
2 3
因为 0,m m 0 为函数 f x 3 x 2 3的一个“和谐区间”，所以可令 x 2 x，解
2 2
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4
得 x 或 4，………………………5分
5
如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当 x 4时满足题意，
因为 f 0 2，所以当m 2时， f x 2, f (x)min 0max ，满足题意，
故m的值为4或 2.…………………………7分
f (a) b
（3）①当 a b 1时， f (x)在[a,b]上时单调递减函数，由题意有 ，
f (b) a
a2 2a m b
2 得 a b 1，因为a b 1，所以
b 2b m a
0 a 1 , 1 b 1，…………………………8分
2 2
且 a2 2a m 1 a ,即 a2 a m 1 0 a 1 5 4m 1 ，解得 舍去，
2 2
a 1 5 4m 1 b 1 a 1 5 4m或 ， .
2 2 2
m a2 a 1(0 a 1由 )，
2
1 m 5得 ，所以当1 m 5 时，和谐区间为
4 4
1 5 4m
,
1 5 4m
．………………………10分
2 2
②1 a b时， f (x)在[a,b]上时单调递增函数，
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f (a) a
由题意有 ，所以 a,b是方程 2f (b) b x 2x m x
的两个不等实根．
因为 a b 3 3，又1 a b，得b 2，因而有1 a b 2，…………………11分
2
3 3
故方程 g(x) x2 3x m 0在 1, 和 , 2 内各有一个实根， 2 2
0 3 9 4m 3 3 3 9 4m
9
即 且 2， 解得 2 m ，
2 2 2 2 4
9 3 9 4m 3 9 4m
故当 2 m 时，和谐区间为
4
,
2 2
．……………………13分
③当 a 1 b时， fmin (x) f (1) m 1 a 1，得m 2
a b
当 1时，即 a b 2，则 fmax (x) f (a) b，得 a2 2a m b，2
又 a m 1，得b m2 3m 3 1，得 m 2或m 1，
又由 a b m2 2m 2 2及m 2，
2
解得0 m 1，此时和谐区间为 m 1,m 3m 3 ．…………………………14分
a b
当 1时，即 a b 2，则 fmax (x) f (b) b，得b2 2b m b，2
b 3 9 4m解得 . b 3 9 4m若 ，
2 2
3 9 4m
则由m 2知 a b m 1 2 ,舍去；
2
b 3 9 4m 3 9 4m
9
若 ， a b m 1 2，解得0 m ，
2 2 4
3 9 4m
又m 2，所以0 m 2，此时和谐区间为 m 1, ，…………………16分
2
9
综上，所求范围是0 m .…………………………17分
4
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