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2024—2025学年上学期上海初中数学七年级开学模拟试卷3
一.填空题(共11小题,满分22分,每小题2分)
1.(2分)若3m=6,3m+n=48,则3n= .
2.(2分)计算a5 (﹣a)3的结果等于 .
3.(2分)在边长分别为10,a的长方形的四个角挖去边为b的四个小正方形,图中阴影部分的面积为 .
4.(2分)计算:22018 ()2019= .
5.(2分)已知2n=32,则n的值为 .
6.(2分)计算:34040×()2021= .
7.(2分)已知代数式a2﹣3a的值为6,则代数式9﹣2a2+6a的值为 .
8.(2分)若x,y满足2x﹣3y+4=2020,则2﹣4x+6y= .
9.(2分)计算6×()= .
10.(2分)xn﹣1y+(3﹣n)xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+(n﹣3)是关于x与y的五次三项式,则()5= .
11.(2分)若x=3m+2,y=9m﹣8,用x的代数式表示y,则y= .
二.选择题(共4小题,满分12分,每小题3分)
12.(3分)多项式3x2﹣2x+5的各项分别是( )
A.3x2,﹣2x,5 B.x2,x,5 C.3x2,2x,5 D.3,2,5
13.(3分)已知:2m=1,2n=3,则2m+n=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
14.(3分)若8xa+5 y2b﹣3 (﹣0.25ya+5xb)=﹣2x4y3,则a﹣b的值为( )
A.﹣1 B.5 C.1 D.﹣5
15.(3分)下列说法正确的是( )
A.xy的系数是0
B.2xy2与﹣5xy2是同类项
C.﹣x3y2的次数是6
D.3x2﹣2xy2﹣6的次数是2,常数项是6
三.解答题(共6小题,满分30分,每小题5分)
16.(5分)计算:
(1)(﹣2)5 (﹣2)7 26;
(2)()5 ()3 ()4;
(3)102 10 10m(m是正整数);
(4)3n (﹣3)5 3n(n是正整数).
17.(5分)计算:(﹣2a)3 a3+(﹣3a3)2.
18.(5分)判断下列等式是否正确,并说明理由:
(1)a2 a2=(2a)2;
(2)a2 b2=(ab)4;
(3)a12=(a2)6=(a3)4=(a5)7.
19.(5分)(ab)3.
20.(5分)计算:
(1)(6m2n4+8m2)÷2m
(2)(3a+b)(3a﹣b)﹣(3a+b)2
21.(5分)已知4m=5,8n=3,计算:22m+3n的值.
四.解答题(共6小题,满分36分)
22.(5分)已知代数式A=3x2+2xy﹣3y,B=x2+xy+1.
(1)若(x+1)2+|y﹣2|=0,求A﹣3B的值;
(2)若A﹣3B的值与y的取值无关,求x的值.
23.(5分)化简:(a).
24.(6分)计算:(2a2)3+(﹣3a3)2.
25.(6分)计算b b2 (﹣b2)3+(b3)3﹣(﹣2b3)3.
26.(6分)用简便方法计算.
(1)﹣0.252003×(﹣4)2002;
(2)1415.
27.(8分)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行.某社区要投放A,B两种垃圾桶,负责人小李调查发现:若购买A种垃圾桶80个,B种垃圾桶120个,则共需付款6880元;若购买A种垃圾桶100个,B种垃圾桶100个,则共需付款6150元.
(1)求A,B两种垃圾桶的单价各为多少元?
(2)若需要购买A,B两种垃圾桶共200个,且B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的,如何购买使花费最少,最少费用为多少元?请说明理由.
购买数量 种类 购买数量少于100个 购买数量不少于100个
A 原价销售 以原价的7.5折销售
B 原价销售 以原价的8折销售
2024—2025学年上学期上海初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一.填空题(共11小题,满分22分,每小题2分)
1.(2分)若3m=6,3m+n=48,则3n= 8 .
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】整式;运算能力.
【答案】8.
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可.
【解答】解:∵3m=6,
∴3m+n
=3m 3n
=6×3n=48,
∴3n=8,
故答案为:8.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法,解题的关键是灵活运用公式.
2.(2分)计算a5 (﹣a)3的结果等于 ﹣a8 .
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】计算题;整式;运算能力.
【答案】﹣a8.
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案.
【解答】解:a5 (﹣a)3=a5 (﹣a3)=﹣a8.
故答案为:﹣a8.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.
3.(2分)在边长分别为10,a的长方形的四个角挖去边为b的四个小正方形,图中阴影部分的面积为 10a﹣4b2 .
【考点】列代数式.
【专题】计算题;整式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】图中阴影部分的面积等于长方形的面积减去四个边长为b的小正方形的面积.
【解答】解:图中阴影部分的面积为10a﹣4b2.
故答案为:10a﹣4b2.
【点评】考查了列代数式,能够运用割补法求不规则图形的面积.
4.(2分)计算:22018 ()2019= .
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】.
【分析】(1)幂的乘方法则:底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n是正整数);(2)积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab)n=anbn(n是正整数).
【解答】解:原式=22018 ()2018 ()
=[2]2018
=(﹣1)2018
.
故答案为.
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方,熟练运用公式是解题的关键.
5.(2分)已知2n=32,则n的值为 5 .
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】5.
【分析】根据幂的乘方法则把32转化为25,根据已知条件即可求解.
【解答】解:∵2n=32=25,
∴n=5,
故答案为:5.
【点评】本题考查了乘方,乘方是求几个相同因数积的运算,熟练掌握幂的乘方法则是解题关键.
6.(2分)计算:34040×()2021= .
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】.
【分析】逆向运用积的乘方运算法则计算即可.积的乘方,把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
【解答】解:34040×()2021
.
故答案为:.
【点评】本题考查了积的乘方,熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键.
7.(2分)已知代数式a2﹣3a的值为6,则代数式9﹣2a2+6a的值为 ﹣3 .
【考点】代数式求值.
【专题】整体思想;整式;运算能力.
【答案】﹣3.
【分析】首先把9﹣2a2+6a化成9﹣2(a2﹣3a),然后把a2﹣3a=6代入,求出算式的值是多少即可.
【解答】解:∵a2﹣3a=6,
∴9﹣2a2+6a
=9﹣2(a2﹣3a)
=9﹣2×6
=9﹣12
=﹣3.
故答案为:﹣3.
【点评】此题主要考查了代数式求值问题,要熟练掌握,求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.题型简单总结以下三种:①已知条件不化简,所给代数式化简;②已知条件化简,所给代数式不化简;③已知条件和所给代数式都要化简.
8.(2分)若x,y满足2x﹣3y+4=2020,则2﹣4x+6y= ﹣4030 .
【考点】代数式求值.
【专题】整体思想;整式;运算能力.
【答案】﹣4030.
【分析】由2x﹣3y+4=2020,可得2x﹣3y=2016,代数式2﹣4x+6y可变形为2﹣2(2x﹣3y),即可得出答案.
【解答】解:因为2x﹣3y+4=2020,
所以2x﹣3y=2016,
2﹣4x+6y=2﹣2(2x﹣3y),
把2x﹣3y=2016代入上式得,
原式=2﹣2×2016=﹣4030.
故答案为:﹣4030.
【点评】本题主要考查了代数式求值,应用相关知识合理将代数式进行变形是解决本题的关键.
9.(2分)计算6×()= ﹣4 .
【考点】有理数的混合运算.
【专题】计算题;实数;运算能力.
【答案】﹣4.
【分析】根据乘法分配律计算.
【解答】解:6×()
=﹣666
=﹣3﹣2+1
=﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题考查了有理数的混合运算,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.
10.(2分)xn﹣1y+(3﹣n)xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+(n﹣3)是关于x与y的五次三项式,则()5= 1 .
【考点】分式的乘除法;多项式.
【专题】分式;运算能力.
【答案】1.
【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出m的值,代入原式后,根据原式为三项式,得出m的值,最后把m,n代入()5求解即可.
【解答】解:原多项式是一个五次三项式,最高项是xn﹣1y,
∴n﹣1+1=5,
∴n=5,
∴原式=x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2
=x4y+(﹣2xy3+4xy3)﹣(5x2y+mx2y)+2
=x4y+2xy3﹣(5+m)x2y+2,
∴﹣(m+5)=0
∴m=﹣5,
∴()5,
故答案为:1.
【点评】本题考查了分式的乘除法及多项式,解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.
11.(2分)若x=3m+2,y=9m﹣8,用x的代数式表示y,则y= x2﹣4x﹣4 .
【考点】幂的乘方与积的乘方;列代数式.
【专题】整式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂的乘方运算法则可得9m=32m,再根据完全平方公式解答即可.
【解答】解:∵x=3m+2,
∴x2=(3m+2)2=32m+4×3m+4,
∴32m=x2﹣4×3m﹣4,
∴y=9m﹣8
=32m﹣8
=x2﹣4×3m﹣4﹣8
=x2﹣4(3m+2)﹣4
=x2 ﹣4x﹣4.
故答案为:x2 ﹣4x﹣4.
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方,熟记完全平方公式是解答本题的关键.
二.选择题(共4小题,满分12分,每小题3分)
12.(3分)多项式3x2﹣2x+5的各项分别是( )
A.3x2,﹣2x,5 B.x2,x,5 C.3x2,2x,5 D.3,2,5
【考点】多项式.
【专题】整式;运算能力.
【答案】A
【分析】根据多项式的定义进行判断即可.
【解答】解:多项式3x2﹣2x+5的各项分别是3x2,﹣2x,5,
故选:A.
【点评】本题考查多项式,理解多项式的定义以及“项数”“次数”的定义是正确解答的前提.
13.(3分)已知:2m=1,2n=3,则2m+n=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】整式;运算能力.
【答案】B
【分析】直接利用同底数幂的乘法以及积的乘方运算法则将原式变形,进而计算得出答案.
【解答】解:∵2m=1,2n=3,
∴2m+n=2m×2n=1×3=3.
故选:B.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法以及积的乘方运算,正确掌握相关性质是解题关键.
14.(3分)若8xa+5 y2b﹣3 (﹣0.25ya+5xb)=﹣2x4y3,则a﹣b的值为( )
A.﹣1 B.5 C.1 D.﹣5
【考点】单项式乘单项式;代数式求值.
【专题】整式;运算能力.
【答案】D
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则得出关于a,b的方程组,进而得出答案.
【解答】解:∵8xa+5 y2b﹣3 (﹣0.25ya+5xb)=﹣2x4y3,
∴﹣2xa+b+5y2b﹣3+a+5=﹣2x4y3,
∴,
解得:,
故a﹣b=﹣3﹣2=﹣5.
故选:D.
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
15.(3分)下列说法正确的是( )
A.xy的系数是0
B.2xy2与﹣5xy2是同类项
C.﹣x3y2的次数是6
D.3x2﹣2xy2﹣6的次数是2,常数项是6
【考点】同类项;单项式;多项式.
【专题】整式;符号意识.
【答案】B
【分析】分别根据单项式的定义,同类项的定义以及多项式的定义判断即可.
【解答】解:A.xy的系数是1,原说法错误,故本选项不符合题意;
B.2xy2与﹣5xy2是同类项,说法正确,故本选项符合题意;
C.﹣x3y2的次数是5,原说法错误,故本选项不符合题意;
D.3x2﹣2xy2﹣6的次数是3,常数项是﹣6,原说法错误,故本选项不符合题意.
故选:B.
【点评】本题考查了同类项,多项式以及单项式,掌握相关定义是解答本题的关键.
三.解答题(共6小题,满分30分,每小题5分)
16.(5分)计算:
(1)(﹣2)5 (﹣2)7 26;
(2)()5 ()3 ()4;
(3)102 10 10m(m是正整数);
(4)3n (﹣3)5 3n(n是正整数).
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】整式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,据此计算即可.
【解答】解:(1)原式=(﹣25) (﹣27) 26=25+7+6=218;
(2)原式;
(3)原式=102+1+m=103+m;
(4)原式=3n (﹣35) 3n=﹣3n+5+n=﹣32n+5.
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,熟记运算法则是解答本题的关键.am an=am+n.
17.(5分)计算:(﹣2a)3 a3+(﹣3a3)2.
【考点】单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】a6.
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式、合并同类项法则分别计算得出答案.
【解答】解:原式=﹣8a3 a3+9a6
=﹣8a6+9a6
=a6.
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式、合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.
18.(5分)判断下列等式是否正确,并说明理由:
(1)a2 a2=(2a)2;
(2)a2 b2=(ab)4;
(3)a12=(a2)6=(a3)4=(a5)7.
【考点】单项式乘单项式;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】(1)不正确,理由见解析;
(2)不正确,理由见解析;
(3)不正确,理由见解析.
【分析】(1)根据同底数幂的运算法则计算等式的左边,根据积的乘方运算法则计算等式的右边,从而判断即可;
(2)根据同底数幂的运算法则计算等式的左边,根据积的乘方运算法则计算等式的右边,从而判断即可;
(3)根据幂的乘方,底数不变,指数相乘计算,然后判断即可.
【解答】解:(1)不正确,∵a2 a2=a4,(2a)2=4a2,∴a2 a2≠(2a)2;
(2)不正确,∵a2 b2=a2b2,(ab)4=a4b4,∴a2 b2≠(ab)4;
(3)不正确,∵(a2)6=a12,(a3)4=a12,(a5)7=a35,∴a12=(a2)6=(a3)4≠(a5)7.
【点评】本题考查了同底数幂相乘,幂的乘方与积的乘方,熟练掌握这些运算法则是解题的关键.
19.(5分)(ab)3.
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用积的乘方运算法则得出答案.
【解答】解:(ab)3=a3b3.
【点评】此题主要考查了积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
20.(5分)计算:
(1)(6m2n4+8m2)÷2m
(2)(3a+b)(3a﹣b)﹣(3a+b)2
【考点】整式的混合运算.
【专题】整式;运算能力.
【答案】(1)3mn4+4m;
(2)﹣2b2﹣6ab.
【分析】(1)利用整式的除法的法则进行运算即可;
(2)先算平方差,完全平方,再合并同类项即可.
【解答】解:(1)(6m2n4+8m2)÷2m
=6m2n4÷2m+8m2÷2m
=3mn4+4m;
(2)(3a+b)(3a﹣b)﹣(3a+b)2
=9a2﹣b2﹣(9a2+6ab+b2)
=9a2﹣b2﹣9a2﹣6ab﹣b2
=﹣2b2﹣6ab.
【点评】本题主要考查整式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
21.(5分)已知4m=5,8n=3,计算:22m+3n的值.
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法.
【专题】整式;运算能力.
【答案】15.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可.
【解答】解:因为4m=22m=5,8n=23n=3,
所以22m+3n=22m 23n=5×3=15.
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方,熟记幂的运算法则是解答本题的关键.
四.解答题(共6小题,满分36分)
22.(5分)已知代数式A=3x2+2xy﹣3y,B=x2+xy+1.
(1)若(x+1)2+|y﹣2|=0,求A﹣3B的值;
(2)若A﹣3B的值与y的取值无关,求x的值.
【考点】整式的加减—化简求值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】(1)﹣7;
(2)x=﹣3时,A﹣3B的值与y的取值无关.
【分析】(1)先求得x,y的值,再化简A﹣3B后,代入计算即可;
(2)通过计算出A﹣3B的结果即可说明.
【解答】解:(1)∵(x+1)2+|y﹣2|=0,
∴x+1=0,y﹣2=0,
解得x=﹣1,y=2,
∵A﹣3B
=(3x2+2xy﹣3y)﹣3(x2+xy+1)
=3x2+2xy﹣3y﹣3x2﹣3xy﹣3
=﹣xy﹣3y﹣3,
∴原式=﹣(﹣1)×2﹣3×2﹣3
=2﹣6﹣3
=﹣7;
(2)由(1)得,A﹣3B=﹣xy﹣3y﹣3
=(﹣x﹣3)y﹣3,
∴当﹣x﹣3=0,即x=﹣3时,A﹣3B的值与y的取值无关.
【点评】此题考查了代数式求值的能力,关键是能进行准确化简、计算.
23.(5分)化简:(a).
【考点】分式的混合运算.
【专题】分式;运算能力;应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据运算顺序,先计算括号内的加法,再计算除法即可.
【解答】解:(a),
=(),
,
=a+b.
【点评】本题考查分式的四则混合运算,掌握运算顺序和计算法则是正确计算的前提.
24.(6分)计算:(2a2)3+(﹣3a3)2.
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】17a6.
【分析】先进行积的乘方的运算,再合并同类项即可.
【解答】解:(2a2)3+(﹣3a3)2
=8a6+9a6
=17a6.
【点评】本题主要考查积的乘方,解答的关键是熟记积的乘方的法则.
25.(6分)计算b b2 (﹣b2)3+(b3)3﹣(﹣2b3)3.
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法.
【专题】计算题;整式;运算能力.
【答案】8b9.
【分析】先算乘方,然后算乘法,最后算加减.
【解答】解:原式=b b2 (﹣b6)+b9﹣(﹣8b9)
=﹣b9+b9+8b9
=8b9.
【点评】本题考查整式的混合运算,掌握幂的乘方(am)n=amn,积的乘方(ab)n=anbn运算法则是解题关键.
26.(6分)用简便方法计算.
(1)﹣0.252003×(﹣4)2002;
(2)1415.
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【专题】整式;运算能力.
【答案】(1)﹣0.25;
(2)224.
【分析】(1)利用积的乘方的法则进行运算即可;
(2)利用平方差公式进行运算即可.
【解答】解:(1)﹣0.252003×(﹣4)2002
=﹣0.252002×(﹣0.25)×(﹣4)2002
=[﹣0.25×(﹣4)]2002×(﹣0.25)
=12002×(﹣0.25)
=1×(﹣0.25)
=﹣0.25;
(2)1415
=(15)×(15)
=152﹣()2
=225
=224.
【点评】本题主要考查积的乘方,解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.
27.(8分)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行.某社区要投放A,B两种垃圾桶,负责人小李调查发现:若购买A种垃圾桶80个,B种垃圾桶120个,则共需付款6880元;若购买A种垃圾桶100个,B种垃圾桶100个,则共需付款6150元.
(1)求A,B两种垃圾桶的单价各为多少元?
(2)若需要购买A,B两种垃圾桶共200个,且B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的,如何购买使花费最少,最少费用为多少元?请说明理由.
购买数量 种类 购买数量少于100个 购买数量不少于100个
A 原价销售 以原价的7.5折销售
B 原价销售 以原价的8折销售
【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;一元一次不等式(组)及应用;一次函数及其应用;模型思想;应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)设A种垃圾桶的单价为x元,B种垃圾桶的单价为y元,根据“购买A种垃圾桶80个,B种垃圾桶120个,则共需付款6880元;若购买A种垃圾桶100个,B种垃圾桶100个,则共需付款6150元”列出方程组并解答;
(2)设购买A种垃圾桶为a个,则购买B种垃圾桶为(200﹣a)个,根据“B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的”列出不等式并求得a的取值范围,再根据一次函数的性质解答即可.
【解答】解:(1)设A种垃圾桶的单价为x元,B种垃圾桶的单价为y元,
根据题意得,
解得,
答:A种垃圾桶的单价为50元,B种垃圾桶的单价为30元;
(2)设购买A种垃圾桶为a个,则购买B种垃圾桶为(200﹣a)个,
根据题意得200﹣aa,
解得a≥150;
设购买A,B两种垃圾桶的总费用为W元,
则W=0.75×50a+30(200﹣a)=7.5a+6000,
∵k=7.5>0,
∴W随x的增大而增大,
∴当a=150时,花费最少,最少费用为:7.5×150+6000=7125(元).
答:购买A种垃圾桶150个,B种垃圾桶50个花费最少,最少费用为7125元.
【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.
考点卡片
1.非负数的性质:绝对值
在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.
2.非负数的性质:偶次方
偶次方具有非负性.
任意一个数的偶次方都是非负数,当几个数或式的偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.
3.有理数的混合运算
(1)有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
(2)进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1.转化法:一是将除法转化为乘法,二是将乘方转化为乘法,三是在乘除混合运算中,通常将小数转化为分数进行约分计算.
2.凑整法:在加减混合运算中,通常将和为零的两个数,分母相同的两个数,和为整数的两个数,乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.
3.分拆法:先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式,然后进行计算.
4.巧用运算律:在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.
4.列代数式
(1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.
(2)列代数式五点注意:①仔细辨别词义. 列代数式时,要先认真审题,抓住关键词语,仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分. ②分清数量关系.要正确列代数式,只有分清数量之间的关系. ③注意运算顺序.列代数式时,一般应在语言叙述的数量关系中,先读的先写,不同级运算的语言,且又要体现出先低级运算,要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写,数与数相乘必须写乘号;除法可写成分数形式,带分数与字母相乘需把代分数化为假分数,书写单位名称什么时不加括号,什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用. ⑤正确进行代换.列代数式时,有时需将题中的字母代入公式,这就要求正确进行代换.
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1.在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“ ”或者省略不写.
3.在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数.
4.含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
5.代数式求值
(1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.
题型简单总结以下三种:
①已知条件不化简,所给代数式化简;
②已知条件化简,所给代数式不化简;
③已知条件和所给代数式都要化简.
6.同类项
(1)定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项.
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等.
(2)注意事项:
①一是所含字母相同,二是相同字母的指数也相同,两者缺一不可;
②同类项与系数的大小无关;
③同类项与它们所含的字母顺序无关;
④所有常数项都是同类项.
7.单项式
(1)单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式.
用字母表示的数,同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义,相同的字母在同一个式子中表示相同的含义.
(2)单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
在判别单项式的系数时,要注意包括数字前面的符号,而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1,不能误以为没有系数,一个单项式的次数是几,通常称这个单项式为几次单项式.
8.多项式
(1)几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
(2)多项式的组成元素的单项式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
9.整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不能把数值直接代入整式中计算.
10.同底数幂的乘法
(1)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
am an=a m+n(m,n是正整数)
(2)推广:am an ap=a m+n+p(m,n,p都是正整数)
在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:①底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x﹣y)2与(x﹣y)3等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.
(3)概括整合:同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂.
11.幂的乘方与积的乘方
(1)幂的乘方法则:底数不变,指数相乘.
(am)n=amn(m,n是正整数)
注意:①幂的乘方的底数指的是幂的底数;②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘,这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别.
(2)积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
(ab)n=anbn(n是正整数)
注意:①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果.
12.单项式乘单项式
运算性质:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
注意:①在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积;②注意按顺序运算;③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式;④此性质对于多个单项式相乘仍然成立.
13.整式的混合运算
(1)有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
(2)“整体”思想在整式运算中较为常见,适时采用整体思想可使问题简单化,并且迅速地解决相关问题,此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.
14.分式的乘除法
(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.
(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
(3)分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方.
(4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算,再进行分式的乘除运算,即“先乘方,再乘除”.
(5)规律方法总结:
①分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分.
②整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式.
③做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算,切不可打乱这个运算顺序.
15.分式的混合运算
(1)分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.
(2)最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.
(3)分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算.
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1.注意运算顺序:分式的混合运算,先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.
2.注意化简结果:运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式.
3.注意运算律的应用:分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律运算,会简化运算过程.
16.二元一次方程组的应用
(一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.
(2)设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来.
(3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组.
(4)求解.
(5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.
(二)设元的方法:直接设元与间接设元.
当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程.
17.一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题,考虑列一元一次不等式组,并求解.
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题,其一般步骤:
(1)分析题意,找出不等关系;
(2)设未知数,列出不等式组;
(3)解不等式组;
(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;
(5)作答.
18.一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.
3、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用.
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.