四川省宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题（含答案）

宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（ ）
A．这14天日促销量的众数是214
B．这14天日促销量的中位数是196.5
C．这14天日促销量的极差为195
D．这14天日促销量的第80百分位数是243
4．已知向量，，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位：），则原圆柱的侧面积是（单位：）
A． B． C．100 D．200
6．在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（ ）
A．21m B．26m C．30m D．45m
8．已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD，E、F分别是棱AB、BC的中点，，Q为棱CD上的一点，且平面AFQ，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线a，b和平面，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是5”，事件B=“第一次掷出的点数是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B互斥 B． C． D．B与C相互独立
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（ ）
A．若°，，，则△ABC有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若△ABC为锐角三角形，则
D、若△ABC的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为
12．已知正方体，的棱长为2，点P为平面上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P为的中点时，直线CP与所成鱼的全弦值
B．当点P在棱上时，的最小值为
C．当点P在正方形内时，若与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为
D．该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，某球能被整体放入或内，则该球的表面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数为_______．
14．已知事件A与事件B相互独立，且，，则_______．
15．著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______．
16．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，与的夹角为60°．
（1）求；
（2）当实数k为何值时，与垂直？
18．2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有92%的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；
（2）若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．
19．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD上底面ABCD，且，E为侧棱SC的中点．
（1）求证：平面EDB；
（2）求点C到平面EDB的距离．
20，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，在三棱柱中，，，，，D为BC的中点，平面．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，求直线AC与平面所成角的正弦值的取值范围．
22．依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，AC，CE，EF，AF为主要道路（不考虑宽度）．已知，，．
（1）求道路AC的长度；
（2）若在道路AC的另一侧规划一块四边形ABDC的商业用地，使，且△BCD为等边三角形，求四边形ABDC面积的最大值．
宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D A A D C B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
BD BCD ACD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．0.6 15． 16．12
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）根据题意，
所以．
（2）根据题意，，即．
又由（1）知，所以
解得
18．解：（1）由
解得．
，
（吨）．
（2）根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（a，D），（b，A），（b，B），（b，C），（b，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共15个
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为（a，b），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7个．
根据古典概型可得，．
19．解：（1）连接AC交BD于O，连接OE，
∵E为侧棱SC的中点，O是AC的中点，．
平面EDB，平面EDB；
平面EDB．
（2）∵E为侧棱SC的中点
E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
E到平面ABCD的距离，
又，，
又
，
设点C到平面EDB的距离d，由得，所以．
20．解：（1）
，
．
（2）若选择①：
由，得，①
②
由①②解得：，或，．
若选择②；
由，得，①
△ABC的面积
由①②解得：，或，．
21．解：（1）证明：因为平面，平面，
所以
因为，
所以．
所以平面ABC．
（2）取中点，连接，，则
所以四边形是平行四边形．
因为，，，AD，平面
所以平面，
又平面
所以平面上平面．
作于E，则平面，
连接CE，则为直线与平面所成的角
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，
．
则
由于，所以
所以．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
22．解：（1）连接FC，由余弦定理可得，所以
由，，所以
因为，所以
在△ECF中，
所以，解得，
即道路AC的长度为km．
（2）设，在△ABC中，由正弦定理可得，
．
又因为△BCD为等边三角形，
所以
因为，所以，
所以当，即，
即四边形ABDC面积的最大值为．
（第（2）问也可以根据四边形ABDC为梯形，通过梯形的面积公式计算）