河南省许昌市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题（含答案）

许昌市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，若点满足，以，作为基底，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（ ）
A．144 B．145 C．146 D．147
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
5．若样本，，，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，，…，，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4
C．平均数为20，方差为8 D．平均数为21，方差为8
6．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为9的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）．
A． B． C． D．
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．乙与丙相互独立
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中错误的是（ ）
A．若是实数，则可能不是复数
B．若是虚数，则不是实数
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．没有平方根
10．已知向量，，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．的最大值为2 D．的最小值为2
11．已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是______．
13．已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
14．在三棱锥中，若，，，且，，，为底面内部及边界上的动点，则与底面所成角的正弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，，与的夹角是．
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
16．（15分）在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A 45 48 46 52 47 49 55 42 51 45
小组B 55 36 70 66 75 49 68 42 62 47
（1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差；
（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？
17．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
18．（17分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数；
（2）现按分层随机抽样的方法从质量在，内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率；
（3）若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体．某经销商来收购未摘芒果，提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？
19．（17分）如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，、分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若为底面内（包括边界）动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的体积；
（3）在（2）的条件下，求二面角的正切值．
高一数学（答案与解析）
一、单选：
1-4．BADD 5-8．CBAC
二、多选：
9．ACD 10．AC 11．ABC
三、填空题：
12．； 13．； 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【解】（1），
；
（2）因为，
所以，
整理得，解得．
即当时，．
16．（15分）【解】（1），
，
，
；
（2）由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高
由（1）可知，，因而，
根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的．
17．（15分）【解】（1）由及正弦定理得：
，
即，
，
，
因为，因此，
所以得，
即，
得或，
又因为，所以．
（2）由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
因此，，
所以．
因此：面积的取值范围是：．
18．（17分）【解】设中位数为，由频率分布直方图可得：
，解得：．
这组数据的中位数是268.75．
（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个．
设质量在内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在内的2个芒果分别为a，b．
从这6个芒果中选出3个，样本空间为：，，
设“至少有一个在内”为事件，
则，，
因此，
所以从6个芒果中随机抽取3个，至少有一个在内的概率为．
（3）A方案可获利：（元）．
B方案可获利：（元）
由于，因此该种植园选择B方案获利更多．
19．（17分）【解】（1）取的中点，连接．
因为是等边三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，在面内，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，，
、分别为，的中点，，
因为三棱柱，侧面为平行四边形，，
，平面，平面，平面，
因为三棱柱，侧面为平行四边形，，分别为，的中点，
且，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
又，平面，所以平面平面．
为底面内（包括边界）的动点，当时，平面，
平面，的轨迹为，，，
又因为是正三角形，
由（1）知：三棱柱的高为，，
三棱柱的体积．
（3）取的中点，连接，，
是正三角形，为的中点，，
平面，平面，，
又，平面，
平面，又平面，，
二面角的平面角为，
在中，，，．
二面角的正切值为．